Критерий стабильности жюри

В теории обработки сигналов и управления представляет критерий устойчивости Жюри собой метод определения устойчивости линейной системы с дискретным временем путем анализа коэффициентов ее характеристического полинома . Это дискретный аналог критерия устойчивости Рауса – Гурвица . Жюри Критерий устойчивости требует, чтобы полюса системы располагались внутри единичного круга с центром в начале координат, тогда как критерий устойчивости Рауса-Гурвица требует, чтобы полюса находились в левой половине комплексной плоскости . Критерий жюри назван в честь Элиаху Ибрахама Джури .

Метод

Если характеристический полином системы имеет вид

f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\dots +a_{1}z^{n-1}+a_{0}z^{n}

то таблица строится следующим образом: ^[1]

ряд	С ^н	С ^{п -1}	С ^{п -2}	С ^....	С ¹	С ⁰
1	из ₀	1	a_а2	...	а _{п -1}	н
2	н	а _{п -1}	а _{п -2}	...	1	из ₀
3	б ₀	б ₁	...	б _{н -2}	б _{н -1}
4	б _{н -1}	б _{н -2}	...	б ₁	б ₀
5	с ₀	с ₁	...	с _{н -2}
6	с _{н -2}	с _{н -3}	...	с ₀
...	...	...	...	...	...	...
2 н -5	п ₀	п ₁	п ₂	p_п3
2 н −4	p_п3	п ₂	п ₁	п ₀
2 н -3	q_q2	д ₁	Вопрос ₀

То есть первая строка строится из полиномиальных коэффициентов по порядку, а вторая строка представляет собой первую строку в обратном порядке и сопряженную.

Третья строка таблицы рассчитывается путем вычитания ${\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ умножить вторую строку на первую строку, а четвертая строка — это третья строка с перевернутыми первыми n элементами (поскольку последний элемент равен нулю).

{\begin{aligned}a_{0}\;\;&a_{1}\;\;&\dots \;\;&a_{n-1}\;\;&a_{n}\\a_{n}\;\;&a_{n-1}\;\;&\dots \;\;&a_{1}\;\;&a_{0}\\\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\end{aligned}}

Расширение таблицы продолжается таким образом до тех пор, пока не будет достигнута строка, содержащая только один ненулевой элемент.

Обратите внимание на ${\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ является $a_{n}$ для первых двух рядов. Затем для 3-й и 4-й строки коэффициент меняется (т.е. ${\frac {b_{n-1}}{b_{0}}}$ ) . Это можно рассматривать как новый многочлен, имеющий на одну степень меньше и продолжающийся дальше.

Тест стабильности

Если ${a_{0}}>0$ тогда для каждого значения $a_{0},b_{0},c_{0}$ ... это отрицательно, полином имеет один корень за пределами единичного круга. Это означает, что метод можно остановить после того, как при проверке стабильности будет обнаружено первое отрицательное значение.

Пример реализации

Этот метод очень легко реализовать с помощью динамических массивов на компьютере. Он также сообщает, все ли модули корней ( комплексных и действительных ) лежат внутри единичного круга. Вектор $v$ содержит действительные коэффициенты исходного многочлена в порядке от высшей степени к низшей.

        /* vvd is the jury array */
        vvd.push_back(v); // Store the first row
        reverse(v.begin(),v.end());
        vvd.push_back(v); // Store the second row

        for (i=2;;i+=2)
        {
            v.clear();
            double mult = vvd[i-2][vvd[i-2].size()-1]/vvd[i-2][0]; // This is an/a0 as mentioned in the article.

            for (j=0; j<vvd[i-2].size()-1; j++) // Take the last 2 rows and compute the next row
                   v.push_back(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j] * mult);

            vvd.push_back(v);
            reverse(v.begin(), v.end()); // reverse the next row
            vvd.push_back(v);
            if (v.size() == 1) break;
         }

         // Check is done using
         for (i=0; i<vvd.size(); i+=2)
         {
              if (vvd[i][0]<=0) break;
         }

         if (i == vvd.size())
              "All roots lie inside unit disc "
         else
              "no"

См. также

Критерий Льенара-Шипара , еще один критерий устойчивости, полученный из Рауса-Гурвица (для систем с непрерывным временем).

Ссылки

^ Системы дискретного управления (2-е изд.), стр. 185. Prentice-Hall, Inc. Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси, США ©1995. ISBN 0-13-034281-5

Для получения более подробной информации, пожалуйста, проверьте эти ссылки:

Для продвинутых ресурсов:

Архивировано 2 августа 2008 г. в Wayback Machine.
Бенидир, М. (1996). «О распределении корней общих полиномов относительно единичной окружности». Обработка сигналов . 53 : 75–82. дои : 10.1016/0165-1684(96)00077-1 .
http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz

Для реализаций:

http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html (графические калькуляторы TI-83+/84+)

[1] Системы дискретного управления (2-е изд.), стр. 185. Prentice-Hall, Inc. Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси, США ©1995. ISBN 0-13-034281-5

[1]