М-матрица

В математике , особенно в линейной алгебре , M -матрица — это матрица, недиагональные элементы которой меньше или равны нулю (т. е. это Z -матрица ) и чьи собственные значения имеют неотрицательные действительные части . Множество неособых M -матриц является подмножеством класса P -матриц , а также класса обратно-положительных матриц (т.е. матриц с обратными, принадлежащих классу положительных матриц ). ^[1] Название M -матрица, по-видимому, первоначально было выбрано Александром Островским в связи с Германом Минковским , который доказал, что если Z-матрица имеет все суммы строк положительные, то определитель этой матрицы положителен. ^[2]

Характеристики

М-матрица обычно определяется следующим образом:

Определение: Пусть $A —$ вещественная $размера n \times n$ Z -матрица . То есть $A = (a ij)$ , где $a ij \leq 0$ для всех $i \neq j, 1 \leq i,j \leq n$ . Тогда матрица A также является M-матрицей , если ее можно выразить в виде $A = sI - B$ , где $B = (b ij)$ с $b ij \geq 0$ , для всех $1 ⩽ i,j ⩽ n$ , где $s$ находится в точке по крайней мере не больше максимального модуля собственных значений $B$ , а $I$ - единичная матрица.

Для несингулярности A $теореме Перрона$ , согласно –Фробениуса , должно быть так, что $s > ρ (B)$ . Кроме того, для неособой M-матрицы диагональные элементы $a ii$ матрицы A должны быть положительными. Здесь мы далее охарактеризуем лишь класс неособых М-матриц.

Известно множество утверждений, эквивалентных этому определению неособой М-матрицы, и любое из этих утверждений может служить исходным определением неособой М-матрицы. ^[3] Например, Племмонс перечисляет 40 таких эквивалентов. ^[4] Эти характеристики были классифицированы Племмонсом с точки зрения их связи со свойствами: (1) положительности главных миноров, (2) обратной положительности и расщеплений, (3) стабильность и (4) полупозитивность и диагональное доминирование. Имеет смысл классифицировать свойства таким образом, поскольку утверждения внутри конкретной группы связаны друг с другом, даже если матрица $A$ является произвольной матрицей и не обязательно Z-матрицей. Здесь мы упомянем несколько характеристик из каждой категории.

Эквиваленты

Ниже $\geq$ обозначает поэлементный порядок (а не обычный положительный полуопределенный порядок матриц). То есть для любых вещественных матриц A , B размера $m \times n$ мы пишем $A \geq B (или A > B)$ , если $a ij \geq b ij (или a ij > b ij)$ для всех $i, j$ .

Пусть A — $размера n \times n$ вещественная Z-матрица , тогда следующие утверждения эквивалентны тому, A что — неособая M-матрица:

Позитивность основных миноров

Все главные миноры A . положительны То есть определитель каждой подматрицы A, полученной удалением набора, возможно, пустого, соответствующих строк и столбцов A, положителен.
$A + D$ неособа для каждой неотрицательной диагональной матрицы D .
Каждое действительное собственное значение A положительно.
Все ведущие главные миноры A положительны.
Существуют нижняя и верхняя треугольные матрицы L и U соответственно с положительными диагоналями, такие что $A = LU$ .

Обратная положительность и расщепления

A обратно -положителен . То есть, $А -1$ существует и $A -1 \geq 0$ .
А монотонно . То есть, $Ax \geq 0$ подразумевает $x \geq 0$ .
A имеет сходящееся регулярное расщепление . То есть A имеет представление $A = M - N$ , где $M -1 \geq 0, N \geq 0$ с $M -1 N$ сходящийся . То есть $ρ (M -1 Н) < 1$ .
Существуют обратно-положительные матрицы $M 1$ и $M 2$ такие, что $M 1 \leq A \leq M 2$ .
Каждое регулярное расщепление A сходится.

Стабильность

Существует положительная диагональная матрица D такая, что $AD + DA Т$ является положительно определенным.
А – положительная стабильная . То есть действительная часть каждого собственного значения A положительна.
Существует симметричная положительно определенная матрица W такая, что $AW + WA Т$ является положительно определенным.
$A + I$ неособый, и $G = (A + I) -1 (A - I)$ сходится.
$A + I$ неособ, и для $G = (A + I) -1 (A - I)$ существует положительно определенная симметричная матрица W такая, что $W - G Т WG$ положительно определен.

Полупозитивность и диагональное доминирование

А полуположительный . То есть существует $x > 0$ с $Ax > 0$ .
Существует $x \geq 0$ такой, что $Ax > 0$ .
Существует положительная диагональная матрица D такая, что $все строки AD$ имеют положительные суммы.
A имеет все положительные диагональные элементы, и существует положительная диагональная матрица D такая, что $AD$ доминирует строго по диагонали .
A имеет все положительные диагональные элементы, и существует положительная диагональная матрица D такая, что $D -1 AD$ строго доминирует по диагонали.

Приложения

Основной вклад в теорию М-матрицы внесли в основном математики и экономисты. М-матрицы используются в математике для установления границ собственных значений и при установлении критериев сходимости итерационных методов решения больших разреженных систем линейных уравнений . М-матрицы естественным образом возникают в некоторых дискретизациях дифференциальных операторов , таких как лапласиан , и поэтому хорошо изучены в научных вычислениях. М-матрицы также встречаются при изучении решений линейной проблемы дополнительности . Проблемы линейной дополнительности возникают в линейном и квадратичном программировании , вычислительной механике , в задаче нахождения точки равновесия биматричной игры . Наконец, М-матрицы встречаются при изучении конечных цепей Маркова в области теории вероятностей и исследований операций, таких как теория массового обслуживания . Тем временем экономисты изучали М-матрицы в связи с валовой взаимозаменяемостью, устойчивостью общего равновесия и анализом затрат-выпуска Леонтьева. в экономических системах. Условие положительности всех главных миноров также известно в экономической литературе как условие Хокинса-Саймона. ^[5] В технике М-матрицы также встречаются в задачах устойчивости по Ляпунову и управлению с обратной связью в теории управления и родственны матрицам Гурвица . В вычислительной биологии М-матрицы используются при изучении динамики популяций .

См. также

A является неособой слабо диагонально доминантной M-матрицей тогда и только тогда, когда она является слабо цепной диагонально доминантной L-матрицей .
Если A — M-матрица, то $-A$ — матрица Мецлера .
Невырожденную симметричную M -матрицу иногда называют матрицей Стилтьеса .
Матрица Гурвица
P-матрица
Теорема Перрона – Фробениуса
Z-матрица
H-матрица

Ссылки

^ Фудзимото, Такао и Ранаде, Равиндра (2004), «Две характеристики обратно-положительных матриц: условие Хокинса-Саймона и принцип Ле Шателье-Брауна» (PDF) , Электронный журнал линейной алгебры , 11 : 59–65 .
^ Бермон, Авраам; Племмонс, Роберт Дж. (1994), Неотрицательные матрицы в математических науках , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики, с. 134 161 (Тем. 2.3 и примечание 6.1 главы 6), ISBN 0-89871-321-8 .
^ Фидлер, М; Птак, В. (1962), «О матрицах с неположительными недиагональными элементами и положительными главными минорами», Чехословацкий математический журнал , 12 (3): 382–400, doi : 10.21136/CMJ.1962.100526 .
^ Племмонс, Р.Дж. (1977), «Характеристики М-матриц. I - Несингулярные М-матрицы», Линейная алгебра и ее приложения , 18 (2): 175–188, doi : 10.1016/0024-3795(77)90073-8 .
^ Никайдо, Х. (1970). Введение в множества и отображения в современной экономике . Нью-Йорк: Эльзевир. стр. 13–19. ISBN 0-444-10038-5 .

[1] Фудзимото, Такао и Ранаде, Равиндра (2004), «Две характеристики обратно-положительных матриц: условие Хокинса-Саймона и принцип Ле Шателье-Брауна» (PDF) , Электронный журнал линейной алгебры , 11 : 59–65 .

[Berman-2] Бермон, Авраам; Племмонс, Роберт Дж. (1994), Неотрицательные матрицы в математических науках , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики, с. 134 161 (Тем. 2.3 и примечание 6.1 главы 6), ISBN 0-89871-321-8 .

[3] Фидлер, М; Птак, В. (1962), «О матрицах с неположительными недиагональными элементами и положительными главными минорами», Чехословацкий математический журнал , 12 (3): 382–400, doi : 10.21136/CMJ.1962.100526 .

[4] Племмонс, Р.Дж. (1977), «Характеристики М-матриц. I - Несингулярные М-матрицы», Линейная алгебра и ее приложения , 18 (2): 175–188, doi : 10.1016/0024-3795(77)90073-8 .

[5] Никайдо, Х. (1970). Введение в множества и отображения в современной экономике . Нью-Йорк: Эльзевир. стр. 13–19. ISBN 0-444-10038-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]