Диагонально доминирующая матрица

В математике квадратная матрица называется диагонально доминирующей , если для каждой строки матрицы величина диагонального элемента в строке больше или равна сумме величин всех остальных (недиагональных) элементов. записи в этой строке. Точнее, матрица $A$ является диагонально доминирующим, если

$|a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\ \ \forall \ i$

где $a_{ij}$ обозначает запись в $i$й ряд и $j$й столбец.

В этом определении используется слабое неравенство, поэтому его иногда называют слабым диагональным доминированием . Если используется строгое неравенство (>), это называется строгим диагональным доминированием . Безоговорочный термин «диагональное доминирование» может означать как строгое, так и слабое диагональное доминирование, в зависимости от контекста.

Вариации

Определение в первом абзаце суммирует записи по каждой строке. Поэтому его иногда называют диагональным доминированием строк . Если изменить определение, чтобы суммировать каждый столбец, это называется доминированием диагонали столбца .

Любая строго диагонально-доминантная матрица тривиально является слабоцепной диагонально-доминантной матрицей . Слабоцепные диагонально-доминантные матрицы невырождены и включают семейство неприводимо диагонально-доминантных матриц. Это неприводимые матрицы , слабо доминантные по диагонали, но строго доминантные по диагонали хотя бы в одной строке.

Примеры

Матрица

$A={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}$

слабо доминирует по диагонали , поскольку

$|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|$ с $|+3|\geq |-2|+|+1|$

$|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|$ с $|3|\geq |+1|+|+2|$

$|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|$ с $|+4|\geq |-1|+|+2|$.

Матрица

$B={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}$

является не диагонально доминирующим, потому что

$|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|$ с $|-2|<|+2|+|+1|$

$|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|$ с $|+3|\geq |+1|+|+2|$

$|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|$ с $|+0|<|+1|+|-2|$.

То есть первая и третья строки не удовлетворяют условию диагонального доминирования.

Матрица

$C={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}$

является строго диагонально доминирующим, поскольку

$|c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|$ с $|-4|>|+2|+|+1|$

$|c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|$ с $|+6|>|+1|+|+2|$

$|c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|$ с $|+5|>|+1|+|-2|$.

Приложения и свойства

Следующие результаты могут быть доказаны тривиально на основе теоремы Гершгорина о окружности . Сама теорема Гершгорина о окружности имеет очень краткое доказательство.

Строго диагонально-доминантная матрица (или неприводимо диагонально-доминантная матрица) ) не является особенным .

Эрмитова диагонально - доминантная матрица $A$ с вещественными неотрицательными диагональными элементами является положительно полуопределенным . Это следует из вещественности собственных значений и теоремы Гершгорина о окружности. Если исключить требование симметрии, такая матрица не обязательно будет положительно полуопределенной. Например, рассмотрим

${\begin{pmatrix}-2&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}}<0.$

Однако действительные части его собственных значений остаются неотрицательными в соответствии с теоремой Гершгорина о круге.

Точно так же эрмитова строго диагонально-доминантная матрица с действительными положительными диагональными элементами является положительно определенной .

Никакой (частичный) поворот не требуется для матрицы со строгим диагональным преобладанием столбцов при выполнении исключения Гаусса (LU-факторизация).

Методы Якоби сходятся , и Гаусса – Зейделя для решения линейной системы если матрица строго (или неприводимо) диагонально доминантна.

Многие матрицы, возникающие в методах конечных элементов, являются диагонально доминирующими.

Небольшая вариация идеи диагонального доминирования используется для доказательства того, что спаривание на диаграммах без петель в алгебре Темперли – Либа невырождено. Для матрицы с полиномиальными элементами одно разумное определение диагонального доминирования состоит в том, что высшая степень $q$ появляющийся в каждой строке, появляется только по диагонали. (Оценки такой матрицы при больших значениях $q$ являются диагонально доминирующими в указанном выше смысле.)

Ссылки

• Голуб, Джин Х .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996). Матричные вычисления . ISBN  0-8018-5414-8 .
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985). Матричный анализ (изд. В мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-38632-2 .

Внешние ссылки

• PlanetMath: определение диагонального доминирования
• PlanetMath: Свойства диагонально доминирующих матриц
• Математический мир