Мнимое число

Силы $я$ цикличны:
$\ \vdots$
$\ i^{-2}=-1{\phantom {i}}$
$\ i^{-1}=-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \vdots$
$i$ это 4-й корень единства

Мнимое число — это произведение действительного числа и мнимой единицы $i$ , ^{[примечание 1]} который определяется его свойством $i 2 = -1$ . ^[1]^[2] Квадрат числа мнимого $bi$ равен $- b 2$ . Например, $5 i$ — мнимое число, а его квадрат равен $-25$ . Число ноль считается как действительным, так и мнимым. ^[3]

в 17 веке. Впервые предложен Рене Декартом ^[4] Как уничижительный термин, считающийся фиктивным или бесполезным, эта концепция получила широкое признание после работ Леонарда Эйлера (в 18 веке), Огюстена-Луи Коши и Карла Фридриха Гаусса (в начале 19 века).

Мнимое число $bi$ можно прибавить к вещественному числу $a,$ чтобы образовать комплексное число вида $a + bi$ , где действительные числа $a$ и $b$ называются соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа. ^[5]

История

Хотя греческий математик и инженер Герон Александрийский известен как первый, кто представил расчет, включающий квадратный корень из отрицательного числа, ^[6]^[7] именно Рафаэль Бомбелли первым установил правила умножения комплексных чисел в 1572 году. Эта концепция появилась в печати ранее, например, в работе Джероламо Кардано . В то время мнимые и отрицательные числа были плохо изучены и считались некоторыми вымышленными или бесполезными, как когда-то ноль. Многие другие математики не спешили использовать мнимые числа, в том числе Рене Декарт , который писал о них в своей «Геометрии» , в которой он ввел термин «мнимые» и считал его уничижительным. ^[8]^[9] Использование мнимых чисел не получило широкого распространения до работ Леонарда Эйлера (1707–1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745–1818). ^[10]

В 1843 году Уильям Роуэн Гамильтон расширил идею оси мнимых чисел на плоскости до четырехмерного пространства воображаемых кватернионов , в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

Геометрическая интерпретация

Геометрически мнимые числа располагаются на вертикальной оси плоскости комплексных чисел , что позволяет представлять их перпендикулярно действительной оси. Один из способов просмотра мнимых чисел — рассмотреть стандартную числовую линию, величина которой увеличивается положительно вправо и отрицательно увеличивается влево. При значении 0 на $x$ оси $ось y$ может быть нарисована с «положительным» направлением вверх; «Положительные» мнимые числа затем увеличиваются по величине вверх, а «отрицательные» мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эту вертикальную ось часто называют «мнимой осью». ^[11] и обозначается $i\mathbb {R} ,$ $\mathbb {I} ,$ или $ℑ$ . ^[12]

В этом представлении умножение на $i$ соответствует повороту против часовой стрелки на 90 градусов вокруг начала координат, что составляет четверть круга. Умножение на $— i$ соответствует повороту по часовой стрелке на 90 градусов относительно начала координат. Аналогично, умножение на чисто мнимое число $bi$ , где $b$ раз $— действительное число, вызывает поворот против часовой стрелки вокруг начала координат на 90 градусов и масштабирует ответ в b$ . Когда $b < 0$ , это можно вместо этого описать как поворот по часовой стрелке на 90 градусов и масштабирование на $| б |$ . ^[13]

Квадратные корни отрицательных чисел

Необходимо соблюдать осторожность при работе с мнимыми числами, которые выражаются как главные значения квадратных корней чисел отрицательных . ^[14] Например, если $x$ и $y$ являются положительными действительными числами, следующая цепочка равенств на первый взгляд кажется разумной:

\textstyle {\sqrt {x\cdot y{\vphantom {t}}}}={\sqrt {(-x)\cdot (-y)}}\mathrel {\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}} {\sqrt {-x{\vphantom {ty}}}}\cdot {\sqrt {-y{\vphantom {ty}}}}=i{\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot i{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}=-{\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}\,.

Но результат явно ерунда. Шаг, на котором квадратный корень был разделен, был незаконным. (См. Математическая ошибка .)

См. также

−1

Системы счисления

Сложный

:\;\mathbb {C}

Настоящий

:\;\mathbb {R}

Рациональный

:\;\mathbb {Q}

Целое число

:\;\mathbb {Z}

Естественный

:\;\mathbb {N}

Ноль : 0

Один : 1

Простые числа

Составные числа

Отрицательные целые числа

Фракция

Конечная десятичная дробь
Диадический (конечный бинарный)
Повторяющаяся десятичная дробь

иррациональный

Алгебраическая иррациональность

трансцендентный

Воображаемый

Примечания

^ $j$ обычно используется в инженерном контексте, где $i$ имеет другие значения (например, электрический ток).

Ссылки

^ Уно Ингард, К. (1988). «Глава 2» . Основы волн и колебаний . Издательство Кембриджского университета. п. 38. ISBN 0-521-33957-Х .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Мнимое число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 г.
^ Синха, КК (2008). Учебник по математике XI класса (второе изд.). Публикации Растоги. п. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9 .
^ Джаквинта, Мариано; Модика, Джузеппе (2004). Математический анализ: аппроксимация и дискретные процессы (иллюстрированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 121. ИСБН 978-0-8176-4337-9 . Выдержка со страницы 121
^ Ауфманн, Ричард; Баркер, Вернон К.; Нация, Ричард (2009). Студенческая алгебра: расширенное издание (6-е изд.). Cengage Обучение. п. 66. ИСБН 978-1-4390-4379-0 .
^ Харгиттай, Иштван (1992). Пятикратная симметрия (2-е изд.). Всемирная научная. п. 153. ИСБН 981-02-0600-3 .
^ Рой, Стивен Кэмпбелл (2007). Комплексные числа: моделирование решетки и применение дзета-функции . Хорвуд. п. 1. ISBN 978-1-904275-25-1 .
^ Декарт, Рене , Рассуждение о методе (Лейден, (Нидерланды): Ян Мэр, 1637), прилагаемая книга: La Géométrie , книга третья, стр. 380. Со стр. 380: «Кроме того, как истинные корни, так и ложные не всегда реальны; а иногда только воображаемы; то есть мы всегда можем вообразить столько, сколько я говорю в каждом Уравнении; но что «существует иногда нет величины, соответствующей той, которую мы воображаем, даже если мы можем представить три в этом цикле, x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0, однако существует только одна действительная единица, то есть 2, а для двух других все, что мы увеличиваем, уменьшаем или умножаем способом, который я только что описал (Более того, истинные корни а также ложные [корни] не всегда действительные, а иногда только мнимые [величины], то есть всегда можно представить в каждом уравнении столько их, сколько я сказал, но иногда нет соответствующей величины; то, что человек воображает, точно так же, как если бы в этом [уравнении] можно было представить три из них: x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0, однако только одно из них действительно, то есть 2, а что касается двух других, хотя их можно увеличить, или уменьшить, или умножить так, как я только что объяснил, невозможно сделать их иными, чем мнимые [величины].)
^ Мартинес, Альберт А. (2006), Негативная математика: как можно положительно изменить математические правила , Принстон: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 , обсуждает двусмысленность значений воображаемых выражений в историческом контексте.
^ Розенфельд, Борис Абрамович (1988). «Глава 10» . История неевклидовой геометрии: эволюция понятия геометрического пространства . Спрингер. п. 382. ИСБН 0-387-96458-4 .
^ фон Мейер, Александра (2006). Электроэнергетические системы – концептуальное введение . Джон Уайли и сыновья . стр. 61–62. ISBN 0-471-17859-4 . Проверено 13 января 2022 г.
^ Уэбб, Стивен (2018). «5. Бессмысленные пометки на бумаге». Столкновение символов – путешествие по богатству глифов . Springer Science+Business Media . стр. 204–205. дои : 10.1007/978-3-319-71350-2_5 . ISBN 978-3-319-71350-2 .
^ Койперс, Дж. Б. (1999). Кватернионы и последовательности вращения: введение в приложения к орбитам, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности . Издательство Принстонского университета . стр. 10–11. ISBN 0-691-10298-8 . Проверено 13 января 2022 г.
^ Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая сказка: история «я» [квадратный корень из минус один] . Издательство Принстонского университета. п. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9 . Выдержка со страницы 12

Библиография

Нахин, Пол (1998). Воображаемая сказка: история квадратного корня из −1 . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02795-1 . , объясняет многие применения воображаемых выражений.

Внешние ссылки

Как можно доказать, что мнимые числа действительно существуют? – статья, в которой обсуждается существование мнимых чисел.
Программа 5Numbers 4 Программа BBC Radio 4
Зачем использовать мнимые числа? Основное объяснение и использование мнимых чисел

[1] $j$ обычно используется в инженерном контексте, где $i$ имеет другие значения (например, электрический ток).

[2] Уно Ингард, К. (1988). «Глава 2» . Основы волн и колебаний . Издательство Кембриджского университета. п. 38. ISBN 0-521-33957-Х .

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Мнимое число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 г.

[4] Синха, КК (2008). Учебник по математике XI класса (второе изд.). Публикации Растоги. п. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9 .

[5] Джаквинта, Мариано; Модика, Джузеппе (2004). Математический анализ: аппроксимация и дискретные процессы (иллюстрированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 121. ИСБН 978-0-8176-4337-9 . Выдержка со страницы 121

[6] Ауфманн, Ричард; Баркер, Вернон К.; Нация, Ричард (2009). Студенческая алгебра: расширенное издание (6-е изд.). Cengage Обучение. п. 66. ИСБН 978-1-4390-4379-0 .

[7] Харгиттай, Иштван (1992). Пятикратная симметрия (2-е изд.). Всемирная научная. п. 153. ИСБН 981-02-0600-3 .

[8] Рой, Стивен Кэмпбелл (2007). Комплексные числа: моделирование решетки и применение дзета-функции . Хорвуд. п. 1. ISBN 978-1-904275-25-1 .

[9] Декарт, Рене , Рассуждение о методе (Лейден, (Нидерланды): Ян Мэр, 1637), прилагаемая книга: La Géométrie , книга третья, стр. 380. Со стр. 380: «Кроме того, как истинные корни, так и ложные не всегда реальны; а иногда только воображаемы; то есть мы всегда можем вообразить столько, сколько я говорю в каждом Уравнении; но что «существует иногда нет величины, соответствующей той, которую мы воображаем, даже если мы можем представить три в этом цикле, x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0, однако существует только одна действительная единица, то есть 2, а для двух других все, что мы увеличиваем, уменьшаем или умножаем способом, который я только что описал (Более того, истинные корни а также ложные [корни] не всегда действительные, а иногда только мнимые [величины], то есть всегда можно представить в каждом уравнении столько их, сколько я сказал, но иногда нет соответствующей величины; то, что человек воображает, точно так же, как если бы в этом [уравнении] можно было представить три из них: x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0, однако только одно из них действительно, то есть 2, а что касается двух других, хотя их можно увеличить, или уменьшить, или умножить так, как я только что объяснил, невозможно сделать их иными, чем мнимые [величины].)

[Martinez-10] Мартинес, Альберт А. (2006), Негативная математика: как можно положительно изменить математические правила , Принстон: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 , обсуждает двусмысленность значений воображаемых выражений в историческом контексте.

[11] Розенфельд, Борис Абрамович (1988). «Глава 10» . История неевклидовой геометрии: эволюция понятия геометрического пространства . Спрингер. п. 382. ИСБН 0-387-96458-4 .

[Meier-12] фон Мейер, Александра (2006). Электроэнергетические системы – концептуальное введение . Джон Уайли и сыновья . стр. 61–62. ISBN 0-471-17859-4 . Проверено 13 января 2022 г.

[13] Уэбб, Стивен (2018). «5. Бессмысленные пометки на бумаге». Столкновение символов – путешествие по богатству глифов . Springer Science+Business Media . стр. 204–205. дои : 10.1007/978-3-319-71350-2_5 . ISBN 978-3-319-71350-2 .

[14] Койперс, Дж. Б. (1999). Кватернионы и последовательности вращения: введение в приложения к орбитам, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности . Издательство Принстонского университета . стр. 10–11. ISBN 0-691-10298-8 . Проверено 13 января 2022 г.

[15] Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая сказка: история «я» [квадратный корень из минус один] . Издательство Принстонского университета. п. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9 . Выдержка со страницы 12

[примечание 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

v т и счисления Системы
Sets of definable numbers	Natural numbers ( $\mathbb {N}$ ) Integers ( $\mathbb {Z}$ ) Rational numbers ( $\mathbb {Q}$ ) Constructible numbers Algebraic numbers ( $\mathbb {A}$ ) Closed-form numbers Periods Computable numbers Arithmetical numbers Set-theoretically definable numbers Gaussian integers
Composition algebras	Division algebras: Real numbers ( $\mathbb {R}$ ) Complex numbers ( $\mathbb {C}$ ) Quaternions ( $\mathbb {H}$ ) Octonions ( $\mathbb {O}$ )
Split types	Over $\mathbb {R}$ : Split-complex numbers Split-quaternions Split-octonions Over $\mathbb {C}$ : Bicomplex numbers Biquaternions Bioctonions
Other hypercomplex	Dual numbers Dual quaternions Dual-complex numbers Hyperbolic quaternions Sedenions ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternions Multicomplex numbers Geometric algebra/Clifford algebra Algebra of physical space Spacetime algebra Plane-based geometric algebra
Infinities and infinitesimals	Cardinal numbers Extended natural numbers Extended real numbers Projective Extended complex numbers Hyperreal numbers Levi-Civita field Ordinal numbers Supernatural numbers Surreal numbers Superreal numbers
Other types	Irrational numbers Fuzzy numbers Transcendental numbers p-adic numbers (p-adic solenoids) Profinite integers Normal numbers
Classification List