Комплексное число

Комплексное число можно визуально представить как пару чисел ( a , b ), образующих вектор на диаграмме, называемой диаграммой Аргана , представляющей комплексную плоскость . Re — действительная ось, Im — воображаемая ось, а i — « мнимая единица », которая удовлетворяет i ² = −1 .

В математике комплексное число — это элемент системы счисления , который расширяет действительные числа с помощью определенного элемента, обозначаемого i , называемого мнимой единицей и удовлетворяющего уравнению $i^{2}=-1$; любое комплексное число можно выразить в виде $a+bi$, где a и b — действительные числа. Поскольку ни одно действительное число не удовлетворяет приведенному выше уравнению, меня назвал числом мнимым Рене Декарт . Для комплексного числа $a+bi$, а называется действительная часть , а b называется мнимая часть . Множество комплексных чисел обозначается любым из символов $\mathbb {C}$или С. ​ Несмотря на историческую номенклатуру, «мнимые» комплексные числа имеют такое же математическое существование, как и действительные числа, и являются фундаментальными инструментами научного описания мира природы.

Комплексные числа позволяют найти решение всех полиномиальных уравнений , даже тех, которые не имеют решений в действительных числах. Точнее, основная теорема алгебры утверждает, что каждое непостоянное полиномиальное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет решение, которое является комплексным числом. Например, уравнение $(x+1)^{2}=-9$ не имеет вещественного решения, поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, но имеет два недействительных комплексных решения $-1+3i$ и $-1-3i$.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел можно естественным образом определить с помощью правила $i^{2}=-1$наряду с ассоциативными , коммутативными и распределительными законами . Каждое ненулевое комплексное число имеет обратное мультипликативное число . Это превращает комплексные числа в поле с действительными числами в качестве подполя.

Комплексные числа также образуют вещественное векторное пространство размерности два , с $\{1,i\}$в качестве стандартной основы . Этот стандартный базис превращает комплексные числа в декартову плоскость , называемую комплексной плоскостью . Это позволяет геометрическую интерпретацию комплексных чисел и их операций, и наоборот, некоторые геометрические объекты и операции могут быть выражены через комплексные числа. Например, действительные числа образуют действительную линию , которая изображается как горизонтальная ось комплексной плоскости, а действительные числа, кратные $i$являются вертикальной осью. Комплексное число также можно определить по его геометрическим полярным координатам : радиус называется абсолютным значением комплексного числа, а угол от положительной действительной оси называется аргументом комплексного числа. Комплексные числа с абсолютным значением один образуют единичный круг . Добавление фиксированного комплексного числа ко всем комплексным числам определяет сдвиг в комплексной плоскости, а умножение на фиксированное комплексное число представляет собой подобие с центром в начале координат (расширение на абсолютное значение и вращение на аргумент). Операция комплексного сопряжения представляет собой зеркальную симметрию относительно вещественной оси.

Комплексные числа образуют богатую структуру, которая одновременно является алгебраически замкнутым полем , коммутативной алгеброй над действительными числами и евклидовым векторным пространством размерности два.

Определение и основные операции

Различные комплексные числа, изображенные на комплексной плоскости.

Комплексное число — это выражение вида a + bi , где a и b — действительные числа , а i — абстрактный символ, так называемая мнимая единица , значение которой будет объяснено ниже. Например, 2 + 3 i — комплексное число.

Для комплексного числа a + bi действительное число a называется его действительной частью , а действительное число b (а не комплексное число bi ) — его мнимой частью . Действительная часть комплексного числа z обозначается Re( z ) , ${\mathcal {Re}}(z)$, или ${\mathfrak {R}}(z)$; мнимая часть — Im( z ) , ${\mathcal {Im}}(z)$, или ${\mathfrak {I}}(z)$: например, ${\textstyle \operatorname {Re} (2+3i)=2}$, $\operatorname {Im} (2+3i)=3$.

Комплексное число z можно отождествить с упорядоченной парой действительных чисел. $(\Re (z),\Im (z))$, которые можно интерпретировать как координаты точки на евклидовой плоскости со стандартными координатами, которая затем называется комплексной плоскостью или диаграммой Аргана , . Горизонтальная ось обычно используется для отображения действительной части с возрастающими значениями вправо, а мнимая часть отмечает вертикальную ось с возрастающими значениями вверх.

Комплексное число z в виде точки (черного цвета) и вектора ее положения (синего цвета).

Действительное число a можно рассматривать как комплексное число a + 0 i , мнимая часть которого равна 0. Чисто мнимое число bi — это комплексное число 0 + bi , действительная часть которого равна нулю. Как и в случае с полиномами, обычно пишут a + 0 i = a , 0 + bi = bi и a + (− b ) i = a − bi ; например, 3 + (−4) i знак равно 3 − 4 i .

Множество всех комплексных чисел обозначается через $\mathbb {C}$ ( жирный шрифт на доске ) или C (жирный шрифт).

В некоторых дисциплинах, таких как электромагнетизм и электротехника , j используется вместо i , поскольку i часто представляет электрический ток . а комплексные числа записываются как a + bj или a + jb .

Сложение и вычитание

Сложение двух комплексных чисел можно выполнить геометрически, построив параллелограмм.

Два комплексных числа $a=x+yi$ и $b=u+vi$складываются путем отдельного сложения их вещественной и мнимой частей. То есть:

$$a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.$$

Аналогично, вычитание может быть выполнено как

$$a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.$$

Геометрически сложение можно представить следующим образом: сумма двух комплексных чисел a и b , интерпретируемых как точки комплексной плоскости, — это точка, полученная построением параллелограмма из трех вершин O , а точки стрелок, обозначенные a и б (при условии, что они не находятся на одной линии). Эквивалентно, назвав эти точки , B соответственно и четвертой точкой параллелограмма X треугольники , OAB и XBA конгруэнтны A .

Умножение

Произведение двух комплексных чисел вычисляется следующим образом:

$(a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.$

Например, $(3+2i)(4-i)=3\cdot 4-(2\cdot (-1))+(3\cdot (-1)+2\cdot 4)i=14+5i.$ В частности, сюда входит в качестве частного случая фундаментальная формула

$i^{2}=i\cdot i=-1.$

Эта формула отличает комплексное число i от любого действительного числа, поскольку квадрат любого (отрицательного или положительного) действительного числа x всегда удовлетворяет условию $x^{2}\geq 0$.

При таком определении умножения и сложения знакомые правила арифметики рациональных или действительных чисел продолжают соблюдаться и для комплексных чисел. Точнее, сохраняется распределительное свойство , коммутативные свойства (сложения и умножения). Следовательно, комплексные числа образуют алгебраическую структуру, известную как поле , так же, как это делают рациональные или действительные числа.

Комплексное сопряжение, абсолютное значение и аргумент

Геометрическое представление z и сопряженного ему z в комплексной плоскости.

Комплексно -сопряженное комплексное число z = x + yi определяется как ${\overline {z}}=x-yi.$ Некоторые авторы также обозначают его как $z^{*}$. Геометрически z является «отражением» z относительно реальной оси. Двойное сопряжение дает исходное комплексное число: ${\overline {\overline {z}}}=z.$Комплексное число действительно тогда и только тогда, когда оно равно своему сопряженному. Унарную операцию взятия комплексно-сопряженного комплексного числа невозможно выразить, применяя только основные операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Аргумент φ и модуль r определяют точку на комплексной плоскости.

Для любого комплексного числа z = x + yi произведение

$z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}$

является неотрицательным действительным числом. Это позволяет определить абсолютное значение (или модуль или величину ) z как квадратный корень.

$$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$$

По теореме Пифагора , $|z|$— расстояние от начала координат до точки, представляющей комплексное число z на комплексной плоскости. В частности, окружность радиуса один вокруг начала координат состоит именно из чисел z таких, что $|z|=1$. Если $z=x=x+0i$ действительное число, то $|z|=|x|$: его абсолютное значение как комплексного числа и как действительного числа равны.

Используя сопряжение, обратное ненулевому комплексному числу $z=x+yi$ можно вычислить как

$${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.$$

В более общем смысле, деление произвольного комплексного числа $w=u+vi$ ненулевым комплексным числом $z=x+yi$ равно

$${\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.$$

Этот процесс иногда называют « рационализацией » знаменателя (хотя знаменатель в конечном выражении может быть иррациональным действительным числом), поскольку он напоминает метод удаления корней из простых выражений в знаменателе.

Аргумент ( z φ «фазой» ) иногда называемый — это угол радиуса Oz с положительной действительной осью, который записывается как arg z выражается в радианах и в этой статье . Угол определяется только с точностью до добавления целых чисел, кратных $2\pi$, поскольку вращение на $2\pi$(или 360°) вокруг начала координат, все точки комплексной плоскости остаются неизменными. Один из возможных вариантов однозначного указания аргумента — потребовать, чтобы он находился в интервале $(-\pi ,\pi ]$, которое называется основным значением . Аргумент можно вычислить из прямоугольной формы x + yi с помощью функции arctan (обратный тангенс).

Полярная форма

Основная статья: Полярная система координат

«Полярная форма» перенаправляется сюда. Для аналога более высокой размерности см. Полярное разложение .

Умножение 2 + i (синий треугольник) и 3 + i (красный треугольник). Красный треугольник поворачивается так, чтобы соответствовать вершине синего треугольника (сложение обоих углов в терминах φ ₁ + φ ₂ в уравнении) и растягивается на длину гипотенузы синего треугольника (умножение обоих радиусов, согласно члену r ₁ r ₂ в уравнении).

Для любого комплексного числа z с абсолютным значением $r=|z|$ и аргумент $\varphi$, уравнение

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

держит. Это тождество называется полярной формой z . Иногда его сокращают как ${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$. В электронике представляют вектор с амплитудой r и фазой φ в угловом обозначении :

$$z=r\angle \varphi .$$

Если два комплексных числа заданы в полярной форме, т.е. z ₁ = r ₁ (cos φ ₁ + i sin φ ₁ ) и z ₂ = r ₂ (cos φ ₂ + i sin φ ₂ ) , произведение и деление могут быть рассчитано как

$$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).$$

$${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.$$

(Это следствие тригонометрических тождеств для функций синуса и косинуса.) Другими словами, абсолютные значения умножаются и аргументы добавляются , чтобы получить полярную форму продукта. На рисунке справа показано умножение

$$(2+i)(3+i)=5+5i.$$

Поскольку действительная и мнимая части 5 + 5 i равны, аргумент этого числа равен 45 градусам, или π /4 (в радианах ). С другой стороны, это также сумма углов в начале красного и синего треугольников, равная арктансу (1/3) и арктансу(1/2) соответственно. Таким образом, формула

$${\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)$$

держит. Поскольку функцию арктанса можно аппроксимировать очень эффективно, подобные формулы, известные как формулы типа Мачина , используются для высокоточных аппроксимаций π .

Силы и корни

См. Также: Квадратные корни отрицательных и комплексных чисел.

-я степень n комплексного числа может быть вычислена с помощью формулы де Муавра , которая получается путем многократного применения приведенной выше формулы для произведения:

$$z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).$$

Например, первые несколько степеней мнимой единицы i равны $i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots$.

Геометрическое представление корней со 2-й по 6-ю комплексного числа z в полярной форме re ^iφ  где р = | г | и φ = arg z . Если z действительно, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Корни n -й степени комплексного числа z имеют вид

$$z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)$$

для 0 ≤ k ≤ n - 1 . (Здесь ${\sqrt[{n}]{r}}$является обычным (положительным) n-й корнем степени из положительного действительного числа r .) Поскольку синус и косинус являются периодическими, другие целые значения k не дают других значений. Для любого $z\neq 0$, в частности, существует n различных комплексных корней n -й степени. Например, существует 4 корня четвёртой степени из 1, а именно

$z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.$

В общем, не существует естественного способа отличить один конкретный комплексный корень n- й степени из комплексного числа. (Это контрастирует с корнями положительного действительного числа x , которое имеет уникальный положительный действительный корень n -й степени, который поэтому обычно называют корнем n -й степени из x .) К этой ситуации относятся, говоря, что корень n- й степени является n -значной функцией от z .

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры Карла Фридриха Гаусса и Жана ле Рона Даламбера утверждает, что для любых комплексных чисел (называемых коэффициентами ) a ₀ , ... an _{уравнение} ,

$$a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0$$

имеет хотя бы одно комплексное решение z что хотя бы один из старших коэффициентов a ₁ , ..., an _{при условии ,} не равен нулю. Это свойство не выполняется для поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ (многочлен x ² − 2 не имеет рационального корня, поскольку √2 не является рациональным числом), а также действительные числа $\mathbb {R}$ (многочлен x ² + 4 не имеет вещественного корня, поскольку квадрат x положителен для любого действительного числа x ).

Из-за этого факта, $\mathbb {C}$называется алгебраически замкнутым полем . Это краеугольный камень различных применений комплексных чисел, как подробно описано ниже. Существуют различные доказательства этой теоремы либо аналитическими методами, такими как теорема Лиувилля , либо топологическими методами, такими как число обмотки , либо доказательством, сочетающим теорию Галуа и тот факт, что любой действительный многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

История

См. Также: Отрицательное число § История

Решение в радикалах (без тригонометрических функций ) общего кубического уравнения , когда все три его корня являются действительными числами, содержит квадратные корни из отрицательных чисел , ситуацию, которую нельзя исправить путем факторизации с помощью теста на рациональный корень , если кубическая неприводима ; это так называемый casus reducibilis («неприводимый случай»). Эта загадка побудила итальянского математика Джероламо Кардано придумать комплексные числа примерно в 1545 году в своей книге «Ars Magna» . хотя его понимание было рудиментарным; более того, позже он описал комплексные числа как «настолько тонкие, насколько бесполезные». Кардано действительно использовал воображаемые числа, но назвал их «психической пыткой». Это было до использования графической сложной плоскости. Кардано и другие итальянские математики, особенно Сципионе дель Ферро , в 1500-х годах создали алгоритм решения кубических уравнений, которые обычно имели одно действительное решение и два решения, содержащие мнимое число. Поскольку они игнорировали ответы с воображаемыми числами, Кардано счел их бесполезными.

Работа над проблемой общих полиномов в конечном итоге привела к фундаментальной теореме алгебры , которая показывает, что с комплексными числами решение существует для каждого полиномиального уравнения первой степени или выше. Таким образом, комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле , где любое полиномиальное уравнение имеет корень .

Многие математики внесли свой вклад в разработку комплексных чисел. Правила сложения, вычитания, умножения и извлечения корня комплексных чисел разработал итальянский математик Рафаэль Бомбелли . Более абстрактный формализм комплексных чисел был далее развит ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном , который распространил эту абстракцию на теорию кватернионов .

Самое раннее мимолетное упоминание о квадратных корнях из отрицательных чисел , возможно, встречается в работе греческого математика Героя Александрийского в I веке нашей эры , где в своей «Стереометрике» он рассматривал, по-видимому, по ошибке, объем невозможного пирамидального круга усеченного . пирамида , чтобы прийти к сроку ${\sqrt {81-144}}$ в его расчетах, которые сегодня упростились бы до ${\sqrt {-63}}=3i{\sqrt {7}}$. Отрицательные величины не были поняты в эллинистической математике , и Герой просто заменил их положительными величинами. ${\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}.$

Стимул к изучению комплексных чисел как отдельной темы впервые возник в 16 веке, когда алгебраические решения для корней кубической и четвертой степени многочленов обнаружили итальянские математики ( Никколо Фонтана Тарталья и Джероламо Кардано ) . Это вскоре осозналось (но было доказано гораздо позже) что эти формулы, даже если кого-то интересовали только реальные решения, иногда требовали манипуляций с квадратными корнями из отрицательных чисел. Фактически позже было доказано, что использование комплексных чисел неизбежно, когда все три корня вещественны и различны. Однако в этом случае все же можно использовать общую формулу, с некоторой осторожностью, чтобы справиться с двусмысленностью, возникающей из-за существования трех кубических корней для ненулевых комплексных чисел. Рафаэль Бомбелли был первым, кто открыто обратился к этим, казалось бы, парадоксальным решениям кубических уравнений и разработал правила комплексной арифметики, пытаясь решить эти проблемы.

Термин «мнимые» для этих величин был введен Рене Декартом в 1637 году, который изо всех сил старался подчеркнуть их нереальную природу:

... иногда только воображаемые, то есть можно представить столько, сколько я сказал в каждом уравнении, но иногда не существует количества, соответствующего тому, которое мы воображаем.
[ ... иногда только воображаемые, то есть мы всегда можем вообразить столько, сколько я сказал в каждом уравнении, но иногда не существует величины, соответствующей тому, что мы себе представляли. ]

Еще одним источником путаницы было то, что уравнение ${\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1$ казалось, было капризно несовместимо с алгебраическим тождеством ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$, которое справедливо для неотрицательных действительных чисел a и b и которое также использовалось в вычислениях комплексных чисел, где одно из a , b положительное, а другое отрицательное. Неверное использование этого тождества в случае, когда и a , и b отрицательны, а связанное с ним тождество ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$, даже сбивал с толку Леонарда Эйлера . Эта трудность в конечном итоге привела к соглашению об использовании специального символа i вместо ${\sqrt {-1}}$ чтобы не допустить этой ошибки. Несмотря на это, Эйлер считал естественным знакомить студентов с комплексными числами гораздо раньше, чем мы это делаем сегодня. В своем учебнике элементарной алгебры « Элементы алгебры» он почти сразу вводит эти числа, а затем использует их естественным образом повсюду.

В 18 веке комплексные числа получили более широкое использование, поскольку было замечено, что формальные манипуляции со сложными выражениями можно использовать для упрощения вычислений с использованием тригонометрических функций. Например, в 1730 году Абрахам де Муавр заметил, что тождества, связывающие тригонометрические функции целого числа, кратного углу, со степенями тригонометрических функций этого угла, могут быть перевыражены следующей формулой Муавра :

$$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .$$

Формула Эйлера связывает комплексную показательную функцию мнимого аргумента, которую можно рассматривать как описывающую равномерное круговое движение в комплексной плоскости, с функциями косинуса и синуса, геометрически их проекциями на действительную и мнимую оси соответственно.

В 1748 году Эйлер пошел дальше и получил Эйлера формулу комплексного анализа :

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

формально манипулируя сложными степенными рядами , и заметил, что эту формулу можно использовать для сведения любого тригонометрического тождества к гораздо более простым экспоненциальным тождествам.

Идея комплексного числа как точки на комплексной плоскости ( см. выше ) была впервые описана датско - норвежским математиком Каспаром Весселем в 1799 году. хотя это было предсказано еще в 1685 году в Уоллиса «Трактате по алгебре» .

Мемуары Весселя появились в журнале Proceedings of the Copenhagen Academy , но остались практически незамеченными. В 1806 году Жан-Робер Арган независимо выпустил брошюру о комплексных числах и предоставил строгое доказательство основной теоремы алгебры . Карл Фридрих Гаусс ранее опубликовал по сути топологическое доказательство теоремы в 1797 году, но тогда выразил свои сомнения относительно «истинной метафизики квадратного корня из −1». Лишь в 1831 году он преодолел эти сомнения и опубликовал свой трактат о комплексных числах как точках на плоскости. в значительной степени устанавливая современные обозначения и терминологию:

Если раньше кто-то рассматривал этот предмет с ложной точки зрения и поэтому находил таинственную тьму, то это во многом объясняется неуклюжей терминологией. Если бы кто-то не позвонил +1, −1, ${\sqrt {-1}}$ положительные, отрицательные или мнимые (или даже невозможные) единицы, а вместо, скажем, прямых, обратных или латеральных единиц, тогда о такой тьме едва ли могла идти речь.

В начале XIX века другие математики независимо открыли геометрическое представление комплексных чисел: Буэ, Мури , Уоррен , Франсэ и его брат Беллавит .

Английский математик Г.Х. Харди заметил, что Гаусс был первым математиком, который использовал комплексные числа «действительно уверенно и научно», хотя такие математики, как норвежский Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоб Якоби, обязательно использовали их регулярно до того, как Гаусс опубликовал свой трактат 1831 года.

Огюстен-Луи Коши и Бернхард Риман вместе довели фундаментальные идеи комплексного анализа до высокой степени завершенности, начиная примерно с 1825 года в случае Коши.

Общие термины, используемые в теории, в основном принадлежат ее основателям. Арган назвал cos φ + i sin φ , коэффициентом направления а $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ модуль ​ ; Коши (1821) назвал cos φ + i sin φ приведенной формой (l'expression reduite) и, по-видимому, ввел термин « аргумент» ; Гаусс использовал i для ${\sqrt {-1}}$, ввел термин комплексное число для a + bi , и позвонил ² + б ² норма ​ . выражения Коэффициент направления , часто используемый для cos φ + i sin φ , принадлежит Ханкелю (1867): а абсолютное значение модуля . принадлежит Вейерштрассу

К более поздним классическим авторам общей теории относятся Рихард Дедекинд , Отто Гёльдер , Феликс Кляйн , Анри Пуанкаре , Герман Шварц , Карл Вейерштрасс и многие другие. Важные работы (в том числе по систематизации) в области комплексного многомерного исчисления были начаты в начале 20 века. Важные результаты были достигнуты Вильгельмом Виртингером в 1927 году.

Абстрактные

Хотя приведенные выше определения низкого уровня, включая сложение и умножение, точно описывают комплексные числа, существуют другие, эквивалентные подходы, которые более непосредственно раскрывают абстрактную алгебраическую структуру комплексных чисел.

Конструкция как частное поле

Один подход к $\mathbb {C}$ осуществляется через полиномы , т. е. выражения вида

$$p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},$$

где коэффициенты a ₀ , ..., an _. являются действительными числами Множество всех таких полиномов обозначается через $\mathbb {R} [X]$. Поскольку суммы и произведения полиномов снова являются полиномами, это множество $\mathbb {R} [X]$образует коммутативное кольцо , называемое кольцом многочленов (над действительными числами). Каждому такому многочлену p можно сопоставить комплексное число $p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}$, т. е. значение, полученное установкой $X=i$. Это определяет функцию

$\mathbb {R} [X]\to \mathbb {C}$

Эта функция сюръективна , поскольку любое комплексное число можно получить таким способом: вычислением линейного многочлена $a+bX$ в $X=i$ является $a+bi$. Однако оценка полинома $X^{2}+1$ в i равно 0, так как $i^{2}+1=0.$Этот многочлен неприводим , т. е. не может быть записан в виде произведения двух линейных многочленов. Тогда из основных фактов абстрактной алгебры следует, что ядро ​​приведенного выше отображения является идеалом , порожденным этим многочленом, и что фактор по этому идеалу является полем, и что существует изоморфизм .

$\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C}$

между факторкольцом и $\mathbb {C}$. Некоторые авторы принимают это за определение $\mathbb {C}$.

Принимая это $\mathbb {C}$ алгебраически замкнуто, поскольку является алгебраическим расширением $\mathbb {R}$ в этом подходе, $\mathbb {C}$ является алгебраическим замыканием следовательно , $\mathbb {R} .$

Матричное представление комплексных чисел

Комплексные числа a + bi также можно представить 2 × 2 матрицами размера , имеющими вид

$${\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.$$

Здесь записи a и b — действительные числа. Поскольку сумма и произведение двух таких матриц снова имеют этот вид, эти матрицы образуют подкольцо кольца матриц 2 × 2 .

Простое вычисление показывает, что карта

$$a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}$$

является кольцевым изоморфизмом поля комплексных чисел кольцу этих матриц, доказывая, что эти матрицы образуют поле. Этот изоморфизм связывает квадрат абсолютного значения комплексного числа с определителем соответствующей матрицы, а сопряженное комплексное число — с транспонированием матрицы .

Геометрическое описание умножения комплексных чисел также можно выразить через матрицы вращения, используя это соответствие между комплексными числами и такими матрицами. Действие матрицы на вектор ( x , y ) соответствует умножению x + iy на a + ib . В частности, если определитель равен 1 , существует действительное число t такое, что матрица имеет вид

$${\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\;\;\cos t\end{pmatrix}}.$$

В этом случае действие матрицы на векторы и умножение на комплексное число $\cos t+i\sin t$ оба являются поворотом на угол t .

Комплексный анализ

Основная статья: Комплексный анализ

Изучение функций комплексной переменной известно как комплексный анализ и имеет огромное практическое применение как в прикладной математике, так и в других разделах математики. Зачастую наиболее естественные доказательства утверждений реального анализа или даже теории чисел используют методы комплексного анализа ( см. в теореме о простых числах пример ).

Граф раскраски домена функции ( С ² - 1)( z - 2 - я ) ² / С ² + 2 + 2 я . Более темные пятна обозначают модули, близкие к нулю, более яркие пятна находятся дальше от начала координат. Цвет кодирует аргумент. Функция имеет нули для ±1, (2 + i ) и полюсы в точках $\pm {\sqrt {-2-2i}}.$

В отличие от реальных функций, которые обычно представляются в виде двумерных графиков, сложные функции имеют четырехмерные графики и могут быть с пользой проиллюстрированы путем цветового кодирования трехмерного графика, чтобы обозначить четыре измерения, или путем анимации динамического преобразования сложной функции. сложный самолет.

Конвергенция

Иллюстрация поведения последовательности $z^{n}$ для трех разных значений z (все имеют один и тот же аргумент): для $|z|<1$ последовательность сходится к 0 (внутренняя спираль), а при $|z|>1$ (внешняя спираль).

Понятия сходящегося ряда и непрерывных функций в (реальном) анализе имеют естественные аналоги в комплексном анализе. Говорят, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда сходятся ее действительная и мнимая части. Это эквивалентно (ε, δ)-определению пределов , где абсолютное значение действительных чисел заменяется абсолютным значением комплексных чисел. С более абстрактной точки зрения, $\mathbb {C}$, наделенный метрикой

$$\operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|$$

является полным метрическим пространством , которое, в частности, включает неравенство треугольника

$$|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|$$

для любых двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ .

Комплексная экспонента

Иллюстрация комплексной экспоненциальной функции, отображающей комплексную плоскость, w = exp ⁡( z ). На левой плоскости показана квадратная сетка с размером ячейки 1, с выделенными тремя комплексными числами 0, 1 и i . Два прямоугольника (пурпурного и зеленого цвета) отображаются в круговые сегменты, а линии, параллельные оси X , отображаются в лучи, исходящие из начала координат, но не содержащие его. Линии, параллельные оси Y , отображаются в круги.

Как и в реальном анализе, это понятие сходимости используется для построения ряда элементарных функций : показательная функция exp z , также обозначаемая e ^С определяется как бесконечный ряд , который, как можно показать, сходится для любого z :

$$\exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$$

Например, $\exp(1)$ Эйлера постоянная $e\approx 2.718$. Формула Эйлера гласит:

$$\exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi$$

для любого действительного числа φ . Эта формула является быстрым следствием общих основных фактов о сходящихся степенных рядах и определения задействованных функций как степенных рядов. В качестве частного случая сюда входит тождество Эйлера.

$$\exp(i\pi )=-1.$$

Комплексный логарифм

Экспоненциальная функция отображает комплексные числа z , отличающиеся кратно $2\pi i$ тому же комплексному числу w .

Для любого положительного действительного числа t существует уникальное действительное число x такое, что $\exp(x)=t$. Это приводит к определению натурального логарифма как обратного $\ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x$показательной функции. Иная ситуация с комплексными числами, поскольку

$\exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z$

функциональным уравнением и тождеством Эйлера. Например, э ^яπ = и ^{3 иπ} = −1 , поэтому и iπ , и 3 iπ являются возможными значениями комплексного логарифма −1 .

В общем, для любого ненулевого комплексного числа w любое число z, решающее уравнение

$\exp z=w$

называется комплексным логарифмом w и обозначается $\log w$. Можно показать, что эти числа удовлетворяют

$$z=\log w=\ln |w|+i\arg w,$$

где arg — аргумент, определенный выше , а ln — (действительный) натуральный логарифм . Поскольку arg — многозначная функция , уникальная только до кратности 2 π , log также является многозначной. Главное значение журнала часто берется путем ограничения мнимой части интервалом ( − π , π ] . Это приводит к тому, что комплексный логарифм является биективной функцией, принимающей значения в полосе $\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]$ (что обозначается $S_{0}$ на иллюстрации выше)

$$\ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].$$

Если $z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)$не является неположительным действительным числом (положительным или недействительным числом), результирующее главное значение комплексного логарифма получается при - π < φ < π . Это аналитическая функция вне отрицательных действительных чисел, но ее нельзя продолжить до функции, непрерывной при любом отрицательном действительном числе. $z\in -\mathbb {R} ^{+}$, где главное значение равно ln z = ln(− z ) + iπ .

Комплексное возведение в степень z ^ой определяется как

$$z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),$$

и является многозначным, за исключением случаев, когда ω является целым числом. Для ω = 1/ n для некоторого натурального числа n это восстанавливает неединственность корней n-й степени, упомянутую выше. Если z > 0 действительное (а ω — произвольное комплексное число), у человека есть предпочтительный выбор $\ln x$, действительный логарифм, который можно использовать для определения предпочтительной экспоненциальной функции.

Комплексные числа, в отличие от действительных чисел, в целом не удовлетворяют тождествам неизмененной степени и логарифма, особенно если их наивно рассматривать как однозначные функции; см. отказ степени и логарифмического тождества . Например, они не удовлетворяют

$$a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.$$

Обе части уравнения многозначны в соответствии с определением комплексного возведения в степень, данным здесь, а значения слева являются подмножеством значений справа.

Комплексный синус и косинус

Ряд, определяющий действительные тригонометрические функции sin и cosine , а также гиперболические функции sinh и cosh, также переносится без изменения на комплексные аргументы. С другими тригонометрическими и гиперболическими функциями, такими как tangent , дела обстоят несколько сложнее, поскольку определяющие ряды сходятся не для всех комплексных значений. Поэтому их необходимо определять либо через синус, косинус и экспоненту, либо, что то же самое, используя метод аналитического продолжения .

Голоморфные функции

График цветового круга функции sin(1/ z ) , который голоморфен, за исключением точки z = 0, что является существенной особенностью этой функции. Белые части внутри относятся к числам, имеющим большие абсолютные значения.

Функция $f:\mathbb {C}$ → $\mathbb {C}$ называется голоморфным или комплексно дифференцируемым в точке $z_{0}$ если предел

$\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$

существует (в этом случае оно обозначается $f'(z_{0})$). Это имитирует определение действительных дифференцируемых функций, за исключением того, что все величины являются комплексными числами. Грубо говоря, свобода подхода $z_{0}$в разных направлениях накладывает гораздо более сильное условие, чем (действительная) дифференцируемость. Например, функция

$f(z)={\overline {z}}$

дифференцируема как функция $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$, но не является комплексно дифференцируемым. Действительная дифференцируемая функция является комплексно дифференцируемой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана , которые иногда сокращают как

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.$

Комплексный анализ показывает некоторые особенности, не очевидные при реальном анализе. Например, теорема тождества утверждает, что две голоморфные функции f и g согласуются, если они согласуются на сколь угодно малом открытом подмножестве $\mathbb {C}$. Мероморфные функции , функции, которые локально можно записать как f ( z )/( z − z ₀ ) ^н с голоморфной функцией f по-прежнему имеют некоторые черты голоморфных функций. Другие функции имеют существенные особенности , такие как sin(1/ z ) при z = 0 .

Приложения

Комплексные числа находят применение во многих научных областях, включая обработку сигналов , теорию управления , электромагнетизм , гидродинамику , квантовую механику , картографию и анализ вибрации . Некоторые из этих приложений описаны ниже.

Комплексное сопряжение также используется в инверсной геометрии — разделе геометрии, изучающем более общие отражения, чем отражения относительно прямой. В сетевом анализе электрических цепей комплексное сопряжение используется для нахождения эквивалентного импеданса, когда теорема о максимальной передаче мощности ищется .

Геометрия

Формы

Три неколлинеарные точки $u,v,w$ на плоскости определить форму треугольника $\{u,v,w\}$. Располагая точки на комплексной плоскости, эту форму треугольника можно выразить комплексной арифметикой как

$$S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.$$

Форма $S$треугольника останется прежним, когда комплексная плоскость преобразуется путем перемещения или расширения (путем аффинного преобразования ), что соответствует интуитивному понятию формы и описывает сходство . Таким образом, каждый треугольник $\{u,v,w\}$ находится в классе подобия треугольников одинаковой формы.

Фрактальная геометрия

Набор Мандельброта с помеченными действительными и мнимыми осями.

— Множество Мандельброта популярный пример фрактала, образованного на комплексной плоскости. Это определяется путем нанесения на график каждого местоположения $c$ где итерация последовательности $f_{c}(z)=z^{2}+c$не расходится при бесконечном повторении . Аналогично, множества Джулии имеют те же правила, за исключением случаев, когда $c$ остается постоянным.

Треугольники

Каждый треугольник имеет уникальный эллипс Штейнера – эллипс внутри треугольника, касающийся середин трех сторон треугольника. Фокусы эллипса Штейнера треугольника можно найти следующим образом, согласно теореме Мардена : Обозначим вершины треугольника в комплексной плоскости как a = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i и c = x _C + y _C i . Напишите кубическое уравнение $(x-a)(x-b)(x-c)=0$, возьмите его производную и приравняйте (квадратическую) производную нулю. Теорема Мардена гласит, что решениями этого уравнения являются комплексные числа, обозначающие положения двух фокусов эллипса Штейнера.

Алгебраическая

Построение правильного пятиугольника с помощью линейки и циркуля .

Как уже говорилось выше, любое непостоянное полиномиальное уравнение (с комплексными коэффициентами) имеет решение $\mathbb {C}$. Тем более то же самое верно, если уравнение имеет рациональные коэффициенты. Корни таких уравнений называются алгебраическими числами — они являются основным объектом изучения в теории алгебраических чисел . По сравнению с ${\overline {\mathbb {Q} }}$, алгебраическое замыкание $\mathbb {Q}$, который также содержит все алгебраические числа, $\mathbb {C}$имеет то преимущество, что его легко понять в геометрических терминах. Таким образом, алгебраические методы можно использовать для изучения геометрических вопросов и наоборот. С помощью алгебраических методов, более конкретно применяя аппарат теории поля к числовому полю , содержащему корни из единицы , можно показать, что невозможно построить правильный девятиугольник, используя только циркуль и линейку - чисто геометрическая проблема.

Другой пример — целые числа Гаусса ; то есть числа вида x + iy , где x и y — целые числа, которые можно использовать для классификации сумм квадратов .

Аналитическая теория чисел

Основная статья: Аналитическая теория чисел

Аналитическая теория чисел изучает числа, часто целые или рациональные числа, используя тот факт, что их можно рассматривать как комплексные числа, для которых можно использовать аналитические методы. Это делается путем кодирования теоретико-числовой информации в комплексных функциях. Например, дзета-функция Римана ζ( s ) связана с распределением простых чисел .

Несобственные интегралы

В прикладных областях комплексные числа часто используются для вычисления некоторых действительных несобственных интегралов с помощью комплексных функций. Для этого существует несколько методов; см. методы контурного интегрирования .

Динамические уравнения

В дифференциальных уравнениях обычно сначала находят все комплексные корни r характеристического уравнения линейного дифференциального уравнения или системы уравнений, а затем пытаются решить систему в терминах базовых функций вида f ( t ) = e ^рт . Аналогично, в разностных уравнениях используются комплексные корни r характеристического уравнения системы разностных уравнений, чтобы попытаться решить систему с точки зрения основных функций вида f ( t ) = r ^т .

Линейная алгебра

С $\mathbb {C}$алгебраически замкнута, любая непустая комплексная квадратная матрица имеет хотя бы одно (комплексное) собственное значение . Для сравнения, реальные матрицы не всегда имеют действительные собственные значения, например, матрицы вращения (для поворота плоскости на углы, отличные от 0 ° или 180 °) не оставляют фиксированного направления и, следовательно, не имеют никакого реального собственного значения. Существование (комплексных) собственных значений и последующее существование собственного разложения является полезным инструментом для вычисления степеней матриц и матричных экспонент .

Комплексные числа часто обобщают концепции, изначально заложенные в вещественных числах. Например, сопряженное транспонирование обобщает транспонирование , эрмитовы матрицы обобщают симметричные матрицы , а унитарные матрицы обобщают ортогональные матрицы .

В прикладной математике

Теория управления

См. Также: Комплексная плоскость § Использование в теории управления.

В теории управления системы часто преобразуются из временной области в комплексную частотную область с использованием преобразования Лапласа . системы Затем нули и полюса анализируются в комплексной плоскости . , Методы корневого годографа графика Найквиста и графика Николса используют комплексную плоскость.

В методе корневого годографа важно, находятся ли нули и полюса в левой или правой полуплоскостях, то есть имеют действительную часть больше или меньше нуля. Если линейная, нестационарная (LTI) система имеет полюсы, которые

• в правой полуплоскости он будет неустойчив ,
• все в левой полуплоскости, будет устойчиво ,
• на мнимой оси он будет иметь предельную устойчивость .

Если система имеет нули в правой полуплоскости, это неминимально-фазовая система.

Анализ сигналов

Комплексные числа используются в анализе сигналов и других областях для удобного описания периодически меняющихся сигналов. Для данных действительных функций, представляющих реальные физические величины, часто в терминах синусов и косинусов, рассматриваются соответствующие комплексные функции, действительные части которых являются исходными величинами. Для синусоидального сигнала заданной частоты абсолютное значение | г | соответствующего z является амплитудой , а аргумент arg z является фазой .

Если анализ Фурье используется для записи данного действительного сигнала в виде суммы периодических функций, эти периодические функции часто записываются как комплексные функции вида

$$x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}$$

и

$$X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}$$

где ω представляет угловую частоту , а комплексное число A кодирует фазу и амплитуду, как объяснено выше.

Это использование также распространяется на цифровую обработку сигналов и цифровую обработку изображений , которые используют цифровые версии анализа Фурье (и вейвлет- анализа) для передачи, сжатия , восстановления и иной обработки цифровых аудиосигналов , неподвижных изображений и видеосигналов .

Другой пример, относящийся к двум боковым полосам амплитудной модуляции AM-радио:

$${\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}$$

По физике

Электромагнетизм и электротехника

Основная статья: Переменный ток

В электротехнике используется преобразование Фурье для анализа изменяющихся напряжений и токов . Тогда подход к резисторам , конденсаторам и катушкам индуктивности можно унифицировать, введя для последних двух мнимые, зависящие от частоты сопротивления и объединив все три в одно комплексное число, называемое импедансом . Этот подход называется векторным исчислением.

В электротехнике мнимая единица обозначается j , чтобы избежать путаницы с I , которая обычно используется для обозначения электрического тока , или, более конкретно, i , которая обычно используется для обозначения мгновенного электрического тока.

Поскольку напряжение в цепи переменного тока колеблется, его можно представить как

$$V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),$$

Для получения измеримой величины берут действительную часть:

$$v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.$$

Комплексный сигнал V ( t ) называется аналитическим представлением действительного измеримого сигнала v ( t ) .

Гидродинамика

В гидродинамике сложные функции используются для описания потенциального потока в двух измерениях .

Квантовая механика

Поле комплексных чисел присуще математическим формулировкам квантовой механики , где комплексные гильбертовы пространства обеспечивают контекст для одной такой формулировки, которая является удобной и, возможно, наиболее стандартной. Исходные основные формулы квантовой механики – уравнение Шрёдингера Гейзенберга и матричная механика – используют комплексные числа.

Относительность

В специальной и общей теории относительности некоторые формулы для метрики пространства -времени становятся проще, если считать временную составляющую пространственно-временного континуума мнимой. (Этот подход больше не является стандартным в классической теории относительности, но существенно используется в квантовой теории поля .) Комплексные числа необходимы для спиноров , которые являются обобщением тензоров, используемых в теории относительности.

Характеристики, обобщения и родственные понятия

Алгебраическая

Поле $\mathbb {C}$ имеет следующие три свойства:

• Во-первых, он имеет характеристику 0. Это означает, что 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 для любого количества слагаемых (все из которых равны единице).
• Во-вторых, степень его трансцендентности над $\mathbb {Q}$, поле простое $\mathbb {C} ,$ есть мощность континуума .
• В-третьих, оно алгебраически замкнуто (см. выше).

Можно показать, что любое поле, обладающее этими свойствами, изоморфно (как поле) $\mathbb {C} .$ Например, алгебраическое замыкание поля $\mathbb {Q} _{p}$ p -адического числа также удовлетворяет этим трем свойствам, поэтому эти два поля изоморфны (как поля, но не как топологические поля). Также, $\mathbb {C}$изоморфно полю комплексных рядов Пюизо . Однако для определения изоморфизма требуется аксиома выбора . Другое следствие этой алгебраической характеристики состоит в том, что $\mathbb {C}$ содержит много собственных подполей, изоморфных $\mathbb {C}$.

Характеризация как топологическое поле

Предыдущая характеристика $\mathbb {C}$ описывает только алгебраические аспекты $\mathbb {C} .$Иными словами, свойства близости и непрерывности , которые имеют значение в таких областях, как анализ и топология не рассматриваются . Следующее описание $\mathbb {C}$ поскольку топологическое поле (то есть поле, снабженное топологией , допускающей понятие сходимости) действительно учитывает топологические свойства. $\mathbb {C}$ содержит подмножество P (а именно набор положительных действительных чисел) ненулевых элементов, удовлетворяющих следующим трем условиям:

• P замкнут при сложении, умножении и обратном.
• Если x и y — различные элементы P , то либо x − y либо y − x находится в P. ,
• Если S — любое непустое подмножество P , то S + P = x + P для некоторого x из $\mathbb {C} .$

Более того, $\mathbb {C}$ имеет нетривиальный инволютивный автоморфизм x ↦ x * (а именно комплексное сопряжение), такой, что x x * находится в P для любого ненулевого x в $\mathbb {C} .$

Любое поле F с этими свойствами можно наделить топологией, взяв множества B ( x , p ) = { y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P } в качестве базы , где x пробегает поле, а p пробегает P . В этой топологии F изоморфно как топологическое поле $\mathbb {C} .$

Единственными связными локально компактными топологическими полями являются $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C} .$ Это дает еще одну характеристику $\mathbb {C}$ как топологическое поле, поскольку $\mathbb {C}$ можно отличить от $\mathbb {R}$ потому что ненулевые комплексные числа связаны , а ненулевые действительные числа - нет.

Другие системы счисления

Основные статьи: конструкция Кэли-Диксона , кватернион и октонион.

Системы счисления

	рациональное число $\mathbb {Q}$	вещественные числа $\mathbb {R}$	комплексные числа $\mathbb {C}$	кватернионы $\mathbb {H}$	октонионы $\mathbb {O}$	седенионы $\mathbb {S}$
полный	Нет	Да	Да	Да	Да	Да
измерение как $\mathbb {R}$-векторное пространство	[не относится]	1	2	4	8	16
заказал	Да	Да	Нет	Нет	Нет	Нет
коммутативное умножение ( $xy=yx$)	Да	Да	Да	Нет	Нет	Нет
ассоциативное умножение ( $(xy)z=x(yz)$)	Да	Да	Да	Да	Нет	Нет
нормированная алгебра с делением (над $\mathbb {R}$)	[не относится]	Да	Да	Да	Да	Нет

Процесс расширения поля $\mathbb {R}$ реалов в $\mathbb {C}$является примером конструкции Кэли-Диксона . Итеративно применяя эту конструкцию к $\mathbb {C}$ затем дает кватернионы , октонионы и седенионы . Эта конструкция, как оказывается, умаляет структурные свойства задействованных систем счисления.

В отличие от реальных, $\mathbb {C}$не является упорядоченным полем , то есть невозможно определить отношение z ₁ < z ₂ , совместимое со сложением и умножением. Фактически, в любом упорядоченном поле квадрат любого элемента обязательно положителен, поэтому я ² = −1 исключает существование упорядочения на $\mathbb {C} .$ Переходя от $\mathbb {C}$ к кватернионам $\mathbb {H}$теряет коммутативность, а октонионы (помимо того, что они не коммутативны) не могут быть ассоциативными. Действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы — все это нормированные алгебры с делением над $\mathbb {R}$. По теореме Гурвица они единственные; седенионы , следующий шаг в конструкции Кэли-Диксона, не имеют такой структуры.

Конструкция Кэли–Диксона тесно связана с регулярным представлением $\mathbb {C} ,$ мыслится как $\mathbb {R}$- алгебра (ан $\mathbb {R}$-векторное пространство с умножением) относительно базиса (1, i ) . Это означает следующее: $\mathbb {R}$-линейная карта

$${\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}$$

для некоторого фиксированного комплексного числа w может быть представлено матрицей 2 × 2 (после выбора базиса). По отношению к базису (1, i ) эта матрица имеет вид

$${\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},$$

то есть тот, который упоминался выше в разделе о матричном представлении комплексных чисел. Хотя это представление линейное $\mathbb {C}$в вещественных матрицах 2 × 2 он не единственный. Любая матрица

$$J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0$$

обладает тем свойством, что его квадрат является отрицательным значением единичной матрицы: J ² = - Я . Затем

$$\{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}$$

также изоморфно полю $\mathbb {C} ,$ и дает альтернативную сложную структуру на $\mathbb {R} ^{2}.$ Это обобщается понятием линейной комплексной структуры .

Гиперкомплексные числа также обобщают $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ $\mathbb {H} ,$ и $\mathbb {O} .$ Например, в это понятие входят расщепляемые комплексные числа , являющиеся элементами кольца $\mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)$ (в отличие от $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$для комплексных чисел). В этом кольце уравнение a ² = 1 имеет четыре решения.

Поле $\mathbb {R}$ является завершением $\mathbb {Q} ,$поле рациональных чисел по отношению к обычной абсолютного значения метрике . Другие варианты показателей на $\mathbb {Q}$ вести к полям $\mathbb {Q} _{p}$ ( p -адических чисел для любого простого числа p ), которые тем самым аналогичны $\mathbb {R}$. Других нетривиальных способов завершения нет. $\mathbb {Q}$ чем $\mathbb {R}$ и $\mathbb {Q} _{p},$по теореме Островского . Алгебраические замыкания ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ из $\mathbb {Q} _{p}$ еще несут норму, но (в отличие от $\mathbb {C}$) не являются полными относительно него. Завершение $\mathbb {C} _{p}$ из ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$оказывается алгебраически замкнутым. По аналогии это поле называется p -адическими комплексными числами.

Поля $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {Q} _{p},$ и их конечные расширения полей, включая $\mathbb {C} ,$ называются локальными полями .

См. также

• Круговое движение с использованием комплексных чисел
• Аналитическое продолжение
• Комплексно-базовая система
• Сложная геометрия
• Геометрия чисел
• Двойное комплексное число
• целое число Эйзенштейна
• Геометрическая алгебра (которая включает комплексную плоскость как двумерное спинорное подпространство) ${\mathcal {G}}_{2}^{+}$)
• Комплексный номер единицы

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ (3-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-000657-7 .
• Андрееску, Титу; Андрика, Дорин (2014), Комплексные числа от А до ... Я (второе изд.), Нью-Йорк: Springer, doi : 10.1007/978-0-8176-8415-0 , ISBN  978-0-8176-8414-3
• Апостол, Том (1981). Математический анализ . Аддисон-Уэсли.
• Ауфманн, Ричард Н.; Баркер, Вернон К.; Нация, Ричард Д. (2007). Колледж алгебры и тригонометрии (6-е изд.). Cengage Обучение. ISBN  978-0-618-82515-8 .
• Конвей, Джон Б. (1986). Функции одной комплексной переменной I . Спрингер. ISBN  978-0-387-90328-6 .
• Дербишир, Джон (2006). Неизвестное количество: Реальная и воображаемая история алгебры . Джозеф Генри Пресс. ISBN  978-0-309-09657-7 .
• Джоши, Капил Д. (1989). Основы дискретной математики . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-470-21152-6 .
• Нидхэм, Тристан (1997). Визуальный комплексный анализ . Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-853447-1 .
• Педо, Дэн (1988). Геометрия: Комплексный курс . Дувр. ISBN  978-0-486-65812-4 .
• Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной . Альфред А. Кнопф. ISBN  978-0-679-45443-4 .
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007). «Раздел 5.5 Комплексная арифметика» . Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8 . Архивировано из оригинала 13 марта 2020 года . Проверено 9 августа 2011 г.
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Комплексное число» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Historical references

• Argand (1814). "Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise" [Reflections on the new theory of complex numbers, followed by an application to the proof of a theorem of analysis]. Annales de mathématiques pures et appliquées (in French). 5: 197–209.
• Bourbaki, Nicolas (1998). "Foundations of mathematics § logic: set theory". Elements of the history of mathematics. Springer.
• Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9.
• Gauss, C. F. (1831). "Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda" [Theory of biquadratic residues. Second memoir.]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (in Latin). 7: 89–148.
• Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2.
• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. — A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
• Ebbinghaus, H. D.; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover ed.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. — An advanced perspective on the historical development of the concept of number.