Теория стабильности

В математике теория устойчивости занимается устойчивостью решений дифференциальных уравнений и траекторий динамических систем при малых возмущениях начальных условий. Уравнение теплопроводности , например, является устойчивым уравнением в частных производных, поскольку небольшие возмущения исходных данных приводят к небольшим изменениям температуры в более позднее время в результате действия принципа максимума . В уравнениях в частных производных можно измерить расстояния между функциями, используя L ^п нормы или норма sup, тогда как в дифференциальной геометрии расстояние между пространствами можно измерить с помощью расстояния Громова – Хаусдорфа .

В динамических системах орбита называется устойчивой по Ляпунову, если прямая орбита любой точки находится в достаточно малой окрестности или остается в малой (но, возможно, большей) окрестности. Были разработаны различные критерии для доказательства устойчивости или нестабильности орбиты. При благоприятных обстоятельствах вопрос может быть сведен к хорошо изученной задаче о значениях матриц собственных . Более общий метод предполагает использование функций Ляпунова . любой из множества различных критериев устойчивости На практике применяется .

Обзор динамических систем

Многие части качественной теории дифференциальных уравнений и динамических систем посвящены асимптотическим свойствам решений и траекторий — тому, что происходит с системой через длительный период времени. Самый простой вид поведения демонстрируют точки равновесия или фиксированные точки, а также периодические орбиты . Если конкретная орбита хорошо понята, естественно задать следующий вопрос, приведет ли небольшое изменение начального состояния к аналогичному поведению. Теория стабильности рассматривает следующие вопросы: будет ли ближайшая орбита бесконечно оставаться близкой к данной орбите? Сойдется ли он на заданную орбиту? В первом случае орбита называется стабильной ; в последнем случае ее называют асимптотически устойчивой , а данную орбиту называют притягивающей .

Равновесное решение $f_{e}$ к автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка называется:

стабильно, если для каждого (маленького) $\epsilon >0$ , существует $\delta >0$ такое, что каждое решение $f(t)$ наличие начальных условий на расстоянии $\delta$ т.е. $\|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta$ равновесия остается на расстоянии $\epsilon$ т.е. $\|f(t)-f_{e}\|<\epsilon$ для всех $t\geq t_{0}$ .
асимптотически устойчив, если он устойчив и, кроме того, существует $\delta _{0}>0$ такое, что всякий раз, когда $\|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta _{0}$ затем $f(t)\rightarrow f_{e}$ как $t\rightarrow \infty$ .

Стабильность означает, что траектории не слишком сильно изменяются при небольших возмущениях. Интересна и обратная ситуация, когда ближайшая орбита отталкивается от заданной. В общем случае возмущение начального состояния в одних направлениях приводит к асимптотическому приближению траектории к заданной, а в других направлениях к удалению от нее. Могут быть и направления, для которых поведение возмущенной орбиты более сложное (не сходящееся и не ускользающее полностью), и тогда теория устойчивости не дает достаточной информации о динамике.

Одна из ключевых идей теории устойчивости состоит в том, что качественное поведение орбиты при возмущениях можно проанализировать с помощью линеаризации системы вблизи орбиты. В частности, в каждом состоянии равновесия гладкой динамической системы с n -мерным фазовым пространством существует некоторая n × n -матрица A которой , собственные значения характеризуют поведение близлежащих точек ( теорема Хартмана–Гробмана ). Точнее, если все собственные значения являются отрицательными действительными числами или комплексными числами с отрицательными действительными частями, то точка является устойчивой притягивающей неподвижной точкой, а близлежащие точки сходятся к ней с экспоненциальной скоростью, ср. устойчивость по Ляпунову и экспоненциальную устойчивость . Если ни одно из собственных значений не является чисто мнимым (или нулевым), то направления притяжения и отталкивания связаны с собственными пространствами матрицы A с собственными значениями, действительная часть которых отрицательна и, соответственно, положительна. Аналогичные утверждения известны и для возмущений более сложных орбит.

Стабильность фиксированных точек в 2D

Парадигматическим случаем является устойчивость начала координат при линейном автономном дифференциальном уравнении ${\dot {X}}=AX$ где $X={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ и $A$ представляет собой матрицу 2х2.

Иногда мы выполняли смену основы, $X'=CX$ для некоторой обратимой матрицы $C$ , что дает ${\dot {X}}'=C^{-1}ACX'$ . Мы говорим $C^{-1}AC$ является " $A$ в новом базисе». Поскольку $\det A=\det C^{-1}AC$ и $\operatorname {tr} A=\operatorname {tr} C^{-1}AC$ , мы можем классифицировать стабильность происхождения, используя $\det A$ и $\operatorname {tr} A$ , свободно используя смену базиса.

Классификация типов устойчивости

Если $\det A=0$ , то ранг $A$ равен нулю или единице.

Если ранг равен нулю, то $A=0$ , и потока нет.
Если ранг один, то $\ker A$ $\ker A$ и $\operatorname {im} A$ $\operatorname {im} A$ оба одномерны.
- Если $\ker A=\operatorname {im} A$ , тогда пусть $v$ охватывать $\ker A$ , и пусть $w$ быть прообразом $v$ , затем в $\{v,w\}$ основа, $A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$ , и поэтому течение представляет собой сдвиг вдоль $v$ направление. В этом случае, $\operatorname {tr} A=0$ .
- Если $\ker A\neq \operatorname {im} A$ $\ker A\neq \operatorname {im} A$ , тогда пусть $v$ $v$ охватывать $\ker A$ $\ker A$ и пусть $w$ $ш$ охватывать $\operatorname {im} A$ $\operatorname {im} A$ , затем в $\{v,w\}$ $\{v,w\}$ основа, $A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}$ $A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}$ для некоторого ненулевого действительного числа $a$ $а$ .
  - Если $\operatorname {tr} A>0$ , то оно неустойчиво и расходится со скоростью $a$ от $\ker A$ вдоль параллельных переводов $\operatorname {im} A$ .
  - Если $\operatorname {tr} A<0$ , то оно устойчиво и сходится со скоростью $a$ к $\ker A$ вдоль параллельных переводов $\operatorname {im} A$ .

Если $\det A\neq 0$ , мы сначала находим жорданову нормальную форму матрицы, чтобы получить базис $\{v,w\}$ в котором $A$ является одной из трех возможных форм:

${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}$ где $a,b\neq 0$ ${\ displaystyle a, b \ neq 0}$ .
- Если $a,b>0$ , затем ${\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=-(a-b)^{2}\leq 0\\\det A=ab>0\end{cases}}$ . Начало координат — источник , с интегральными кривыми вида $y=cx^{b/a}$
- Аналогично для $a,b<0$ . Происхождение — раковина .
- Если $a>0>b$ или $a<0<b$ , затем $\det A<0$ , а начало координат - седловая точка . с интегральными кривыми вида $y=cx^{-|b/a|}$ .
${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}$ где $a\neq 0$ $а\neq 0$ . Это можно еще больше упростить, изменив базис на $C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}$ $C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}$ , после чего $A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ $A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ . Мы можем явно решить ${\dot {X}}=AX$ ${\dot {X}}=AX$ с $A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ $A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ . Решение $X(t)=e^{At}X(0)$ $X(t)=e^{At}X(0)$ с $e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}$ $e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}$ . Этот случай называется « вырожденным узлом ». Интегральные кривые в этом базисе представляют собой центральные расширения $x=y\ln y$ $x=y\ln y$ , плюс ось X.
- Если $\operatorname {tr} A>0$ , то начало координат является вырожденным источником . В противном случае это выродившаяся раковина .
- В обоих случаях $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0$
$a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$ $a{\begin{bmatrix}\cos \theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}}$ где $a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]$ $a>0,\theta \in (-\pi,\pi]$ . В этом случае, $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0$ $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta)^{2}\geq 0$ .
- Если $\theta \in (-\pi ,-\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]$ , то это спиральный сток . В этом случае, ${\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A<0\end{cases}}$ . Целые линии представляют собой логарифмические спирали .
- Если $\theta \in (-\pi /2,\pi /2)$ , то это спиральный источник . В этом случае, ${\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A>0\end{cases}}$ . Целые линии представляют собой логарифмические спирали .
- Если $\theta =-\pi /2,\pi /2$ , то это вращение (« нейтральная устойчивость ») со скоростью $a$ , не двигаясь ни к началу координат, ни от него. В этом случае, $\operatorname {tr} A=0$ . Целые линии представляют собой окружности.

Сводная информация показана на диаграмме стабильности справа. В каждом случае, кроме случая $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0$ , значения $(\operatorname {tr} A,\det A)$ позволяет однозначно классифицировать тип потока.

Для частного случая $4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0$ , есть два случая, которые нельзя различить по $(\operatorname {tr} A,\det A)$ . В обоих случаях $A$ имеет только одно собственное значение с алгебраической кратностью 2.

Если собственное значение имеет двумерное собственное пространство ( геометрическая кратность 2), то система представляет собой центральный узел (иногда называемый « звездой » или « дикритическим узлом »), который является либо источником (когда $\operatorname {tr} A>0$ ) или раковина (когда $\operatorname {tr} A<0$ ). ^[2]
Если она имеет одномерное собственное пространство ( геометрическая кратность 1), то система является вырожденным узлом (если $\det A>0$ ) или сдвиговое течение (если $\det A=0$ ).

Поток, сохраняющий площадь

Когда $\operatorname {tr} A=0$ , у нас есть $\det e^{At}=e^{\operatorname {tr} (A)t}=1$ , поэтому поток сохраняет площадь. При этом тип течения классифицируют по $\det A$ .

Если $\det A>0$ , то это вращение («нейтральная устойчивость») вокруг начала координат.
Если $\det A=0$ , то это сдвиговое течение.
Если $\det A<0$ , то начало координат является седловой точкой.

Стабильность фиксированных точек

Самый простой вид орбиты — это неподвижная точка или равновесие. Если механическая система находится в состоянии устойчивого равновесия, то небольшой толчок приведет к локализованному движению, например к небольшим колебаниям , как в случае маятника . В системе с затуханием устойчивое состояние равновесия при этом асимптотически устойчиво. С другой стороны, для неустойчивого равновесия, такого как мяч, покоящийся на вершине холма, некоторые небольшие толчки приведут к движению с большой амплитудой, которое может сходиться, а может и не сходиться к исходному состоянию.

Существуют полезные тесты устойчивости для случая линейной системы. Устойчивость нелинейной системы часто можно вывести из устойчивости ее линеаризации .

Карты

Пусть $f : R \to R$ — непрерывно дифференцируемая функция с неподвижной точкой $a$ , $f (a) = a$ . Рассмотрим динамическую систему, полученную итерацией функции $f$ :

x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .

Неподвижная точка $a$ устойчива, если абсолютное значение производной f a $a$ в точке $строго$ меньше 1, и неустойчива, если она строго больше 1. Это связано с тем, что вблизи точки $функция$ f $имеет$ линейное приближение с наклоном $ж' (а)$ :

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).

Таким образом

{\begin{aligned}x_{n+1}-a&=f(x_{n})-a\\&\approx f(a)+f'(a)(x_{n}-a)-a\\&=a+f'(a)(x_{n}-a)-a\end{aligned}}

\Rightarrow f'(a)\approx {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}

это означает, что производная измеряет скорость, с которой последовательные итерации приближаются к фиксированной точке $a$ или отклоняются от нее. Если производная в $точке a$ равна точно 1 или -1, то для определения устойчивости требуется дополнительная информация.

Аналогичный критерий существует для непрерывно дифференцируемого отображения $f : R н \to Р н$ с неподвижной точкой $a$ , выраженной через матрицу Якоби в точке $a$ , $J a (f)$ . Если все собственные значения являются $J$ действительными или комплексными числами с абсолютным значением строго меньше 1, то $a$ является устойчивой неподвижной точкой; если хотя бы один из них имеет абсолютное значение строго больше 1, то $а$ неустойчиво. Как и в случае $n$ = 1, случай, когда наибольшее абсолютное значение равно 1, требует дальнейшего изучения — тест матрицы Якоби не дает результатов. Тот же критерий в более общем плане верен и для диффеоморфизмов многообразия гладкого .

Линейные автономные системы

Устойчивость неподвижных точек системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами первого порядка можно проанализировать с помощью собственных значений соответствующей матрицы.

Автономная система

x'=Ax,

где $x (t) \in R н$ и $A$ — $матрица размера n \times n$ с вещественными элементами, имеет постоянное решение

x(t)=0.

(На другом языке начало координат $0 \in R н$ равновесия соответствующей динамической системы.) Это решение асимптотически устойчиво при $t \to \infty$ («в будущем») тогда и только тогда, когда для всех собственных значений $λ$ оператора $A$ Re $является точкой (λ) < 0$ . Аналогично, он асимптотически устойчив при $t \to -\infty$ («в прошлом») тогда и только тогда, когда для всех собственных значений $λ$ оператора $A$ Re $(λ) > 0$ . Если существует собственное значение $λ$ оператора $A$ такое, что $Re(λ) > 0$ , то решение неустойчиво при $t \to \infty$ .

Применение этого результата на практике для определения устойчивости начала координат линейной системы облегчается критерием устойчивости Рауса – Гурвица . Собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического многочлена . Многочлен от одной переменной с действительными коэффициентами называется многочленом Гурвица, если действительные части всех корней строго отрицательны. Теорема Рауса – Гурвица предполагает характеризацию полиномов Гурвица с помощью алгоритма, который позволяет избежать вычисления корней.

Нелинейные автономные системы

Асимптотическую устойчивость неподвижных точек нелинейной системы часто можно установить с помощью теоремы Хартмана–Гробмана .

Предположим, что $v$ — это $C 1$ - векторное поле в $R н$ который обращается в нуль в точке $p$ , $v (p) = 0$ . Тогда соответствующая автономная система

x'=v(x)

имеет постоянное решение

x(t)=p.

Пусть $Jp в (v)$ — $n \times n$ матрица Якоби размера векторного поля $v$ точке $p$ . Если все собственные значения $J$ имеют строго отрицательную действительную часть, то решение асимптотически устойчиво. Это условие можно проверить с помощью критерия Рауса–Гурвица .

Функция Ляпунова для общих динамических систем

Общий способ установления устойчивости по Ляпунову или асимптотической устойчивости динамической системы — с помощью функций Ляпунова .

См. также

Ссылки

^ Математика Эгвальда - Линейная алгебра: системы линейных дифференциальных уравнений: анализ линейной устойчивости , по состоянию на 10 октября 2019 г.
^ «Узел — математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 30 марта 2023 г.

Филип Холмс и Эрик Т. Ши-Браун (ред.). «Стабильность» . Схоларпедия .

Внешние ссылки

Стабильные равновесия Михаэля Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .

[:0-1] Математика Эгвальда - Линейная алгебра: системы линейных дифференциальных уравнений: анализ линейной устойчивости , по состоянию на 10 октября 2019 г.

[2] «Узел — математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 30 марта 2023 г.

[1]

[2]