Полином Гурвица

В математике многочлен Гурвица , названный в честь Адольфа Гурвица , — это многочлен (нули) которого , корни расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости или на мнимой оси, то есть действительная часть каждого корня равна нулю или отрицательный. ^[1] Такой многочлен должен иметь коэффициенты , которые являются положительными действительными числами . Этот термин иногда ограничивается полиномами, корни которых имеют вещественные части, строго отрицательные, исключая мнимую ось (т. е. стабильный полином Гурвица ). ^[2]^[3]

Полиномиальная функция P ( s ) комплексной переменной s называется гурвицевой, если выполняются следующие условия:

1. P ( s ) веществен, когда s веществен.

2. Корни P ( s ) имеют вещественные части, равные нулю или отрицательные.

Гурвица важны в теории систем управления , поскольку они представляют характеристические уравнения устойчивых . линейных систем Полиномы Является ли полином Гурвицем, можно определить, решив уравнение для нахождения корней, или из коэффициентов без решения уравнения по критерию устойчивости Рауса – Гурвица .

Примеры

Простой пример полинома Гурвица:

x^{2}+2x+1.

Единственное реальное решение — −1, потому что оно учитывается как

(x+1)^{2}.

В общем, все квадратичные многочлены с положительными коэффициентами являются гурвицевыми.Это следует непосредственно из квадратичной формулы :

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.

где, если дискриминант b ²−4 ac меньше нуля, то полином будет иметь два комплексно-сопряженных решения с вещественной частью − b /2 a , которая отрицательна при положительных a и b . будут два совпадающих вещественных решения Если дискриминант равен нулю, то в точке − b /2 a . Наконец, если дискриминант больше нуля, будет два действительных отрицательных решения:потому что ${\sqrt {b^{2}-4ac}}<b$ для положительных a , b и c .

Характеристики

Чтобы полином был гурвицевым, необходимо, но недостаточно, чтобы все его коэффициенты были положительными (за исключением квадратичных многочленов, которые также предполагают достаточность). Необходимым и достаточным условием того, что полином является Гурвицем, является то, что он удовлетворяет критерию устойчивости Рауса–Гурвица . Можно эффективно проверить, является ли данный полином Гурвицем или нет, используя метод разложения цепной дроби Рауса.

Ссылки

^ Куо, Франклин Ф. (1966). Сетевой анализ и синтез, 2-е изд . Джон Уайли и сыновья. стр. 295–296. ISBN 0471511188 .
^ Вайсштейн, Эрик В. (1999). «Полином Гурвица» . Вольфрам Математический мир . Вольфрам Исследования . Проверено 3 июля 2013 г.
^ Редди, Хари К. (2002). «Теория двумерных полиномов Гурвица» . Справочник по схемам и фильтрам, 2-е изд . ЦРК Пресс. стр. 260–263. ISBN 1420041401 . Проверено 3 июля 2013 г.

Уэйн Х. Чен (1964) Проектирование и синтез линейных сетей , стр. 63, McGraw Hill .

[Kuo-1] Куо, Франклин Ф. (1966). Сетевой анализ и синтез, 2-е изд . Джон Уайли и сыновья. стр. 295–296. ISBN 0471511188 .

[Weisstein-2] Вайсштейн, Эрик В. (1999). «Полином Гурвица» . Вольфрам Математический мир . Вольфрам Исследования . Проверено 3 июля 2013 г.

[Reddy-3] Редди, Хари К. (2002). «Теория двумерных полиномов Гурвица» . Справочник по схемам и фильтрам, 2-е изд . ЦРК Пресс. стр. 260–263. ISBN 1420041401 . Проверено 3 июля 2013 г.

[1]

[2]

[3]