Уравнение Сильвестра

В математике , в области теории управления , уравнение Сильвестра представляет собой матричное уравнение вида:

$AX+XB=C.$

Он назван в честь английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра . Тогда, учитывая матрицы A , B и C , проблема состоит в том, чтобы найти возможные матрицы X , которые подчиняются этому уравнению. Предполагается, что все матрицы имеют коэффициенты в комплексных числах . Чтобы уравнение имело смысл, матрицы должны иметь соответствующие размеры, например, все они могут быть квадратными матрицами одинакового размера. Но в более общем смысле A и B должны быть квадратными матрицами размеров n и m соответственно, и тогда X и C имеют n строк и m столбцов.

Уравнение Сильвестра имеет единственное решение для точно тогда, когда нет общих собственных значений A B и − X .В более общем смысле уравнение AX + XB = C рассматривалось как уравнение ограниченных операторов (возможно, бесконечномерном) в банаховом пространстве . В этом случае условие единственности решения X практически такое же: существует единственное решение X ровно тогда, когда спектры A и − B пересекаются не .

Существование и единственность решений

Использование обозначения произведения Кронекера и оператора векторизации $\operatorname {vec}$, мы можем переписать уравнение Сильвестра в виде

$(I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,$

где $A$ имеет размерность $n\!\times \!n$, $B$ имеет размерность $m\!\times \!m$, $X$ размера $n\!\times \!m$ и $I_{k}$ это $k\times k$ идентификационная матрица . В таком виде уравнение можно рассматривать как линейную систему размерностей $mn\times mn$.

Теорема. Даны матрицы $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ и $B\in \mathbb {C} ^{m\times m}$, уравнение Сильвестра $AX+XB=C$ имеет уникальное решение $X\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ для любого $C\in \mathbb {C} ^{n\times m}$ тогда и только тогда, когда $A$ и $-B$ не имеют общего собственного значения.

Доказательство. Уравнение $AX+XB=C$ представляет собой линейную систему с $mn$ неизвестных и столько же уравнений. Следовательно, оно однозначно разрешимо для любого заданного $C$ тогда и только тогда, когда однородное уравнение $AX+XB=0$допускает только тривиальное решение $0$.

(i) Предположим, что $A$ и $-B$ не имеют общего собственного значения. Позволять $X$ является решением упомянутого выше однородного уравнения. Затем $AX=X(-B)$, который можно поднять до $A^{k}X=X(-B)^{k}$для каждого $k\geq 0$методом математической индукции. Следовательно, $p(A)X=Xp(-B)$для любого многочлена $p$. В частности, пусть $p$ быть характеристическим полиномом $A$. Затем $p(A)=0$ по теореме Кэли-Гамильтона ; между тем, теорема спектрального отображения говорит нам $\sigma (p(-B))=p(\sigma (-B)),$где $\sigma (\cdot )$ обозначает спектр матрицы. С $A$ и $-B$ не имеют общего собственного значения, $p(\sigma (-B))$ не содержит нуля и, следовательно, $p(-B)$ является неособым. Таким образом $X=0$ по желанию. Это доказывает часть теоремы «если».

(ii) Теперь предположим, что $A$ и $-B$ разделить собственное значение $\lambda$. Позволять $u$ быть соответствующим правым собственным вектором для $A$, $v$ быть соответствующим левым собственным вектором для $-B$, и $X=u{v}^{*}$. Затем $X\neq 0$, и $AX+XB=A(uv^{*})-(uv^{*})(-B)=\lambda uv^{*}-\lambda uv^{*}=0.$Следовательно $X$ является нетривиальным решением вышеупомянутого однородного уравнения, оправдывающим часть теоремы «только если». КЭД

В качестве альтернативы теореме о спектральном отображении невырожденность $p(-B)$ в части (i) доказательства можно также продемонстрировать тождество Безу для взаимно простых многочленов. Позволять $q$ быть характеристическим полиномом $-B$. С $A$ и $-B$ не имеют общего собственного значения, $p$ и $q$ взаимнопросты. Следовательно, существуют многочлены $f$ и $g$ такой, что $p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1$. По теореме Кэли– Гамильтона $q(-B)=0$. Таким образом $p(-B)f(-B)=I$, подразумевая, что $p(-B)$ является неособым.

Теорема остается верной для реальных матриц с оговоркой, что учитываются их комплексные собственные значения. Доказательство части «если» все еще применимо; что касается части «только если», обратите внимание, что оба $\mathrm {Re} (uv^{*})$ и $\mathrm {Im} (uv^{*})$ удовлетворяют однородному уравнению $AX+XB=0$, и они не могут быть равны нулю одновременно.

Правило удаления Рота

Учитывая две квадратные комплексные матрицы A и B размера n и m и матрицу C размера n на m , можно задаться вопросом, когда следующие две квадратные матрицы размера n + m похожи друг на друга: ${\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}$ и ${\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}$. Ответ заключается в том, что эти две матрицы подобны именно тогда, когда существует матрица X такая, что AX − XB = C . Другими словами, X является решением уравнения Сильвестра. Это известно как правило удаления Рота .

Одно направление легко проверить: если AX − XB = C , то

${\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.$

Правило удаления Рота не распространяется на бесконечномерные ограниченные операторы в банаховом пространстве. Тем не менее правило удаления Рота обобщается на системы уравнений Сильвестра.

Численные решения

Классическим алгоритмом численного решения уравнения Сильвестра является алгоритм Бартельса–Стюарта , заключающийся в преобразовании $A$ и $B$ в форму Шура с помощью QR-алгоритма , а затем решить полученную треугольную систему посредством обратной подстановки . Этот алгоритм, вычислительная стоимость которого составляет ${\mathcal {O}}(n^{3})$ арифметические операции, используется, среди прочего, LAPACK и lyap функция в GNU Octave . См. также sylvester функционировать на этом языке. В некоторых конкретных приложениях обработки изображений полученное уравнение Сильвестра имеет решение в замкнутой форме.

См. также

• Уравнение Ляпунова , частный случай уравнения Сильвестра
• Алгебраическое уравнение Риккати

Ссылки

• Сильвестр, Дж. (1884 г.). «Об уравнениях в матрицах $px=xq$". CR Acad. Sci. Paris . 99 (2): 67–71, 115–116.
• Бартельс, Р.Х.; Стюарт, GW (1972). «Решение матричного уравнения $AX+XB=C$" . Comm. ACM . 15 (9): 820–826. doi : 10.1145/361573.361582 . S2CID   12957010 .
• Бхатия, Р.; Розенталь, П. (1997). «Как и зачем решать операторное уравнение $AX-XB=Y$ ?". Bull. London Math. Soc. 29 (1): 1–21. doi : 10.1112/S0024609396001828 . S2CID   122259404 .
• Дмитришин Андрей; Когстрем, Бо (2015). «Связанные матричные уравнения типа Сильвестра и диагонализация блоков». Журнал SIAM по матричному анализу и его приложениям . 36 (2): 580–593. CiteSeerX   10.1.1.710.6894 . дои : 10.1137/151005907 .
• Ли, С.-Г.; Ву, К.-П. (2011). «Совместные решения уравнений Сильвестра и идемпотентные матрицы, разделяющие совместный спектр» . Прикладная линейная алгебра. 435 (9): 2097–2109. дои : 10.1016/j.laa.2010.09.034 .
• Вэй, К.; Добиджон, Н.; Турнере, Ж.-Ю. (2015). «Быстрое объединение многоканальных изображений на основе решения уравнения Сильвестра». Транзакции IEEE при обработке изображений . 24 (11): 4109–4121. arXiv : 1502.03121 . Бибкод : 2015ITIP...24.4109W . дои : 10.1109/TIP.2015.2458572 . ПМИД   26208345 . S2CID   665111 .
• Биркгоф и Маклейн. Обзор современной алгебры . Макмиллан. стр. 213, 299.

Внешние ссылки

• Онлайн-решатель для матриц произвольного размера. Архивировано 9 июля 2013 г. в Wayback Machine.
• Функция Mathematica для решения уравнения Сильвестра
• Функция MATLAB для решения уравнения Сильвестра