Операторная монотонная функция

В линейной алгебре операторная монотонная функция является важным типом действительнозначной функции , полностью классифицированной Чарльзом Лёвнером в 1934 году. ^[1] Он тесно связан с операторными вогнутыми и операторными вогнутыми функциями, встречается в теории операторов и теории матриц и приводит к неравенству Лёвнера – Хайнца . ^[2]^[3]

Определение

Функция $f:I\to \mathbb {R}$ определяется на интервале $I\subseteq \mathbb {R}$ называется операторно монотонным, если всякий раз, когда $A$ и $B$ являются эрмитовыми матрицами (любого размера/размеров), все собственные значения которых принадлежат области определения $f$ и чья разница $A-B$ — положительная полуопределенная матрица , то обязательно $f(A)-f(B)\geq 0$ где $f(A)$ и $f(B)$ – значения матричной функции, индуцированной $f$ (которые представляют собой матрицы того же размера, что и $A$ и $B$ ).

Обозначения

Это определение часто выражается с помощью обозначений, которые теперь определены. Писать $A\geq 0$ чтобы указать, что матрица $A$ положительно полуопределена и напишем $A\geq B$ указать, что разница $A-B$ из двух матриц $A$ и $B$ удовлетворяет $A-B\geq 0$ (то есть, $A-B$ положительно полуопределена).

С $f:I\to \mathbb {R}$ и $A$ как и в формулировке теоремы, значение матричной функции $f(A)$ — матрица (того же размера, что и $A$ ) определяется с точки зрения его $A$ спектральное разложение $A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}$ к $f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,$ где $\lambda _{j}$ являются собственными значениями $A$ с соответствующими проекторами $P_{j}.$

Определение операторной монотонной функции теперь можно переформулировать следующим образом:

Функция $f:I\to \mathbb {R}$ определяется на интервале $I\subseteq \mathbb {R}$ называется оператором монотонным, если (и только если) для всех натуральных чисел $n,$ и все $n\times n$ Эрмитовые матрицы $A$ и $B$ с собственными значениями в $I,$ если $A\geq B$ затем $f(A)\geq f(B).$

См. также

Функция матрицы — функция, которая сопоставляет матрицы с матрицами.
Отслеживание неравенства - неравенства с участием линейных операторов в гильбертовых пространствах.

Ссылки

^ Лёвнер, К.Т. (1934). «О монотонных матрицах-функциях» . Математический журнал . 38 : 177–216. дои : 10.1007/BF01170633 . S2CID 121439134 .
^ «Неравенство Лёвнера – Хайнца» . Энциклопедия математики .
^ Чансангиам, Паттравут (2013). «Операторные монотонные функции: характеристики и интегральные представления». arXiv : 1305.2471 [ мат.FA ].

Дальнейшее чтение

Шиллинг, Р.; Сонг, Р.; Вондрачек, З. (2010). Функции Бернштейна. Теория и приложения . Исследования по математике. Том. 37. де Грюйтер, Берлин. дои : 10.1515/9783110215311 . ISBN 9783110215311 .
Хансен, Франк (2013). «Ускоренный путь к теореме Лёвнера». Линейная алгебра и ее приложения . 438 (11): 4557–4571. arXiv : 1112.0098 . дои : 10.1016/j.laa.2013.01.022 . S2CID 119607318 .
Чансангиам, Паттравут (2015). «Обзор операторной монотонности, операторной выпуклости и операторных средних» . Международный журнал анализа . 2015 : 1–8. дои : 10.1155/2015/649839 .

Эта линейной алгебре, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[low-1] Лёвнер, К.Т. (1934). «О монотонных матрицах-функциях» . Математический журнал . 38 : 177–216. дои : 10.1007/BF01170633 . S2CID 121439134 .

[eom-2] «Неравенство Лёвнера – Хайнца» . Энциклопедия математики .

[pat-3] Чансангиам, Паттравут (2013). «Операторные монотонные функции: характеристики и интегральные представления». arXiv : 1305.2471 [ мат.FA ].

[1]

[2]

[3]