Отследить неравенство

В математике существует множество видов неравенств , включающих матрицы и линейные операторы в гильбертовых пространствах . В этой статье рассматриваются некоторые важные операторные неравенства, связанные со следами матриц.

Основные определения

Позволять $\mathbf {H} _{n}$ обозначим пространство эрмитова $n\times n$ матрицы, $\mathbf {H} _{n}^{+}$ обозначим множество, состоящее из положительно полуопределенных $n\times n$ Эрмитовы матрицы и $\mathbf {H} _{n}^{++}$ обозначаем множество положительно определенных эрмитовых матриц. Для операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве мы требуем, чтобы они были ядерными и самосопряженными ; в этом случае применяются аналогичные определения, но для простоты мы обсуждаем только матрицы.

Для любой действительной функции $f$ на интервале $I\subseteq \mathbb {R} ,$ можно определить матричную функцию $f(A)$ для любого оператора $A\in \mathbf {H} _{n}$ с собственными значениями $\lambda$ в $I$ определив его на собственных значениях и соответствующих проекторах $P$ как $$f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,$$ учитывая спектральное разложение $A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.$

Оператор монотонный

Основная статья: Операторная монотонная функция

Функция $f:I\to \mathbb {R}$ определяется на интервале $I\subseteq \mathbb {R}$ называется операторно-монотонным, если для всех $n,$ и все $A,B\in \mathbf {H} _{n}$ с собственными значениями в $I,$ имеет место следующее: $$A\geq B\implies f(A)\geq f(B),$$где неравенство $A\geq B$ означает, что оператор $A-B\geq 0$ является положительно полуопределенным. Это можно проверить $f(A)=A^{2}$ на самом деле не является операторно-монотонным!

Оператор выпуклый

Функция $f:I\to \mathbb {R}$ называется операторно-выпуклым, если для всех $n$ и все $A,B\in \mathbf {H} _{n}$ с собственными значениями в $I,$ и $0<\lambda <1$, имеет место следующее $$f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).$$Обратите внимание, что оператор $\lambda A+(1-\lambda )B$ имеет собственные значения в $I,$ с $A$ и $B$ иметь собственные значения в $I.$

Функция $f$ является оператор вогнутый, если $-f$ является оператором выпуклым;=, т. е. неравенство, приведенное выше для $f$ перевернут.

Выпуклость суставов

Функция $g:I\times J\to \mathbb {R} ,$ определяется на интервалах $I,J\subseteq \mathbb {R}$ Говорят, что это совместно выпуклый, если для всех $n$ и все $A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}$ с собственными значениями в $I$ и все $B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}$ с собственными значениями в $J,$ и любой $0\leq \lambda \leq 1$ имеет место следующее $$g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})~\leq ~\lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).$$

Функция $g$ является совместно вогнутые, если — $g$ является совместно выпуклым, т.е. приведенное выше неравенство для $g$ перевернут.

Функция трассировки

Дана функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ связанная функция трассировки на $\mathbf {H} _{n}$ дается $$A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),$$где $A$ имеет собственные значения $\lambda$ и $\operatorname {Tr}$ обозначает след оператора.

Выпуклость и монотонность функции следа

Позволять $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна, и пусть n — любое целое число. Тогда, если $t\mapsto f(t)$ монотонно возрастает, поэтому является $A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)$ десять Хн _.

Аналогично, если $t\mapsto f(t)$ является выпуклым , поэтому $A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)$ на H _n ионо строго выпукло, если f строго выпукло.

См. доказательство и обсуждение в например.

Теорема Лёвнера – Хайнца

Для $-1\leq p\leq 0$, функция $f(t)=-t^{p}$ является оператором монотонным и операторным вогнутым.

Для $0\leq p\leq 1$, функция $f(t)=t^{p}$ является оператором монотонным и операторным вогнутым.

Для $1\leq p\leq 2$, функция $f(t)=t^{p}$ является операторно-выпуклым. Более того,

$f(t)=\log(t)$ является операторно-вогнутым и операторно-монотонным, а

$f(t)=t\log(t)$ является операторно-выпуклым.

Оригинальное доказательство этой теоремы принадлежит К. Лёвнеру , который дал необходимое и достаточное условие f . операторной монотонности Элементарное доказательство теоремы обсуждается в и более общая версия этого в.

Неравенство Клейна

Для всех эрмитовых размера n × n матриц A и B и всех дифференцируемых выпуклых функций $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$с производной f' или для всех положительно определенных эрмитовых n × n матриц размера A и B и всех дифференцируемыхвыпуклые функции f :(0,∞) → $\mathbb {R}$, имеет место неравенство

$\operatorname {Tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0~.$

В любом случае, если f строго выпукла, равенство выполняется тогда и только тогда, когда A = B .Популярным выбором в приложениях является f ( t ) = t log t , см. ниже.

Доказательство

Позволять $C=A-B$ так что для $t\in (0,1)$,

$B+tC=(1-t)B+tA$,

варьируется от $B$ к $A$.

Определять

$F(t)=\operatorname {Tr} [f(B+tC)]$.

Ввиду выпуклости и монотонности функций следа $F(t)$ выпукло, и так для всех $t\in (0,1)$,

$F(0)+t(F(1)-F(0))\geq F(t)$,

то есть,

$F(1)-F(0)\geq {\frac {F(t)-F(0)}{t}}$,

и действительно, правая часть монотонно убывает по $t$.

Принимая предел $t\to 0$ урожайность,

$F(1)-F(0)\geq F'(0)$,

что с перестановкой и заменой представляет собой неравенство Клейна:

$\mathrm {tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0$

Обратите внимание, что если $f(t)$ является строго выпуклым и $C\neq 0$, затем $F(t)$ является строго выпуклым. Последнее утверждение следует из этого и того факта, что ${\tfrac {F(t)-F(0)}{t}}$ монотонно убывает по $t$.

Неравенство Голдена – Томпсона

Основная статья: неравенство Голдена – Томпсона

В 1965 году С. Голден и Си Джей Томпсон независимо обнаружил, что

Для любых матриц $A,B\in \mathbf {H} _{n}$,

$\operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.$

Это неравенство можно обобщить на три оператора: для неотрицательных операторов $A,B,C\in \mathbf {H} _{n}^{+}$,

$\operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int _{0}^{\infty }\operatorname {Tr} A(B+t)^{-1}C(B+t)^{-1}\,\operatorname {d} t.$

Неравенство Пайерлса–Боголюбова.

Позволять $R,F\in \mathbf {H} _{n}$ быть таковым, что Tre ^Р = 1.Определение g = Tr Fe ^Р , у нас есть

$\operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.$

Доказательство этого неравенства следует из вышесказанного в сочетании с неравенством Клейна . Возьмем f ( x ) = exp( x ), A = R + F и B = R + gI .

Вариационный принцип Гиббса

Позволять $H$ быть самосопряженным оператором таким, что $e^{-H}$ это класс трассировки . Тогда для любого $\gamma \geq 0$ с $\operatorname {Tr} \gamma =1,$

$\operatorname {Tr} \gamma H+\operatorname {Tr} \gamma \ln \gamma \geq -\ln \operatorname {Tr} e^{-H},$

с равенством тогда и только тогда, когда $\gamma =\exp(-H)/\operatorname {Tr} \exp(-H).$

Теорема Либа о вогнутости

Следующая теорема была доказана Э. Х. Либом в. Она доказывает и обобщает гипотезу Э. П. Вигнера , М. М. Янасэ и Фримена Дайсона . Шесть лет спустя другие доказательства были даны Т. Андо. и Б. Саймон, и с тех пор было дано еще несколько.

Для всех $m\times n$ матрицы $K$, и все $q$ и $r$ такой, что $0\leq q\leq 1$ и $0\leq r\leq 1$, с $q+r\leq 1$ настоящая ценная карта на $\mathbf {H} _{m}^{+}\times \mathbf {H} _{n}^{+}$ данный

$F(A,B,K)=\operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{r})$

• является совместно вогнутым в $(A,B)$
• является выпуклым в $K$.

Здесь $K^{*}$ обозначает присоединенный оператор $K.$

Теорема Либа

Для фиксированной эрмитовой матрицы $L\in \mathbf {H} _{n}$, функция

$f(A)=\operatorname {Tr} \exp\{L+\ln A\}$

является вогнутым на $\mathbf {H} _{n}^{++}$.

Теорема и доказательство принадлежат Э. Х. Либу, Теорема 6, где он получает эту теорему как следствие теоремы Либа о вогнутости.Наиболее прямое доказательство принадлежит Г. Эпштейну; см. статьи М.Б. Руская , для обзора этого аргумента.

Теорема Андо о выпуклости

Доказательство Т. Андо привела теоремы Либа о вогнутости к следующему существенному дополнению к ней:

Для всех $m\times n$ матрицы $K$, и все $1\leq q\leq 2$ и $0\leq r\leq 1$ с $q-r\geq 1$, реальная ценная карта на $\mathbf {H} _{m}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}$ данный

$(A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{-r})$

является выпуклым.

Совместная выпуклость относительной энтропии

Для двух операторов $A,B\in \mathbf {H} _{n}^{++}$ определить следующую карту

$R(A\parallel B):=\operatorname {Tr} (A\log A)-\operatorname {Tr} (A\log B).$

Для матриц плотности $\rho$ и $\sigma$, карта $R(\rho \parallel \sigma )=S(\rho \parallel \sigma )$ Умегаки — квантовая относительная энтропия .

Обратите внимание, что неотрицательность $R(A\parallel B)$ следует из неравенства Клейна с $f(t)=t\log t$.

Заявление

Карта $R(A\parallel B):\mathbf {H} _{n}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}\rightarrow \mathbf {R}$ является совместно выпуклым.

Доказательство

Для всех $0<p<1$, $(A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})$ является совместно вогнутым по теореме Либа о вогнутости и, таким образом,

$(A,B)\mapsto {\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)$

является выпуклым. Но

$\lim _{p\rightarrow 1}{\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)=R(A\parallel B),$

и выпуклость в пределе сохраняется.

Доказательство принадлежит Г. Линдбладу.

Оператор Йенсена и неравенства отслеживания

Операторная версия неравенства Йенсена принадлежит К. Дэвису.

Непрерывная действительная функция $f$ на интервале $I$ удовлетворяет операторному неравенству Йенсена, если выполняется следующее

$f\left(\sum _{k}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}\right)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},$

для операторов $\{A_{k}\}_{k}$ с $\sum _{k}A_{k}^{*}A_{k}=1$ и для самосопряженных операторов $\{X_{k}\}_{k}$ со спектром включенным $I$.

Видеть, для доказательства следующих двух теорем.

Следовое неравенство Дженсена

Пусть f — непрерывная функция, определенная на интервале I, и пусть m и n — натуральные числа. Если f выпуклая, то мы имеем неравенство

$\operatorname {Tr} {\Bigl (}f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}{\Bigr )}\leq \operatorname {Tr} {\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k}{\Bigr )},$

для всех ( X ₁ , ... , X _n ) самосопряженных матриц m × m со спектрами, содержащимися в I ивсе ( A ₁ , ... , ) _× матриц размера m An m с

$\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.$

И наоборот, если приведенное выше неравенство выполняется для некоторых n и m , где n > 1, то f выпукло.

Операторное неравенство Йенсена

Для непрерывной функции $f$ определяется на интервале $I$ следующие условия эквивалентны:

• $f$ является операторно-выпуклым.
• Для каждого натурального числа $n$ у нас есть неравенство

$f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},$

для всех $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ограниченные самосопряженные операторы в произвольном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ сспектры, содержащиеся в $I$ и все $(A_{1},\ldots ,A_{n})$ на ${\mathcal {H}}$ с $\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.$

• $f(V^{*}XV)\leq V^{*}f(X)V$ для каждой изометрии $V$ в бесконечномерном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ и

каждый самосопряженный оператор $X$ со спектром в $I$.

• $Pf(PXP+\lambda (1-P))P\leq Pf(X)P$ для каждой проекции $P$ в бесконечномерном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$, каждый самосопряженный оператор $X$ со спектром в $I$ и каждый $\lambda$ в $I$.

Неравенство Араки–Либа–Тирринга

Не путать с неравенством Либа – Тирринга .

Э. Х. Либ и В. Е. Тирринг доказали следующее неравенство в 1976: Для любого $A\geq 0,$ $B\geq 0$ и $r\geq 1,$$$\operatorname {Tr} ((BAB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{r}A^{r}B^{r}).$$

В 1990 году Х. Араки обобщил приведенное выше неравенство до следующего: для любого $A\geq 0,$ $B\geq 0$ и $q\geq 0,$$$\operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}),$$ для $r\geq 1,$ и $$\operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q})~\leq ~\operatorname {Tr} ((BAB)^{rq}),$$ для $0\leq r\leq 1.$

Существует несколько других неравенств, близких к неравенству Либа – Тирринга, например следующие: для любого $A\geq 0,$ $B\geq 0$ и $\alpha \in [0,1],$$$\operatorname {Tr} (BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{2}AB^{2}),$$и даже в более общем плане: для любого $A\geq 0,$ $B\geq 0,$ $r\geq 1/2$ и $c\geq 0,$$$\operatorname {Tr} ((BAB^{2c}AB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{c+1}A^{2}B^{c+1})^{r}).$$Приведенное выше неравенство обобщает предыдущее, в чем можно убедиться, поменяв местами $A$ к $B^{2}$ и $B$ к $A^{(1-\alpha )/2}$ с $\alpha =2c/(2c+2)$ и используя цикличность трассировки, приводящую к $$\operatorname {Tr} ((BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{2}AB^{2})^{r}).$$

Кроме того, на основе неравенства Либа-Тирринга было получено следующее неравенство: Для любого $A,B\in \mathbf {H} _{n},T\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ и все $1\leq p,q\leq \infty$ с $1/p+1/q=1$, он утверждает, что $$|\operatorname {Tr} (TAT^{*}B)|~\leq ~\operatorname {Tr} (T^{*}T|A|^{p})^{\frac {1}{p}}\operatorname {Tr} (TT^{*}|B|^{q})^{\frac {1}{q}}.$$

Теорема Эффроса и ее расширение

Э. Эффрос в доказал следующую теорему.

Если $f(x)$ является операторной выпуклой функцией, а $L$ и $R$ являются коммутирующими ограниченными линейными операторами, т.е. коммутатор $[L,R]=LR-RL=0$, перспектива

$g(L,R):=f(LR^{-1})R$

является совместно выпуклым, т. е. если $L=\lambda L_{1}+(1-\lambda )L_{2}$ и $R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}$ с $[L_{i},R_{i}]=0$ (я=1,2), $0\leq \lambda \leq 1$,

$g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1})+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2}).$

Эбадиан и др. позже распространил это неравенство на случай, когда $L$ и $R$ не ездите на работу.

Неравенство следов фон Неймана и связанные с ним результаты

Неравенство следов фон Неймана , названное в честь его создателя Джона фон Неймана , утверждает, что для любого $n\times n$ комплексные матрицы $A$ и $B$ с сингулярными значениями $\alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}$ и $\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{n}$ соответственно, $$|\operatorname {Tr} (AB)|~\leq ~\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\,,$$с равенством тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ поделиться сингулярными векторами.

Простым следствием этого является следующий результат: Для Эрмита $n\times n$ положительные полуопределенные комплексные матрицы $A$ и $B$ где теперь собственные значения отсортированы по убыванию ( $a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}$ и $b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},$ соответственно), $$\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i+1}~\leq ~\operatorname {Tr} (AB)~\leq ~\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,.$$

См. также

• Неравенство Либа – Тирринга
• Теорема Шура – ​​Хорна - характеризует диагональ эрмитовой матрицы с заданными собственными значениями.
• Идентичность следа - уравнения, включающие след матрицы.
• Энтропия фон Неймана - тип энтропии в квантовой теории

Ссылки

• Scholarpedia . Первоисточник