Матричная экспонента

В математике матричная экспонента — это матричная функция на квадратных матрицах, аналогичная обычной экспоненциальной функции . Он используется для решения систем линейных дифференциальных уравнений. В теории групп Ли матричная экспонента дает экспоненциальное отображение между матричной алгеброй Ли и соответствующей группой Ли .

Пусть X — размера n × n действительная или комплексная матрица . Экспонента X , обозначаемая e ^Х или exp( X ) — матрица размера n × n, заданная степенным рядом

$$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}$$

где $X^{0}$ определяется как единичная матрица $I$ с теми же размерами, что и $X$. Ряд всегда сходится, поэтому экспонента X четко определена.

Эквивалентно, $$e^{X}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{k}$$

где I — n × n единичная матрица размера .

Когда X является размера n × n, диагональной матрицей тогда exp( X ) будет диагональной матрицей размера n × n , где каждый диагональный элемент равен обычной экспоненте, примененной к соответствующему диагональному элементу X .

Характеристики

Элементарные свойства

Пусть X и Y — комплексные матрицы размера n × n , а a и b — произвольные комплексные числа. Обозначим n × n единичную матрицу размера через I , а нулевую матрицу через 0. Матричная экспонента удовлетворяет следующим свойствам.

Начнем со свойств, которые являются непосредственными следствиями определения степенного ряда:

• и ⁰ = Я
• exp( X ^Т ) = (эксп X ) ^Т , где Х ^Т обозначает транспонирование X ​ .
• exp( X ^∗ ) = (эксп X ) ^∗ , где Х ^∗ обозначает транспонирование X . сопряженное
• Если Y обратим , то e ^{YXY −1} = Да ^Х И ⁻¹ .

Следующий ключевой результат таков:

• Если $XY=YX$ затем $e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}$.

Доказательство этого тождества такое же, как и стандартное доказательство степенного ряда для соответствующего тождества для экспоненты действительных чисел. То есть до тех пор, пока $X$ и $Y$ ездить на работу , для аргумента не имеет значения, является ли $X$ и $Y$ являются числами или матрицами. Важно отметить, что это тождество обычно не выполняется, если $X$ и $Y$ не коммутируют (см. неравенство Голдена-Томпсона ниже).

Следствия предыдущего тождества следующие:

• и ^топор и ^бХ = и ^{( а + б ) Х}
• и ^Х и ^{− Х} = Я

Используя приведенные выше результаты, мы можем легко проверить следующие утверждения. Если X симметрично , то e ^Х также симметричен, и если X кососимметричен , то e ^Х является ортогональным . Если X эрмитово , то e ^Х также эрмитово, и если X косоэрмитово , то e ^Х является унитарным .

Наконец, преобразование Лапласа матричных экспонент составляет резольвенту , $$\int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}$$для всех достаточно больших положительных значений s .

Системы линейных дифференциальных уравнений

Основная статья: Матричное дифференциальное уравнение

Одной из причин важности матричной экспоненты является то, что ее можно использовать для решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений . Решение $${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},$$где A — постоянная матрица, а y — вектор-столбец, определяется выражением $$y(t)=e^{At}y_{0}.$$

Матричную экспоненту можно использовать и для решения неоднородного уравнения $${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.$$ см. в разделе приложений Примеры ниже.

Для дифференциальных уравнений вида не существует решения в замкнутой форме $${\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},$$где A не является постоянной величиной, но ряд Магнуса дает решение в виде бесконечной суммы.

Определитель матричной экспоненты

По формуле Якоби для любой комплексной квадратной матрицы выполняется следующее тождество следа :

$\det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.$

Эта формула не только предоставляет вычислительный инструмент, но и демонстрирует, что матричная экспонента всегда является обратимой матрицей . Это следует из того факта, что правая часть приведенного выше уравнения всегда отлична от нуля, и поэтому det( e ^А ) ≠ 0 , откуда следует, что e ^А должен быть обратимым.

В действительном случае формула также отображает карту $$\exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$$не быть сюръективным , в отличие от сложного случая, упомянутого ранее. Это следует из того, что для вещественных матриц правая часть формулы всегда положительна, а существуют обратимые матрицы с отрицательным определителем.

Действительные симметричные матрицы

Матричная экспонента вещественной симметричной матрицы положительно определена. Позволять $S$ быть вещественной симметричной матрицей размера n × n и $x\in \mathbb {R} ^{n}$ вектор-столбец. Используя элементарные свойства матричной экспоненты и симметричных матриц, имеем:

$$x^{T}e^{S}x=x^{T}e^{S/2}e^{S/2}x=x^{T}(e^{S/2})^{T}e^{S/2}x=(e^{S/2}x)^{T}e^{S/2}x=\lVert e^{S/2}x\rVert ^{2}\geq 0.$$

С $e^{S/2}$ обратимо, равенство справедливо только для $x=0$, и у нас есть $x^{T}e^{S}x>0$ для всех ненулевых $x$. Следовательно $e^{S}$ является положительно определенным.

Экспонента сумм

Для любых действительных чисел (скаляров) x и y мы знаем, что показательная функция удовлетворяет условию e ^{х + у} = и ^х и ^и . То же самое справедливо и для коммутирующих матриц. Если матрицы X и Y коммутируют (это означает, что XY = YX ), то $$e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.$$

Однако для матриц, которые не коммутируют, приведенное выше равенство не обязательно выполняется.

Формула произведения Ли

Даже если X и Y не коммутируют, экспонента e ^{Х + Y} можно вычислить по формуле произведения Ли $$e^{X+Y}=\lim _{k\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.$$

Использование большого конечного k для аппроксимации вышеизложенного является основой расширения Сузуки-Троттера, часто используемого в числовой эволюции во времени .

Формула Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа.

В другом направлении, если X и Y — достаточно малые (но не обязательно коммутирующие) матрицы, мы имеем $$e^{X}e^{Y}=e^{Z},$$где Z вычислить как ряд по коммутаторам X Y и можно с помощью формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа : $$Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$$где остальные члены — это все итерированные коммутаторы включающие X и Y. , Если X и Y коммутируют, то все коммутаторы равны нулю, и мы имеем Z = X + Y. просто

Неравенства для экспонент эрмитовых матриц

Основная статья: неравенство Голдена – Томпсона

Для эрмитовых матриц существует примечательная теорема, связанная со следом матричных экспонент.

Если A и B — эрмитовы матрицы, то $$\operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].$$

Требование коммутативности отсутствует. Существуют контрпримеры, показывающие, что неравенство Голдена-Томпсона не может быть распространено на три матрицы – и, в любом случае, tr(exp( A )exp( B )exp( C )) не гарантированно вещественен для эрмитовых A , B , С . Однако Либ доказал что его можно обобщить на три матрицы, если мы изменим выражение следующим образом $$\operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].$$

Экспоненциальная карта

Экспонента матрицы всегда является обратимой матрицей . Обратная матрица e ^Х определяется е ^{− Х} . Это аналогично тому факту, что экспонента комплексного числа всегда отлична от нуля. Затем матричная экспонента дает нам карту $$\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$$из пространства всех матриц размера n × n в общую линейную группу степени n , т. е. группу всех обратимых матриц размера n × n . Фактически, это отображение сюръективно , что означает, что каждую обратимую матрицу можно записать как экспоненту некоторой другой матрицы. (для этого существенно рассматривать поле C комплексных чисел , а не R ).

Для любых двух матриц X и Y , $$\left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},$$

где ‖ · ‖ обозначает произвольную матричную норму . что экспоненциальное отображение непрерывно и липшицево непрерывно на компактных подмножествах Mn _{Отсюда следует ,} ( C ) .

Карта $$t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R}$$определяет гладкую кривую в общей линейной группе, которая проходит через единичный элемент в точке t = 0 .

Фактически это дает однопараметрическую подгруппу полной линейной группы, поскольку $$e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.$$

Производная этой кривой (или касательного вектора ) в точке t определяется выражением

$${\frac {d}{dt}}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X.$$ ( 1 )

Производная при t = 0 — это просто матрица X , то есть X порождает эту однопараметрическую подгруппу.

В более общем смысле, для общего t -зависимого показателя степени X ( t ) ,

${\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.$

Взяв приведенное выше выражение e ^{Икс ( т )} вне знака интеграла и разложив подынтегральное выражение с помощью леммы Адамара, можно получить следующее полезное выражение для производной матричного показателя степени: $$\left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]+\cdots$$

Коэффициенты в приведенном выше выражении отличаются от тех, которые появляются в экспоненте. Для замкнутой формы см. производную экспоненциального отображения .

Производные по направлению при ограничении эрмитовыми матрицами

Позволять $X$ быть $n\times n$ Эрмитова матрица с различными собственными значениями. Позволять $X=E{\textrm {diag}}(\Lambda )E^{*}$ быть его собственным разложением, где $E$ — унитарная матрица, столбцы которой являются собственными векторами $X$, $E^{*}$ является его сопряженным транспонированием, и $\Lambda =\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)$ вектор соответствующих собственных значений. Тогда для любого $n\times n$ Эрмитова матрица $V$, производная по направлению $\exp :X\to e^{X}$ в $X$ в направлении $V$ является $$D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}$$где ${\bar {V}}=E^{*}VE$, оператор $\odot$ обозначает произведение Адамара, и для всех $1\leq i,j\leq n$, матрица $G$ определяется как $$G_{i,j}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{\lambda _{i}}-e^{\lambda _{j}}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&e^{\lambda _{i}}&{\text{ otherwise}}.\\\end{aligned}}\right.$$Кроме того, для любого $n\times n$ Эрмитова матрица $U$, вторая производная по направлениям $U$ и $V$ является $$D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}$$где матрица-функция $F$ определяется для всех $1\leq i,j\leq n$, как $$F(U,V)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}\phi _{i,j,k}({\bar {U}}_{ik}{\bar {V}}_{jk}^{*}+{\bar {V}}_{ik}{\bar {U}}_{jk}^{*})$$с $$\phi _{i,j,k}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {G_{ik}-G_{jk}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&{\frac {G_{ii}-G_{ik}}{\lambda _{i}-\lambda _{k}}}&{\text{ if }}i=j{\text{ and }}k\neq i,\\&{\frac {G_{ii}}{2}}&{\text{ if }}i=j=k.\\\end{aligned}}\right.$$

Вычисление матричной экспоненты

Найти надежные и точные методы вычисления матричной экспоненты сложно, и это все еще является темой серьезных текущих исследований в области математики и численного анализа. Matlab , GNU Octave , R и SciPy используют аппроксимант Паде . В этом разделе мы обсуждаем методы, которые в принципе применимы к любой матрице и которые можно явно реализовать для небольших матриц. В последующих разделах описываются методы, подходящие для численного оценивания больших матриц.

Диагонализуемый корпус

Если матрица диагональная : $$A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}},$$тогда его экспоненту можно получить возведя в степень каждую запись на главной диагонали: $$e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.$$

Этот результат также позволяет возводить в степень диагонализуемые матрицы . Если

А = СВЕТ ⁻¹

и D диагональ, то

и ^А = Уэ ^Д В ⁻¹ .

Применение формулы Сильвестра дает тот же результат. (Чтобы убедиться в этом, заметим, что сложение и умножение, а, следовательно, и возведение в степень, диагональных матриц эквивалентно поэлементному сложению и умножению и, следовательно, возведению в степень; в частности, «одномерное» возведение в степень ощущается поэлементно для диагонали. случай.)

Пример: Диагонализуемый

Например, матрица $$A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}}$$можно диагонализировать как $${\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}.$$

Таким образом, $$e^{A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{4}-1}{4e}}&{\frac {e^{4}+1}{2e}}\\\end{bmatrix}}.$$

Нильпотентный случай

Матрица N нильпотентна , если N ^д = 0 для некоторого целого числа q . В этом случае матричная экспонента e ^Н может быть вычислено непосредственно из разложения ряда, поскольку ряд заканчивается после конечного числа членов:

$$e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.$$

Поскольку ряд имеет конечное число шагов, он представляет собой матричный полином, который можно эффективно вычислить .

Общий случай

Используя разложение Жордана – Шевалле.

По разложению Жордана–Шевалле любое $n\times n$ матрица X с комплексными элементами может быть выражена как $$X=A+N$$где

• A диагонализуема
• N нильпотентен
• A ездит с N

Это означает, что мы можем вычислить экспоненту X, приведя к двум предыдущим случаям: $$e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.$$

нам нужна коммутативность A и N. Обратите внимание, что для работы последнего шага

Используя каноническую форму Джордана

, если поле алгебраически замкнуто , работать с жордановой формой X. Близко связанный метод состоит в том, чтобы Предположим, что X = PJP ⁻¹ где J жордановая форма X. — Затем $$e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.$$

Кроме того, поскольку $${\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}$$

Поэтому нам нужно только знать, как вычислить матричную экспоненту жорданового блока . Но каждый жорданов блок имеет вид $${\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}$$

где N — специальная нильпотентная матрица. Тогда матричная экспонента J определяется выражением $$e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}$$

Проекционный корпус

Если P — матрица проекции (т. е. идемпотентна : P ² = P ), его матричная экспонента равна:

и ^П знак равно я + ( е - 1) п .

Получая это путем разложения показательной функции, каждая степень P сводится к P , которая становится общим делителем суммы: $$e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.$$

Случай вращения

Для простого вращения, при котором перпендикулярные единичные векторы a и b задают плоскость, матрица вращения R может быть выражена через аналогичную экспоненциальную функцию, включающую генератор G и угол θ . $${\begin{aligned}G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}$$$${\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}$$

Формула для экспоненты получается в результате уменьшения степеней G при разложении в ряд и определения соответствующих коэффициентов ряда G. ² и G с −cos( θ ) и sin( θ ) соответственно. Второе выражение здесь для e ^Гт совпадает с выражением для R ( θ ) в статье, содержащей вывод генератора , R ( θ ) = e ^Гт .

В двух измерениях, если $a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]$ и $b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]$, затем $G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]$, $G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]$, и $$R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )$$сводится к стандартной матрице для вращения плоскости.

Матрица P = − G ² проецирует вектор на плоскость ab , и вращение влияет только на эту часть вектора. Примером, иллюстрирующим это, является поворот на 30 ° = π/6 в плоскости, охватываемой a и b ,

$${\begin{aligned}\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}&\mathbf {b} &={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$$${\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}=\mathbf {a} +{\frac {8}{\sqrt {5}}}\mathbf {b} &R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$$

Пусть N = I - P , поэтому N ² = N , а его произведения на P и G равны нулю. Это позволит нам оценить мощности R .

$${\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}$$

Дополнительная информация: формула вращения Родригеса и представление оси-угла § Экспоненциальная карта от so (3) до SO (3).

Оценка по ряду Лорана

В силу теоремы Кэли–Гамильтона матричная экспонента выражается в виде многочлена порядка n −1.

Если P и Q _t — ненулевые полиномы от одной переменной, такие, что P ( A ) = 0 , и если мероморфная функция $$f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}$$весь то , $$e^{tA}=Q_{t}(A).$$Чтобы доказать это, умножьте первое из двух приведенных выше равенств на ( z ) и замените z на A. P

Такой полином Q _t ( z ) можно найти следующим образом — см. формулу Сильвестра . Если a является корнем P , Q _a,t ( z ) решается из произведения P на главную часть ряда Лорана : f в точке a оно пропорционально соответствующему коварианту Фробениуса . Тогда сумма St _{, может быть} Q a _,t , где a пробегает все корни P принята за конкретное Q _t . остальные Qt ₍ кратного P к St _z Все ) . будут получены добавлением В частности, S _t ( z ) , полином Лагранжа-Сильвестра , является единственным Q _t, степень которого меньше, чем у P .

Пример . Рассмотрим случай произвольной матрицы 2×2: $$A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.$$

Экспоненциальная матрица e ^{лицом к лицу} , в силу теоремы Кэли–Гамильтона , должно иметь вид $$e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A.$$

(Для любого комплексного числа z и любой C -алгебры B мы снова обозначаем через z произведение z на единицу B. )

Пусть α и β корни характеристического многочлена A — , $$P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.$$

Тогда у нас есть $$S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,$$следовательно $${\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}$$

если α ≠ β ; в то время как, если α = β , $$S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,$$

так что $${\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}$$

Определение $${\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}$$

у нас есть $${\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}$$

где sin( qt )/ q равно 0, если t = 0 , и t, если q = 0 .

Таким образом,

$e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.$

Таким образом, как указано выше, матрица А, разложившаяся на сумму двух взаимно коммутирующих частей, следового и бесследового, $$A=sI+(A-sI)~,$$

матричная экспонента сводится к простому произведению экспонент двух соответствующих частей. Это формула, часто используемая в физике, поскольку она представляет собой аналог формулы Эйлера для спиновых матриц Паули , то есть вращения дублетного представления группы SU(2) .

Полиному St _также можно дать следующую « интерполяционную » характеристику. Определить е _т ( z ) ≡ е ^тс , и п ≡ град P . Тогда S _t ( z ) — единственный полином степени < n , который удовлетворяет S _t ^{( к )} ( а ) знак равно е _т ^{( к )} ( a ) всякий раз, когда меньше кратности a как корня P. k Мы предполагаем, что, очевидно, можем, что P — минимальный многочлен от A . Далее мы предполагаем, что A — диагонализуемая матрица . В частности, корни P просты, а « интерполяционная » характеристика указывает на то, что S _t задается интерполяционной формулой Лагранжа , поэтому это полином Лагранжа-Сильвестра .

Другая крайность, если P = ( z - a ) ^н , затем $$S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.$$

Самый простой случай, не охваченный приведенными выше наблюдениями, — это когда $P=(z-a)^{2}\,(z-b)$ с a ≠ b , что дает $$S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ \left(1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.$$

Оценка путем реализации формулы Сильвестра

Практическое, ускоренное вычисление вышеизложенного сводится к следующим быстрым шагам. Напомним, что размера n×n матрица exp( tA ) представляет собой линейную комбинацию первых n -1 степеней матрицы A по теореме Кэли–Гамильтона . Для диагонализуемых в случае 2×2, формула Сильвестра дает exp( tA ) = B _α exp( tα ) + B _β exp( tβ ) , где B s — коварианты Фробениуса A матриц, как показано выше, например , .

Однако проще всего просто решить эти B напрямую, вычислив это выражение и его первую производную при t = 0 в терминах A и I , чтобы найти тот же ответ, что и выше.

Но эта простая процедура работает и для дефектных матриц, в обобщении Бухгейма. Здесь это проиллюстрировано на примере матрицы размером 4×4, которая не является диагонализуемой , а B не являются матрицами проекций.

Учитывать $$A={\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}~,$$с собственными значениями λ ₁ = 3/4 и λ ₂ = 1 , каждое из которых имеет кратность два.

Рассмотрим экспоненту каждого собственного значения, умноженную на t , exp( λ _i t ) . Умножьте каждое возведенное в степень собственное значение на соответствующую матрицу неопределенных коэффициентов B _i . Если собственные значения имеют алгебраическую кратность больше 1, то повторите процесс, но теперь умножая на дополнительный коэффициент t для каждого повторения, чтобы обеспечить линейную независимость.

(Если бы одно собственное значение имело кратность три, то было бы три члена: $B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}$. Напротив, когда все собственные значения различны, B являются просто ковариантами Фробениуса , и решение для них, как показано ниже, просто сводится к инверсии матрицы Вандермонда этих четырех собственных значений.)

Суммируем все такие слагаемые, вот таких четыре, $${\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}$$

Чтобы решить все неизвестные матрицы B с точки зрения первых трех степеней A и единицы, нужны четыре уравнения, причем приведенное выше дает одно такое при t = 0. Далее продифференцируйте его по t , $$Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,$$

и снова, $${\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}$$

и еще раз, $${\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}$$

(В общем случае n необходимо взять −1 производных.)

Полагая t четыре матрицы коэффициентов B = 0 в этих четырех уравнениях, теперь можно решить s: $${\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}$$

уступить $${\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}$$

Замена значением A дает матрицы коэффициентов $${\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{bmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$

так что окончательный ответ $$e^{tA}={\begin{bmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{bmatrix}}$$

Процедура намного короче алгоритма Путцера, иногда используемого в таких случаях.

См. Также: Производная экспоненциальной карты.

Иллюстрации

Предположим, что мы хотим вычислить экспоненту $$B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.$$

Его жордановая форма : $$J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},$$где матрица P имеет вид $$P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.$$

Давайте сначала вычислим exp( J ). У нас есть $$J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)$$

Экспонента матрицы 1×1 — это просто экспонента одного элемента матрицы, поэтому exp( J ₁ (4)) = [ e ⁴ ] . Экспоненту J ₂ (16) можно рассчитать по формуле e ^{(λ I + N )} = и ^л и ^Н упомянутый выше; это дает

$${\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$$

Следовательно, экспонента исходной матрицы B равна $${\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$$

Приложения

Линейные дифференциальные уравнения

Матричная экспонента имеет приложения к системам линейных дифференциальных уравнений . (См. также матричное дифференциальное уравнение .) Напомним, ранее в этой статье говорилось, что однородное дифференциальное уравнение вида $$\mathbf {y} '=A\mathbf {y}$$имеет решение e ^В и (0) .

Если мы рассмотрим вектор $$\mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}~,$$мы можем выразить систему неоднородных связанных линейных дифференциальных уравнений как $$\mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).$$Создание анзаца с использованием интегрирующего коэффициента e ^{− В} и умножая повсюду, получаем $${\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}$$

Второй шаг возможен благодаря тому, что если AB = BA , то e ^В Б = Быть ^В . Итак, вычислив e ^В приводит к решению системы путем простого интегрирования третьего шага по t .

Решение этой задачи можно получить путем интегрирования и умножения на $e^{{\textbf {A}}t}$ для устранения показателя степени в LHS. Обратите внимание, что пока $e^{{\textbf {A}}t}$ является матрицей, учитывая, что это матричная экспонента, мы можем сказать, что $e^{{\textbf {A}}t}e^{-{\textbf {A}}t}=I$. Другими словами, $\exp {{\textbf {A}}t}=\exp {{(-{\textbf {A}}t)}^{-1}}$.

Пример (однородный)

Рассмотрим систему $${\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.$$

Соответствующая дефектная матрица $$A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.$$

Матричная экспонента $$e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$$

так что общее решение однородной системы имеет вид $${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$$

составляет $${\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}$$

Пример (неоднородный)

Рассмотрим теперь неоднородную систему $${\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.$$

У нас снова есть $$A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,$$

и $$\mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.$$

Ранее у нас уже было общее решение однородного уравнения. Поскольку сумма однородного и частного решений дает общее решение неоднородной задачи, нам теперь нужно найти только частное решение.

Мы имеем, как указано выше, $${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}$$которое можно было бы дополнительно упростить, чтобы получить необходимое конкретное решение, определяемое путем изменения параметров.Обратите внимание: c = y _p (0). Для большей строгости см. следующее обобщение.

Обобщение неоднородного случая: изменение параметров

Для неоднородного случая можно использовать интегрирующие коэффициенты (метод, аналогичный вариации параметров ). Мы ищем частное решение вида y _p ( t ) = exp( tA ) z ( t ) , $${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}$$

Чтобы y _p было решением, $${\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}$$

Таким образом, $${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}$$где c определяется начальными условиями задачи.

Точнее, рассмотрим уравнение $$Y'-A\ Y=F(t)$$

с начальным условием Y ( t ₀ ) = Y ₀ , где

• A - размера n на n , комплексная матрица
• F — непрерывная функция из некоторого открытого интервала от I до C. ^н ,
• $t_{0}$ это точка Я , и
• $Y_{0}$ является вектором C ^н .

Умножение показанного выше равенства слева на e ^-та урожайность $$Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.$$

Мы утверждаем, что решение уравнения $$P(d/dt)\ y=f(t)$$

с начальными условиями $y^{(k)}(t_{0})=y_{k}$ для 0 k < n ≤ $$y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,$$

где обозначения следующие:

• $P\in \mathbb {C} [X]$ — монический полином степени n > 0 ,
• f — непрерывная комплекснозначная функция, определенная на некотором открытом интервале I ,
• $t_{0}$ это точка Я ,
• $y_{k}$ является комплексным числом, и

s _k ( t ) — коэффициент $X^{k}$ в многочлене, обозначаемом $S_{t}\in \mathbb {C} [X]$ в подразделе «Оценка» серии Лорана выше.

Чтобы обосновать это утверждение, мы преобразуем наше скалярное уравнение порядка n в векторное уравнение первого порядка путем обычного сведения к системе первого порядка . Наше векторное уравнение принимает вид $${\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},$$где A — транспонированная компаньон P. - матрица Мы решаем это уравнение, как объяснено выше, вычисляя матричные экспоненты на основе наблюдений, сделанных в подразделе « Оценка», путем реализации формулы Сильвестра, приведенной выше.

В случае n = 2 получаем следующее утверждение. Решение $$y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}$$

является $$y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,$$

где функции s ₀ и s ₁ такие же, как в подразделе « Оценка по рядам Лорана» выше.

Матрично-матричные экспоненты

Матричная экспонента другой матрицы (матрично-матричная экспонента), определяется как $$X^{Y}=e^{\log(X)\cdot Y}$$$$^{Y}\!X=e^{Y\cdot \log(X)}$$для любой нормальной и неособой размера n × n матрицы X и любой комплексной размера n × n матрицы Y .

Для матрично-матричных экспонент существует различие между левой экспонентой ^И X и правая экспонента X ^И , поскольку оператор умножения матрицы на матрицу не является коммутативным . Более того,

• Если X нормальный и неособый, то X ^И и ^И X имеют одинаковый набор собственных значений.
• Если X нормальный и неособый, Y нормальный и XY = YX , то X ^И = ^И Х. ​
• Если X нормальный и неособый, а X , Y , Z коммутируют друг с другом, то X ^{Д + Я} = Х ^И · Х ^С и ^{Д + Я} Х = ^И Х · ^С Х. ​

См. также

• Матричная функция
• Матрица логарифма
• С ₀ -полугруппа
• Экспоненциальная функция
• Экспоненциальная карта (теория Ли)
• Расширение Магнуса
• Производная экспоненциальной карты
• Векторный поток
• Неравенство Голдена – Томпсона
• Распределение фазового типа
• Формула произведения Лжи
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Ковариант Фробениуса
• Формула Сильвестра
• Тригонометрические функции матриц

Ссылки

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3-319-13466-6
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1991). Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-46713-1 . .
• Молер, Клив ; Ван Лоан, Чарльз Ф. (2003). «Девятнадцать сомнительных способов вычисления экспоненты матрицы, двадцать пять лет спустя» (PDF) . Обзор СИАМ . 45 (1): 3–49. Бибкод : 2003SIAMR..45....3M . CiteSeerX   10.1.1.129.9283 . дои : 10.1137/S00361445024180 . ISSN   1095-7200 . .
• Сузуки, Масуо (1985). «Формулы разложения экспоненциальных операторов и экспонент Лия с некоторыми приложениями к квантовой механике и статистической физике». Журнал математической физики . 26 (4): 601–612. Бибкод : 1985JMP....26..601S . дои : 10.1063/1.526596 .
• Куртрайт, ТЛ ; Фэрли, Д.Б. ; Захос, СК (2014). «Компактная формула для вращений как полиномов матрицы спина». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 10 : 084.arXiv : 1402.3541 . Бибкод : 2014SIGMA..10..084C . дои : 10.3842/SIGMA.2014.084 . S2CID   18776942 .
• Домовладелец, Олстон С. (2006). Теория матриц в численном анализе . Дуврские книги по математике. ISBN  978-0-486-44972-2 .
• Ван Кортрик, ТС (2016). «Матричные экспоненты, элементы группы SU (N) и действительные полиномиальные корни». Журнал математической физики . 57 (2): 021701. arXiv : 1508.05859 . Бибкод : 2016JMP....57b1701V . дои : 10.1063/1.4938418 . S2CID   119647937 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Матричная экспонента» . Математический мир .