Сплошные гармоники

В физике и математике твердые гармоники представляют собой решения уравнения Лапласа в сферических полярных координатах , которые считаются (гладкими) функциями. $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$. Существует два вида: обычные сплошные гармоники. $R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )$, которые четко определены в начале координат, и нерегулярные сплошные гармоники $I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )$, которые сингулярны в начале координат. Оба набора функций играют важную роль в теории потенциала и получаются путем соответствующего изменения масштаба сферических гармоник : $$R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$$$$I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}$$

Вывод, связь со сферическими гармониками

Вводя r , θ и φ для сферических полярных координат 3-вектора r и предполагая, что $\Phi$ это (гладкая) функция $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$, мы можем записать уравнение Лапласа в следующем виде $$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {l}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r} \neq \mathbf {0} ,$$где я ² – квадрат безразмерного оператора углового момента , $$\mathbf {\hat {l}} =-i\,(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } ).$$

Известно , что сферические гармоники Y ^м
_ℓ — собственные функции l ² : $${\hat {l}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{{\hat {l}}_{x}}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.$$

Замена Φ( r ) = F ( r ) Y ^м
_ℓ в уравнение Лапласа дает после разделения сферической гармонической функции следующее радиальное уравнение и его общее решение:

$${\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.$$

Частными решениями полного уравнения Лапласа являются регулярные твердые гармоники : $$R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),$$и нерегулярные сплошные гармоники : $$I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.$$Регулярные твердые гармоники соответствуют гармоническим однородным многочленам , т.е. однородным многочленам, которые являются решениями уравнения Лапласа .

Нормализация Рака

Нормализация Рака (также известная как полунормализация Шмидта) применяется к обеим функциям. $$\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )^{*}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ell }$$(и аналогично для нерегулярной сплошной гармоники) вместо нормировки на единицу. Это удобно, поскольку во многих приложениях нормировочный коэффициент Рака остается неизменным на протяжении всего вывода.

Теоремы сложения

Перевод регулярной твердой гармоники дает конечное разложение: $$R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ,$$где коэффициент Клебша – Гордана определяется выражением $$\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.$$

Аналогичное разложение для нерегулярных твердых гармоник дает бесконечный ряд: $$I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle$$с $|r|\leq |a|\,$. Величина в заостренных скобках снова является коэффициентом Клебша-Гордана , $$\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.$$

Теоремы сложения были доказаны разными авторами по-разному.

Сложная форма

Регулярные твердые гармоники представляют собой однородные полиномиальные решения уравнения Лапласа. $\Delta R=0$. Разделение неопределенного $z$ и писать ${\textstyle R=\sum _{a}p_{a}(x,y)z^{a}}$, уравнение Лапласа, как легко видеть, эквивалентно рекуррентной формуле $$p_{a+2}={\frac {-\left(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}\right)p_{a}}{\left(a+2\right)\left(a+1\right)}}$$так что любой выбор многочленов $p_{0}(x,y)$ степени $\ell$ и $p_{1}(x,y)$ степени $\ell -1$ дает решение уравнения. Один частный базис пространства однородных многочленов (от двух переменных) степени $k$ является $\left\{(x^{2}+y^{2})^{m}(x\pm iy)^{k-2m}\mid 0\leq m\leq k/2\right\}$. Обратите внимание, что это (единственный с точностью до нормировки) базис собственных векторов группы вращений. $SO(2)$: Вращение $\rho _{\alpha }$ самолета по $\alpha \in [0,2\pi ]$ действует как умножение на $e^{\pm i(k-2m)\alpha }$ на базисном векторе $(x^{2}+y^{2})^{m}(x+iy)^{k-2m}$.

Если объединить степени $\ell$ основание и степень $\ell -1$ с помощью формулы рекурсии получаем базис пространства гармонических однородных многочленов (на этот раз от трех переменных) степени $\ell$ состоящий из собственных векторов для $SO(2)$ (обратите внимание, что формула рекурсии совместима с формулой $SO(2)$-действие, поскольку оператор Лапласа инвариантен относительно вращения). Это сложные твердые гармоники: $${\begin{aligned}R_{\ell }^{\pm \ell }&=(x\pm iy)^{\ell }z^{0}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -1)}&=(x\pm iy)^{\ell -1}z^{1}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -2)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -3)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -4)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}z^{4}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -5)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}z^{5}\\&\;\,\vdots \end{aligned}}$$и вообще $$R_{\ell }^{\pm m}={\begin{cases}\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}&\ell -m{\text{ is even}}\\\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -1-m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\ell -m{\text{ is odd}}\end{cases}}$$для $0\leq m\leq \ell$.

Подстановка сферических координат $x=r\cos(\theta )\sin(\varphi )$, $y=r\sin(\theta )\sin(\varphi )$, $z=r\cos(\varphi )$ и использование $x^{2}+y^{2}=r^{2}\sin(\varphi )^{2}=r^{2}(1-\cos(\varphi )^{2})$ обнаруживается обычная связь со сферическими гармониками $R_{\ell }^{m}=r^{\ell }e^{im\phi }P_{\ell }^{m}(\cos(\vartheta ))$ с полиномом $P_{\ell }^{m}$, который (с точностью до нормализации) является ассоциированным полиномом Лежандра , и поэтому $R_{\ell }^{m}=r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ (опять же, с учетом конкретного выбора нормировки).

Реальная форма

Путем простой линейной комбинации твердых гармоник ± m эти функции преобразуются в действительные функции, т. е. функции $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$. Действительные регулярные твердые гармоники, выраженные в декартовых координатах, представляют собой вещественные однородные многочлены порядка $\ell$ в х , у , z . Определенное значение имеет явный вид этих полиномов. Они проявляются, например, в виде сферических атомных орбиталей и реальных мультипольных моментов . Теперь будет получено явное декартово выражение действительных регулярных гармоник.

Линейная комбинация

Пишем в соответствии с предыдущим определением $$R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,$$с $$\Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,$$где $P_{\ell }(\cos \theta )$ — полином Лежандра порядка ℓ .Фаза , зависящая от m , известна как фаза Кондона – Шортли .

Следующее выражение определяет реальные регулярные твердые гармоники: $${\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.$$и для m = 0 : $$C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.$$Поскольку преобразование осуществляется с помощью унитарной матрицы, нормализация действительных и комплексных твердых гармоник одинакова.

z -зависимая часть

Записав u = cos θ, -я производная m полинома Лежандра может быть записана как следующее разложение по u $${\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}$$с $$\gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.$$Поскольку z = r cos θ, из этого следует, что эта производная, умноженная на соответствующую степень r , представляет собой простой многочлен от z , $$\Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$$

( x , y )-зависимая часть

Рассмотрим далее, напоминая, что x = r sin θ cos φ и y = r sin θ sin φ , $$r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]$$Так же $$r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].$$Дальше $$A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}$$и $$B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.$$

Всего

$$C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell$$$$S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .$$

Список самых низких функций

Мы явно перечисляем низшие функции до ℓ = 5 включительно .Здесь ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).$

$${\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}$$

Самые низкие функции $A_{m}(x,y)\,$ и $B_{m}(x,y)\,$ являются:

м	Являюсь ​	Б м
0	$1\,$	$0\,$
1	$x\,$	$y\,$
2	$x^{2}-y^{2}\,$	$2xy\,$
3	$x^{3}-3xy^{2}\,$	$3x^{2}y-y^{3}\,$
4	$x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\,$	$4x^{3}y-4xy^{3}\,$
5	$x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\,$	$5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\,$

Ссылки

• Стейнборн, Э.О.; Рюденберг, К. (1973). «Вращение и перемещение регулярных и нерегулярных твердых сферических гармоник». В Ловдине, Пер-Олов (ред.). Достижения квантовой химии . Том. 7. Академическая пресса. стр. 1–82. ISBN  9780080582320 .
• Томпсон, Уильям Дж. (2004). Угловой момент: иллюстрированное руководство по вращательной симметрии физических систем . Вайнхайм: Wiley-VCH. стр. 143–148. ISBN  9783527617838 .