Коэффициенты Клебша – Гордана

В физике Клебша -Гордана ( КГ ) коэффициенты — это числа, которые возникают при взаимодействии углового момента в квантовой механике . Они появляются как коэффициенты разложения полного углового момента собственных состояний в несвязанном базисе тензорных произведений . Говоря более математическими терминами, коэффициенты КГ используются в теории представлений , особенно компактных групп Ли , для выполнения явного прямую сумму разложения в тензорного произведения двух неприводимых представлений (т. е. приводимого представления на неприводимые представления в тех случаях, когда числа а типы неприводимых компонент уже абстрактно известны). Название происходит от немецких математиков Альфреда Клебша и Пауля Гордана , которые столкнулись с эквивалентной проблемой в теории инвариантов .

С точки зрения векторного исчисления коэффициенты CG, связанные с SO (3), группой могут быть определены просто через интегралы от произведений сферических гармоник и их комплексно-сопряженных чисел. Добавление спинов в квантово-механических терминах можно прочитать непосредственно из этого подхода, поскольку сферические гармоники являются собственными функциями полного углового момента и его проекции на ось, а интегралы соответствуют гильбертова пространства внутреннему произведению . Из формального определения углового момента можно найти рекуррентные соотношения для коэффициентов Клебша – Гордана. Существуют также сложные явные формулы для их непосредственного расчета.

В приведенных ниже формулах используются Дирака обозначения скобок и фазовое соглашение Кондона – Шортли. принят.

Обзор операторов углового момента

Операторы углового момента — это самосопряженные операторы j _x , j _y и j _{z ,} которые удовлетворяют коммутационным соотношениям $${\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}$$где ε _klm — символ Леви-Чивита . Вместе эти три оператора определяют векторный оператор , декартов тензорный оператор первого ранга , $$\mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).$$Он также известен как сферический вектор , поскольку он также является сферическим тензорным оператором. Только для ранга один сферические тензорные операторы совпадают с декартовыми тензорными операторами.

Развивая эту концепцию дальше, можно определить еще один оператор j ² как внутренний продукт самого j себя: $$\mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .$$Это пример оператора Казимира . Он диагональный, и его собственное значение характеризует частное неприводимое представление алгебры углового момента. ${\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)$. Физически это интерпретируется как квадрат полного углового момента состояний, на которые действует представление.

Можно также определить операторы повышения ( j ₊ ) и понижения ( j ₋ ), так называемые лестничные операторы , $$\mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .$$

Сферический базис для собственных состояний углового момента

Из приведенных выше определений можно показать, что j ² коммутирует с j _x , j _y и j _z : $${\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}$$

Когда два эрмитовых оператора коммутируют, существует общий набор собственных состояний. Обычно j ² и j _z выбраны. Из коммутационных соотношений можно найти возможные собственные значения. Эти собственные состояния обозначаются | j m ⟩ где j — квантовое число углового момента , а m — проекция углового момента на ось z.

Они составляют сферический базис , являются полными и удовлетворяют следующим уравнениям собственных значений: $${\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}$$

Операторы повышения и понижения можно использовать для изменения значения m . $$\mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,$$где лестничный коэффициент определяется как:

$$C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}.$$ ( 1 )

В принципе, можно также ввести (возможно, сложный) фазовый коэффициент в определение $C_{\pm }(j,m)$. Выбор, сделанный в этой статье, соответствует фазовому соглашению Кондона – Шортли . Состояния углового момента ортогональны (поскольку их собственные значения относительно эрмитова оператора различны) и предполагаются нормализованными: $$\langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.$$

Здесь курсивом j и m обозначаются целые или полуцелые квантовые числа углового момента частицы или системы. С другой стороны, римские j _x , j _y , j _z , j ₊ , j ₋ и j ² обозначают операторы. $\delta$ символы — дельты Кронекера .

См. Также: Каноническое коммутационное соотношение § Отношение неопределенности для операторов углового момента.

Тензорное пространство произведений

Теперь рассмотрим системы с двумя физически различными угловыми моментами j ₁ и j ₂ . Примеры включают спин и орбитальный угловой момент одного электрона, или спины двух электронов, или орбитальные угловые моменты двух электронов. Математически это означает, что операторы момента импульса действуют в пространстве $V_{1}$ размера $2j_{1}+1$ а также на пространстве $V_{2}$ размера $2j_{2}+1$. Затем мы собираемся определить семейство операторов «полного углового момента», действующих на произведений . тензорное пространство $V_{1}\otimes V_{2}$, который имеет размерность $(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)$. Действие оператора полного момента импульса на это пространство представляет собой представление алгебры Ли SU(2), но приводимое. Сведение этого приводимого представления к неприводимым частям является целью теории Клебша – Гордана.

Пусть V ₁ — (2 j ₁ + 1) -мерное векторное пространство, натянутое на состояния $${\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},$$и V _{2 -} -мерное векторное пространство (2 j ₂ + 1) , натянутое на состояния $${\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.$$

Тензорное произведение этих пространств V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ имеет (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1) -мерный несвязанный базис . $$|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.$$Операторы углового момента определены для воздействия на состояния в V ₃ следующим образом: $$(\mathbf {j} \otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle$$и $$(1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } )|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,$$где 1 обозначает тождественный оператор.

Всего ​ Операторы углового момента определяются копроизведением ( или тензорным произведением ) двух представлений, действующих на V ₁ ⊗ V ₂ ,

$\mathbf {J} \equiv \mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2}~.$

Можно показать, что операторы полного углового момента удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям : $$[\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,$$где k , л , м ∈ { Икс , y , z } . Действительно, предыдущая конструкция является стандартным методом для построения действия алгебры Ли на представлении тензорного произведения.

Следовательно, набор связанных собственных состояний существует и для оператора полного углового момента: $${\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}$$для M ∈ {− J , − J + 1, ..., J } . обычно опускается Обратите внимание, что часть [ j ₁ j ₂ ] .

полного углового момента Квантовое число J должно удовлетворять треугольному условию, что $$|j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},$$так, что три неотрицательных целых или полуцелых значения могут соответствовать трем сторонам треугольника.

Общее количество собственных состояний полного углового момента обязательно равно размерности V ₃ : $$\sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.$$Как следует из этого вычисления, представление тензорного произведения разлагается как прямая сумма одной копии каждого из неприводимых представлений размерности. $2J+1$, где $J$ варьируется от $|j_{1}-j_{2}|$ к $j_{1}+j_{2}$ с шагом 1. В качестве примера рассмотрим тензорное произведение трехмерного представления, соответствующее $j_{1}=1$ с двумерным представлением с $j_{2}=1/2$. Возможные значения $J$ тогда $J=1/2$ и $J=3/2$. Таким образом, представление шестимерного тензорного произведения разлагается как прямая сумма двумерного представления и четырехмерного представления.

Теперь цель состоит в том, чтобы явно описать предыдущее разложение, то есть явно описать базисные элементы в пространстве тензорных произведений для каждого из возникающих представлений компонентов.

Состояния полного углового момента образуют ортонормированный базис V ₃ : $$\left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.$$

Эти правила можно повторять, например, для объединения n дублетов ( s =1/2) для получения ряда разложения Клебша-Гордана ( треугольник Каталана ), $$\mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,$$где $\lfloor n/2\rfloor$ — целочисленная напольная функция ; и число, предшествующее выделенной жирным шрифтом метке размерности неприводимого представления ( 2 j +1 ), указывает кратность этого представления при уменьшении представления. Например, согласно этой формуле, добавление трех спинов 1/2 дает спин 3/2 и два спина 1/2, ${\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }$.

Формальное определение коэффициентов Клебша – Гордана.

Связанные состояния могут быть расширены посредством отношения полноты (разрешения тождества) в несвязанном базисе.

$$|J\,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle$$ ( 2 )

Коэффициенты расширения

$$\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle$$

– коэффициенты Клебша–Гордана . Обратите внимание, что некоторые авторы пишут их в другом порядке, например ⟨ j ₁ j ₂ ; м ₁ м ₂ | Дж М ⟩ . Другое распространенное обозначение ⟨ j ₁ м ₁ j ₂ м ₂ | Дж М ⟩ = С ^ДжМ
_{j 1 м 1 j 2 м 2} .

Применение операторов

$${\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}$$

к обеим частям определяющего уравнения показывает, что коэффициенты Клебша – Гордана могут быть отличными от нуля только тогда, когда

$${\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}$$

Рекурсивные отношения

Рекурсивные отношения были открыты физиком Джулио Ракахом из Еврейского университета в Иерусалиме в 1941 году.

Применение операторов повышения и понижения полного углового момента $$\mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }$$в левой части определяющего уравнения дает $${\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}$$Применение тех же операторов к правой части дает $${\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}$$

Объединение этих результатов дает рекурсивные соотношения для коэффициентов Клебша–Гордана, где C _± определен в 1 : $$C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .$$

Взяв верхний знак с условием, что M = J, получим исходное рекурсивное соотношение: $$0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .$$В фазовом соглашении Кондона – Шортли добавляется ограничение, которое

$\langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0$

(и, следовательно, также реален).Коэффициенты Клебша–Гордана ⟨ j ₁ м ₁ j ₂ м ₂ | Тогда J M ⟩ можно найти из этих рекурсивных соотношений. Нормализация фиксируется требованием, чтобы сумма квадратов, что эквивалентно требованию, чтобы норма состояния |[ j ₁ j ₂ ] J J ⟩ была равна единице.

Нижний знак в рекурсивном соотношении можно использовать для нахождения всех коэффициентов Клебша – Гордана с M = J − 1 . Повторное использование этого уравнения дает все коэффициенты.

Эта процедура поиска коэффициентов Клебша – Гордана показывает, что все они действительны в соответствии с фазовым соглашением Кондона – Шортли.

Явное выражение

Явное выражение коэффициентов Клебша–Гордана и таблицы с числовыми значениями см. в таблице коэффициентов Клебша–Гордана .

Отношения ортогональности

Наиболее наглядно их можно записать, если ввести альтернативные обозначения $$\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle$$

Первое соотношение ортогональности: $$\sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}$$(выведено из того, что ${\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}$) и второй $$\sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.$$

Особые случаи

Для J = 0 коэффициенты Клебша–Гордана имеют вид $$\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.$$

Для J = j ₁ + j ₂ и M = J имеем $$\langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.$$

Для j ₁ = j ₂ = J / 2 и m ₁ = − m ₂ имеем $$\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.$$

Для j ₁ = j ₂ = m ₁ = − m ₂ имеем $$\langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.$$

Для j ₂ = 1 , m ₂ = 0 имеем $${\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}$$

Для j ₂ = 1/2 имеем $${\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}$$

Свойства симметрии

$${\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}$$

Удобный способ вывести эти отношения — преобразовать коэффициенты Клебша–Гордана в символы Вигнера 3-j с помощью 3 . Свойства симметрии символов Вигнера 3-j гораздо проще.

Правила для фазовых коэффициентов

При упрощении фазовых коэффициентов необходима осторожность: квантовое число может быть полуцелым, а не целым, поэтому (-1) ^{22 тыс.} не обязательно равен 1 для данного квантового числа k, если не доказано, что оно является целым числом. Вместо этого оно заменяется следующим более слабым правилом: $$(-1)^{4k}=1$$ , подобного угловому моменту для любого квантового числа k .

Тем не менее, комбинация j _i и mi _: всегда является целым числом, поэтому для этих комбинаций применяется более строгое правило $$(-1)^{2(j_{i}-m_{i})}=1$$Это тождество также справедливо, если знак j _i или m _i или обоих поменялся местами.

Полезно заметить, что любой фазовый множитель для данной ( j _i , mi _пары ) можно привести к каноническому виду: $$(-1)^{aj_{i}+b(j_{i}-m_{i})}$$где a € {0, 1, 2, 3} и b € {0, 1} (возможны и другие соглашения). Преобразование фазовых коэффициентов в эту форму позволяет легко определить, эквивалентны ли два фазовых коэффициента. что эта форма является только локально канонической: она не учитывает правила, управляющие комбинациями пар ( ji _{(Обратите внимание ,} , mi _такими ), как описанная в следующем параграфе.)

Дополнительное правило справедливо для комбинаций j ₁ , j ₂ и j ₃ , которые связаны коэффициентом Клебша-Гордана или символом Вигнера 3-j: $$(-1)^{2(j_{1}+j_{2}+j_{3})}=1$$Это тождество также сохраняется, если знак любого j _i какой-либо из них заменяется на mi _{меняется на противоположный или если вместо этого} .

Связь с символами Вигнера 3-j

Коэффициенты Клебша–Гордана связаны с 3-j-символами Вигнера , которые имеют более удобные соотношения симметрии.

$${\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{-j_{1}+j_{2}-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&J\\m_{1}&m_{2}&-M\end{pmatrix}}\\&=(-1)^{2j_{2}}(-1)^{J-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&J&j_{2}\\m_{1}&-M&m_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$ ( 3 )

Коэффициент (−1) ^{2 это ₂} связано с ограничением Кондона – Шортли, что ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J - j ₁ )| JJ ⟩ > 0 , а (–1) ^{Дж - М} связано с обращенной во времени природой | ДжМ ⟩ .

Это позволяет прийти к общему выражению:

${\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.$

Суммирование производится по тем целым значениям k, для которых аргумент каждого факториала в знаменателе неотрицательен, т.е. пределы суммирования K и N принимаются равными: нижний $K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),$ верхний $N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).$ Факториалы отрицательных чисел условно принимаются равными нулю, так что значения символа 3 j при, например, $j_{3}>j_{1}+j_{2}$ или $j_{1}<m_{1}$ автоматически устанавливаются на ноль.

Связь с D-матрицами Вигнера

Основная статья: D-матрица Вигнера

$${\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}$$

Связь со сферическими гармониками

В случае, когда речь идет о целых числах, коэффициенты можно отнести к интегралам сферических гармоник : $$\int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle$$

Из этого и ортонормированности сферических гармоник следует, что коэффициенты КГ на самом деле являются коэффициентами разложения произведения двух сферических гармоник по одной сферической гармонике: $$Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )$$

Другие объекты недвижимости

$$\sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}$$

Коэффициенты Клебша – Гордана для конкретных групп

Для произвольных групп и их представлений коэффициенты Клебша–Гордана, вообще говоря, неизвестны. алгоритмы получения коэффициентов Клебша–Гордана для специальной унитарной группы SU( n ). Однако известны В частности, коэффициенты Клебша-Гордана SU(3) были вычислены и сведены в таблицы из-за их полезности для характеристики адронных распадов, где существует симметрия аромата -SU(3), которая связывает верхние , нижние и странные кварки. Веб -интерфейс для табулирования коэффициентов Клебша – Гордана SU(N) легко доступен.

См. также

• символ 3-j
• 6-й символ
• символ 9-й
• W-коэффициент Рака
• Сферические гармоники
• Сферическая основа
• Тензорные произведения представлений
• Связанные полиномы Лежандра
• Угловой момент
• Муфта углового момента
• Квантовое число полного углового момента
• Азимутальное квантовое число
• Таблица коэффициентов Клебша – Гордана
• D-матрица Вигнера
• Теорема Вигнера – Эккарта
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Коэффициент Клебша – Гордана для SU(3)
• Коэффициент Литтлвуда – Ричардсона

Ссылки

• Алекс, А.; Калус, М.; Гекльберри, А.; фон Делфт, Дж. (2011). «Численный алгоритм явного расчета коэффициентов Клебша – Гордана SU (N) и SL (N, C)». Дж. Математика. Физ . 82 (2): 023507. arXiv : 1009.0437 . Бибкод : 2011JMP....52b3507A . дои : 10.1063/1.3521562 . S2CID   55572438 .
• Кондон, Эдвард У.; Шортли, GH (1970). «Гл. 3». Теория атомных спектров . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-09209-8 .
• Эдмондс, Арканзас (1957). Угловой момент в квантовой механике . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-07912-7 .
• Грейнер, Уолтер ; Мюллер, Берндт (1994). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Издательство Спрингер . ISBN  978-3540580805 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Каплан, Л.М.; Резников, М. (1967). «Матричное произведение и явные коэффициенты 3, 6, 9 и 12j регулярного представления SU (n)». Дж. Математика. Физ . 8 (11): 2194. Бибкод : 1967JMP.....8.2194K . дои : 10.1063/1.1705141 .
• Каединг, Томас (1995). «Таблицы изоскалярных коэффициентов SU (3)». Таблицы атомных и ядерных данных . 61 (2): 233–288. arXiv : nucl-th/9502037 . Бибкод : 1995ADNDT..61..233K . дои : 10.1006/доп.1995.1011 .
• Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Джон Уайли. стр. 428–9 . ISBN  978-0-471-88702-7 .
• Альберт Мессия (1966). Квантовая механика (т. I и II), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья.
• де Сварт, Джей-Джей (1963). «Модель Октета и ее коэффициенты Клебша-Гордана» . Преподобный Мод. Физ. (Представлена ​​рукопись). 35 (4): 916. Бибкод : 1963РвМП...35..916Д . дои : 10.1103/RevModPhys.35.916 .

Внешние ссылки

• Накамура, Кензо; и др. (2010). «Обзор физики элементарных частиц: коэффициенты Клебша-Гордана, сферические гармоники и d- функции» (PDF) . Журнал физики G: Ядерная физика и физика элементарных частиц . 37 (75021): 368. Бибкод : 2010JPhG...37g5021N . дои : 10.1088/0954-3899/37/7A/075021 . Частичное обновление версии 2012 г.
• Веб-калькулятор коэффициентов Клебша – Гордана, 3-j и 6-j
• Загружаемый калькулятор коэффициентов Клебша-Гордана для Mac и Windows
• Веб-интерфейс для табулирования коэффициентов Клебша–Гордана SU(N)

Дальнейшее чтение

• Заарур, Э.; Пелег, Ю.; Пнини, Р. (2006). Квантовая механика . Ускоренный курс Easy Oulines Шаума. МакГроу Хилл. ISBN  978-007-145533-6 .
• Айсберг, Р.; Резник, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-87373-0 .
• Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Прентис Холл. ISBN  978-0-13-146100-0 .
• Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1983). Физика атомов и молекул . Лонгман. ISBN  0-582-44401-2 .
• Воан, Г. (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57507-2 .
• Лернер, Р.Г. ; Тригг, Г.Л. (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели ВХК. ISBN  0-89573-752-3 .
• Паркер, CB (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). ISBN  0-07-051400-3 .
• Биденхарн, LC; Лук, Джей Ди (1981). Угловой момент в квантовой физике . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-13507-7 .
• Бринк, ДМ; Сэтчлер, Г.Р. (1993). «2. Представления группы вращения». Угловой момент (3-е изд.). Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-851759-7 .
• Мессия, Альберт (1981). «XIII. Угловой момент в квантовой механике» . Квантовая механика . Том. II. Северная Голландия. стр. 507–. ISBN  978-0-7204-0045-8 .
• Заре, Ричард Н. (1988). «2. Связь двух векторов углового момента». Угловой момент: понимание пространственных аспектов химии и физики . Уайли. стр. 43–. ISBN  978-0-471-85892-8 .