W-коэффициент Рака

W-коэффициенты Рака были введены Джулио Рака в 1942 году. Эти коэффициенты имеют чисто математическое определение. В физике они используются в расчетах, связанных с квантовомеханическим описанием углового момента , например в теории атома .

Коэффициенты появляются, когда в задаче имеется три источника углового момента. Например, рассмотрим атом с одним электроном на s-орбитали и одним электроном на p-орбитали . Каждый электрон имеет спиновый момент импульса электрона и, кроме того, p-орбиталь имеет орбитальный угловой момент (s-орбиталь имеет нулевой орбитальный угловой момент). Атом может быть описан связью LS или связью jj , как объяснено в статье о связи углового момента . Преобразование между волновыми функциями, которые соответствуют этим двум связям, включает W-коэффициент Рака.

За исключением фазового множителя, W-коэффициенты Рака равны 6-j-символам Вигнера , поэтому любое уравнение, включающее W-коэффициенты Рака, можно переписать с использованием 6- j -символов. Это часто выгодно, поскольку свойства симметрии символов 6- j легче запомнить.

Угловые моменты в коэффициентах Рака W. Верхняя часть представляет собой 2D-плоскую проекцию четырехугольника, нижняя часть представляет собой 3D-тетраэдр.

Коэффициенты Рака связаны с коэффициентами обратной связи соотношением

$W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})\equiv {\frac {\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}}.$

Коэффициенты связи являются элементами унитарного преобразования , их определение дано в следующем разделе. Коэффициенты Рака обладают более удобными свойствами симметрии, чем коэффициенты связи (но менее удобными, чем символы 6- j ).

Коэффициенты восстановления

Связь двух угловых моментов $\mathbf {j} _{1}$ и $\mathbf {j} _{2}$ – это построение одновременных собственных функций $\mathbf {J} ^{2}$ и $J_{z}$, где $\mathbf {J} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}$, как объяснено в статье о коэффициентах Клебша – Гордана . Результат

$|(j_{1}j_{2})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle ,$

где $J=|j_{1}-j_{2}|,\ldots ,j_{1}+j_{2}$ и $M=-J,\ldots ,J$.

Соединение трех угловых моментов $\mathbf {j} _{1}$, $\mathbf {j} _{2}$, и $\mathbf {j} _{3}$, может быть выполнено путем первого соединения $\mathbf {j} _{1}$ и $\mathbf {j} _{2}$ к $\mathbf {J} _{12}$ и следующее соединение $\mathbf {J} _{12}$ и $\mathbf {j} _{3}$ к полному угловому моменту $\mathbf {J}$:

$|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{M_{12}=-J_{12}}^{J_{12}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|(j_{1}j_{2})J_{12}M_{12}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle \langle J_{12}M_{12}j_{3}m_{3}|JM\rangle$

Альтернативно, можно сначала пару $\mathbf {j} _{2}$ и $\mathbf {j} _{3}$ к $\mathbf {J} _{23}$ и следующая пара $\mathbf {j} _{1}$ и $\mathbf {J} _{23}$ к $\mathbf {J}$:

$|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{M_{23}=-J_{23}}^{J_{23}}|j_{1}m_{1}\rangle |(j_{2}j_{3})J_{23}M_{23}\rangle \langle j_{1}m_{1}J_{23}M_{23}|JM\rangle$

Обе схемы связи приводят к получению полных ортонормированных базисов для $(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)$ многомерное пространство, охватываемое

$|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle ,\;\;m_{1}=-j_{1},\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{3}=-j_{3},\ldots ,j_{3}.$

Следовательно, два основания полного углового момента связаны унитарным преобразованием. Матричные элементы этого унитарного преобразования задаются скалярным произведением и известны как коэффициенты связи. Коэффициенты не зависят от $M$ и поэтому у нас есть

$|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle \langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})J\rangle .$

Независимость $M$ легко получить, написав это уравнение для $M=J$ и применив оператор опускания $J_{-}$ к обеим сторонам уравнения. Определение W-коэффициентов Рака позволяет нам записать это окончательное выражение как

$|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23}){\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}.$

Алгебра

Позволять

$\Delta (a,b,c)=[(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!/(a+b+c+1)!]^{1/2}$

— обычный треугольный множитель, то коэффициент Рака является произведением четырех из них суммой по факториалам,

$W(abcd;ef)=\Delta (a,b,e)\Delta (c,d,e)\Delta (a,c,f)\Delta (b,d,f)w(abcd;ef)$

где

$w(abcd;ef)\equiv \sum _{z}{\frac {(-1)^{z+\beta _{1}}(z+1)!}{(z-\alpha _{1})!(z-\alpha _{2})!(z-\alpha _{3})!(z-\alpha _{4})!(\beta _{1}-z)!(\beta _{2}-z)!(\beta _{3}-z)!}}$

и

$\alpha _{1}=a+b+e;\quad \beta _{1}=a+b+c+d;$

$\alpha _{2}=c+d+e;\quad \beta _{2}=a+d+e+f;$

$\alpha _{3}=a+c+f;\quad \beta _{3}=b+c+e+f;$

$\alpha _{4}=b+d+f.$

Сумма более $z$ конечно в диапазоне

$\max(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})\leq z\leq \min(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}).$

Связь с символом 6-j Вигнера

W-коэффициенты Рака связаны с 6-j-символами Вигнера , которые обладают еще более удобными свойствами симметрии.

$W(abcd;ef)(-1)^{a+b+c+d}={\begin{Bmatrix}a&b&e\\d&c&f\end{Bmatrix}}.$

См. или

$W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+J}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&J_{12}\\j_{3}&J&J_{23}\end{Bmatrix}}.$

См. также

• Коэффициенты Клебша – Гордана
• символ 3-j
• 6-й символ
• Теорема Пандьи

Дальнейшее чтение

• Эдмондс, Арканзас (1957). Угловой момент в квантовой механике . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-07912-9 .
• Кондон, Эдвард У.; Шортли, GH (1970). «Глава 3» . Теория атомных спектров . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-09209-4 .
• Мессия, Альберт (1981). Квантовая механика (Том II) (12-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Северной Голландии . ISBN  0-7204-0045-7 .
• Сато, Масачио (1955). «Общая формула коэффициента Рака» . Успехи теоретической физики . 13 (4): 405–414. Бибкод : 1955PThPh..13..405S . дои : 10.1143/PTP.13.405 .
• Бринк, ДМ; Сэтчлер, Г.Р. (1993). «Глава 2» . Угловой момент (3-е изд.). Оксфорд: Кларендон Пресс . ISBN  0-19-851759-9 .
• Заре, Ричард Н. (1988). «Глава 2». Угловой момент . Нью-Йорк: Джон Уайли . ISBN  0-471-85892-7 .
• Биденхарн, LC; Лук, Джей Ди (1981). Угловой момент в квантовой физике . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли . ISBN  0-201-13507-8 .

Внешние ссылки

• «Коэффициенты Рака-Вигнера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]