Прямоугольная функция

Прямоугольная функция (также известная как функция прямоугольника , функция прямоугольника , функция Пи , функция Пи Хевисайда , ^[1] функция вентиля , единичный импульс или нормализованная функция товарного вагона ) определяется как ^[2]

$\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{a}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {a}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {a}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {a}{2}}.\end{array}}\right.$

Альтернативные определения функции определяют ${\textstyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$ быть 0, ^[3] 1, ^[4]^[5] или неопределенный.

Ее периодическая версия называется прямоугольной волной .

История

Функция rect была введена Вудвордом. ^[6] в ^[7] как идеальный оператор вырезания вместе с sinc функцией ^[8]^[9] как идеальный оператор интерполяции и их счетчиковые операции, которые представляют собой выборку ( гребенки оператор ) и репликацию ( повтора оператор ) соответственно.

Связь с функцией товарного вагона

Прямоугольная функция является частным случаем более общей функции товарного вагона :

$\operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=H(t-(X-Y/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(t-X-Y/2)$

где $H(x)$ – ступенчатая функция Хевисайда ; функция сосредоточена в $X$ и имеет продолжительность $Y$ , от $X-Y/2$ к $X+Y/2.$

Преобразование Фурье прямоугольной функции

Унитарные преобразования Фурье прямоугольной функции: ^[2] $\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),$ используя обычную частоту $f$ , где $\operatorname {sinc} _{\pi }$ это нормализованная форма ^[10] функции sinc и ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),$ используя угловую частоту $\omega$ , где $\operatorname {sinc}$ является ненормализованной формой функции sinc .

Для $\operatorname {rect} (x/a)$ , его преобразование Фурье равно $\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.$ Обратите внимание, что до тех пор, пока определение импульсной функции мотивировано только ее поведением во временной области, нет оснований полагать, что колебательная интерпретация (т. е. функция преобразования Фурье) должна быть интуитивной или непосредственно понятной людям. . Однако некоторые аспекты теоретического результата можно понять интуитивно, поскольку конечность во временной области соответствует бесконечной частотной характеристике. (Наоборот, конечное преобразование Фурье будет соответствовать отклику в бесконечной временной области.)

Связь с треугольной функцией

Мы можем определить треугольную функцию как свертку двух прямоугольных функций:

$\operatorname {tri} =\operatorname {rect} *\operatorname {rect} .\,$

Использование по вероятности

Если рассматривать прямоугольную функцию как функцию плотности вероятности , то это частный случай непрерывного равномерного распределения с $a=-1/2,b=1/2.$ Характеристическая функция

$\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},$

а его производящая момент функция равна

$M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},$

где $\sinh(t)$ – гиперболический синус .

Рациональное приближение

Импульсную функцию можно также выразить как предел рациональной функции :

$\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.$

Демонстрация действительности

Сначала рассмотрим случай, когда ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ Обратите внимание, что термин ${\textstyle (2t)^{2n}}$ всегда положительно для целого числа $n.$ Однако, $2t<1$ и, следовательно, ${\textstyle (2t)^{2n}}$ приближается к нулю для больших $n.$

Отсюда следует, что: $\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.$

Во-вторых, рассмотрим случай, когда ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ Обратите внимание, что термин ${\textstyle (2t)^{2n}}$ всегда положительно для целого числа $n.$ Однако, $2t>1$ и, следовательно, ${\textstyle (2t)^{2n}}$ вырастает очень большим для больших $n.$

Отсюда следует, что: $\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.$

В-третьих, рассмотрим случай, когда ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$ Мы можем просто подставить в наше уравнение:

$\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.$

Мы видим, что оно удовлетворяет определению импульсной функции. Поэтому,

$\operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}$

Дельта-функция Дирака

Функция прямоугольника может использоваться для представления дельта-функции Дирака. $\delta (x)$ . ^[11] Конкретно, $\delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).$ Для функции $g(x)$ , его среднее значение по ширине $a$ около 0 в области функции рассчитывается как:

$g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).$ Чтобы получить $g(0)$ , применяется следующий предел:

$g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)$ и это можно записать через дельта-функцию Дирака как: $g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).$ Преобразование Фурье дельта-функции Дирака $\delta (t)$ является

$\delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.$ где функция sinc здесь — это нормализованная функция sinc. Поскольку первый ноль функции sinc находится в точке $f=1/a$ и $a$ стремится к бесконечности, преобразование Фурье $\delta (t)$ является

$\delta (f)=1,$ означает, что частотный спектр дельта-функции Дирака бесконечно широк. Поскольку импульс короче по времени, он шире по спектру.

См. также

Ссылки

^ Вольфрам Исследования (2008). «HeavisidePi, функция Wolfram Language» . Проверено 11 октября 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Функция прямоугольника» . Математический мир .
^ Ван, Руйе (2012). Введение в ортогональные преобразования: с приложениями в обработке и анализе данных . Издательство Кембриджского университета. стр. 135–136. ISBN 9780521516884 .
^ Тан, КТ (2007). Математические методы для инженеров и ученых: анализ Фурье, уравнения в частных производных и вариационные модели . Спрингер. п. 85. ИСБН 9783540446958 .
^ Кумар, А. Ананд (2011). Сигналы и системы . PHI Learning Pvt. ООО, стр. 258–260. ISBN 9788120343108 .
^ Клаудер, Джон Р. (1960). «Теория и конструкция чирповых радаров» . Технический журнал Bell System . 39 (4): 745–808. дои : 10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x .
^ Вудворд, Филипп М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радиолокации . Пергамон Пресс. п. 29.
^ Хиггинс, Джон Роуленд (1996). Теория выборки в Фурье и анализе сигналов: основы . Oxford University Press Inc. с. 4. ISBN 0198596995 .
^ Заид, Ахмед I (1996). Справочник по преобразованиям функций и обобщенных функций . ЦРК Пресс. п. 507. ИСБН 9780849380761 .
^ Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
^ Харе, Кедар; Бутола, манси; Раджора, Сунаина (2023). «Глава 2.4. Выборка путем усреднения, распределения и дельта-функции». Оптика Фурье и вычислительная визуализация (2-е изд.). Спрингер. стр. 15–16. дои : 10.1007/978-3-031-18353-9 . ISBN 978-3-031-18353-9 .

[1] Вольфрам Исследования (2008). «HeavisidePi, функция Wolfram Language» . Проверено 11 октября 2022 г.

[wolfram-2] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Функция прямоугольника» . Математический мир .

[3] Ван, Руйе (2012). Введение в ортогональные преобразования: с приложениями в обработке и анализе данных . Издательство Кембриджского университета. стр. 135–136. ISBN 9780521516884 .

[4] Тан, КТ (2007). Математические методы для инженеров и ученых: анализ Фурье, уравнения в частных производных и вариационные модели . Спрингер. п. 85. ИСБН 9783540446958 .

[5] Кумар, А. Ананд (2011). Сигналы и системы . PHI Learning Pvt. ООО, стр. 258–260. ISBN 9788120343108 .

[6] Клаудер, Джон Р. (1960). «Теория и конструкция чирповых радаров» . Технический журнал Bell System . 39 (4): 745–808. дои : 10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x .

[7] Вудворд, Филипп М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радиолокации . Пергамон Пресс. п. 29.

[8] Хиггинс, Джон Роуленд (1996). Теория выборки в Фурье и анализе сигналов: основы . Oxford University Press Inc. с. 4. ISBN 0198596995 .

[9] Заид, Ахмед I (1996). Справочник по преобразованиям функций и обобщенных функций . ЦРК Пресс. п. 507. ИСБН 9780849380761 .

[10] Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html

[:0-11] Харе, Кедар; Бутола, манси; Раджора, Сунаина (2023). «Глава 2.4. Выборка путем усреднения, распределения и дельта-функции». Оптика Фурье и вычислительная визуализация (2-е изд.). Спрингер. стр. 15–16. дои : 10.1007/978-3-031-18353-9 . ISBN 978-3-031-18353-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]