Теорема Радона–Никодима

В математике теорема Радона -Никодима является результатом теории меры , который выражает связь между двумя мерами, определенными в одном и том же измеримом пространстве . Мера функция — это множества , которая присваивает постоянную величину измеримым подмножествам измеримого пространства. Примеры меры включают площадь и объем, где подмножества представляют собой наборы точек; или вероятность события, которая представляет собой подмножество возможных результатов в более широком вероятностном пространстве .

Один из способов получить новую меру из уже заданной — это присвоить плотность каждой точке пространства, а затем проинтегрировать интересующее измеримое подмножество. Это можно выразить как

$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu ,$

где ν — новая мера, определяемая для любого измеримого подмножества A , а функция f — плотность в данной точке. Интеграл производится по существующей мере µ , которая часто может быть канонической мерой Лебега на вещественной прямой R или n -мерном евклидовом пространстве R. ^н (соответствует нашим стандартным понятиям длины, площади и объема). Например, если f представляет плотность массы, а µ — мера Лебега в трехмерном пространстве R ³ , то ν ( A ) будет равна общей массе в пространственной A. области

Теорема Радона–Никодима, по сути, утверждает, что при определенных условиях любая мера ν может быть выражена таким образом относительно другой меры µ в том же пространстве. Функция   f   тогда называется производной Радона–Никодима и обозначается через ${\tfrac {d\nu }{d\mu }}$. Важным применением является теория вероятностей , приводящая к функции плотности вероятности величины случайной .

Теорема названа в честь Иоганна Радона , который доказал теорему для частного случая, когда базовым пространством является R. ^н в 1913 г. и Отто Никодима , доказавшего общий случай в 1930 г. В 1936 году Ганс Фройденталь обобщил теорему Радона-Никодима, доказав спектральную теорему Фрейденталя , результат пространств Рисса теории ; это содержит теорему Радона – Никодима как частный случай.

свойством Радона – Говорят, что банахово пространство Y обладает Никодима, если обобщение теоремы Радона–Никодима также справедливо, mutatis mutandis , для функций со значениями в Y . Все гильбертовы пространства обладают свойством Радона–Никодима.

Формальное описание

Теорема Радона–Никодима

Теорема Радона –Никодима предполагает измеримое пространство. $(X,\Sigma )$ две σ-конечные меры , на котором определены $\mu$ и $\nu .$ В нем говорится, что если $\nu \ll \mu$ (то есть, если $\nu$ непрерывен абсолютно относительно $\mu$), то существует $\Sigma$- измеримая функция $f:X\to [0,\infty ),$ такая, что для любого измеримого множества $A\in \Sigma ,$$$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu .$$

Производное радона – Никодима

Функция $f$ удовлетворяющее приведенному выше равенству, однозначно определяется с до точностью $\mu$- нулевой набор , то есть, если $g$ — это другая функция, удовлетворяющая тому же свойству, то $f=g$ $\mu$- почти везде . Функция $f$ обычно пишут ${\frac {d\nu }{d\mu }}$ и называется Производная Радона–Никодима . Выбор обозначений и названия функции отражает тот факт, что функция аналогична производной в исчислении в том смысле, что она описывает скорость изменения плотности одной меры относительно другой (способ определителя Якобиана) использования . при многомерном интегрировании).

Распространение на подписанные или комплексные меры

Аналогичная теорема может быть доказана для знаковых и комплексных мер , а именно: если $\mu$ является неотрицательной σ-конечной мерой и $\nu$ является конечнозначной знаковой или комплексной мерой, такой что $\nu \ll \mu ,$ то есть, $\nu$ непрерывен абсолютно относительно $\mu ,$ тогда есть $\mu$-интегрируемая действительная или комплексная функция $g$ на $X$ такая, что для любого измеримого множества $A,$$$\nu (A)=\int _{A}g\,d\mu .$$

Примеры

В следующих примерах множество X представляет собой действительный интервал [0,1], а $\Sigma$ является борелевской сигма-алгеброй на X .

1. $\mu$ мера длины на X. — $\nu$ присваивает каждому подмножеству Y из X двойную длину Y . Затем, ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\mu }}=2}$.
2. $\mu$ мера длины на X. — $\nu$ присваивает каждому подмножеству Y из X количество точек из набора {0.1, …, 0,9}, содержащихся в Y . Затем, $\nu$ не является абсолютно непрерывным относительно $\mu$ поскольку он присваивает ненулевую меру точкам нулевой длины. Действительно, производной нет. ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\mu }}}$: не существует конечной функции, которая при интегрировании, например, из $(0.1-\varepsilon )$ к $(0.1+\varepsilon )$, дает $1$ для всех $\varepsilon >0$.
3. $\mu =\nu +\delta _{0}$, где $\nu$ — мера длины на X и $\delta _{0}$ является мерой Дирака для 0 (она присваивает меру 1 любому множеству, содержащему 0, и меру 0 любому другому множеству). Затем, $\nu$ абсолютно непрерывен относительно $\mu$, и ${\textstyle {\frac {d\nu }{d\mu }}=1_{X\setminus \{0\}}}$ – производная равна 0 при $x=0$ и 1 в $x>0$.

Характеристики

• Пусть ν , µ и λ — σ-конечные меры в одном и том же измеримом пространстве. Если ν ≪ λ и µ ≪ λ ( ν и µ оба абсолютно непрерывны относительно λ ), то $${\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-almost everywhere}}.$$
• Если ν ≪ µ ≪ λ , то $${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-almost everywhere}}.$$
• В частности, если µ ≪ ν и ν ≪ µ , то $${\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-almost everywhere}}.$$
• Если µ ≪ λ и g — µ -интегрируемая функция, то $$\int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .$$
• Если ν — конечная знаковая или комплексная мера, то $${d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.$$

Приложения

Теория вероятностей

Теорема очень важна для распространения идей теории вероятностей от вероятностных масс и плотностей вероятностей, определенных над действительными числами, к вероятностным мерам, определенным над произвольными множествами. Он показывает, можно ли перейти от одной вероятностной меры к другой и если да, то как. В частности, функция плотности вероятности представляет случайной величины собой производную Радона – Никодима индуцированной меры относительно некоторой базовой меры (обычно меры Лебега для непрерывных случайных величин ).

Например, его можно использовать для доказательства существования условного ожидания для вероятностных мер. Последнее само по себе является ключевым понятием в теории вероятностей , поскольку условная вероятность является лишь частным случаем ее.

Финансовая математика

Среди других областей финансовая математика широко использует эту теорему, в частности, через теорему Гирсанова . Такие изменения меры вероятности являются краеугольным камнем рационального ценообразования деривативов вероятности , и используются для преобразования фактических вероятностей в нейтральные к риску .

Информационные расхождения

Если µ и ν — меры над X и µ ≪ ν

• Расхождение Кульбака – Лейблера от ν до µ определяется как $$D_{\text{KL}}(\mu \parallel \nu )=\int _{X}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)\;d\mu .$$
• Для α > 0, α ≠ 1 дивергенция Реньи порядка α от ν до µ определяется как $$D_{\alpha }(\mu \parallel \nu )={\frac {1}{\alpha -1}}\log \left(\int _{X}\left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)^{\alpha -1}\;d\mu \right).$$

Предположение об σ-конечности

Приведенная выше теорема Радона–Никодима предполагает, что мера µ , по которой вычисляется скорость изменения ν, является σ-конечной .

Отрицательный пример

Вот пример, когда µ не является σ-конечным и теорема Радона–Никодима не выполняется.

Рассмотрим борелевскую σ-алгебру на вещественной прямой . Пусть считающая мера , , борелевского множества A определяется как количество элементов A, если A конечно, и ∞ в противном случае. Можно проверить, что µ действительно является мерой. Оно не является σ -конечным, поскольку не каждое борелевское множество является не более чем счетным объединением конечных множеств. Пусть ν — обычная мера Лебега на этой борелевской алгебре. Тогда ν абсолютно непрерывен относительно µ , поскольку для множества A µ A ( A ) = 0 только в том случае, если — пустое множество , и тогда ν ( A ) также равно нулю.

Предположим, что справедлива теорема Радона–Никодима, т. е. для некоторой измеримой функции f имеет место

$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu$

для всех наборов Бореля. Приняв A за одноэлементное множество , A = { a } и используя приведенное выше равенство, можно найти

$0=f(a)$

для всех действительных чисел a . Отсюда следует, что функция   f   и, следовательно, мера Лебега ν равна нулю, что является противоречием.

Положительный результат

Предполагая $\nu \ll \mu ,$ теорема Радона–Никодима также справедлива, если $\mu$ является локализуемым и $\nu$ доступен по отношению к $\mu$, то есть, $\nu (A)=\sup\{\nu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\operatorname {pre} }(\mathbb {R} _{\geq 0})\}$ для всех $A\in \Sigma .$

Доказательство

В этом разделе дается теоретико-мерное доказательство теоремы. Существует также функционально-аналитическое доказательство с использованием методов гильбертового пространства, которое впервые было дано фон Нейманом .

Для конечных мер µ и ν идея состоит в том, чтобы рассмотреть функции   f   с f dµ ≤ dν . Супремум всех таких функций вместе с теоремой о монотонной сходимости затем дает производную Радона – Никодима. Тот факт, что оставшаяся часть µ сингулярна относительно ν, следует из технического факта о конечных мерах. Как только результат установлен для конечных мер, расширение до σ -конечных, знаковых и комплексных мер может быть сделано естественным образом. Подробности приведены ниже.

Для конечных мер

Построение кандидата с расширенными значениями. Сначала предположим, что µ и ν являются конечными неотрицательными мерами. Пусть F будет набором тех измеримых функций расширенного значения f : X → [0, ∞] таких, что:

$\forall A\in \Sigma :\qquad \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A)$

F ≠ ∅ , поскольку он содержит хотя бы нулевую функцию. Теперь пусть f ₁ , f ₂ ∈ F и предположим, что A — произвольное измеримое множество, и определим:

${\begin{aligned}A_{1}&=\left\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\right\},\\A_{2}&=\left\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\right\}.\end{aligned}}$

Тогда у человека есть

$\int _{A}\max \left\{f_{1},f_{2}\right\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu \left(A_{1}\right)+\nu \left(A_{2}\right)=\nu (A),$

и, следовательно, max{ f   ₁ , f   ₂ } ∈ F .

Теперь пусть { f _n } — последовательность функций из F такая, что

$\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .$

Заменив   f _n   на максимальную из первых n функций, можно считать, что последовательность { f _n } возрастает. Пусть g — расширенная функция, определенная как

$g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).$

Лебега По теореме о монотонной сходимости имеем

$\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{A}g\,d\mu \leq \nu (A)$

для каждого A ∈ Σ и, следовательно, g ∈ F . Кроме того, по построению g ,

$\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .$

Доказательство равенства. Теперь, поскольку g ∈ F ,

$\nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu$

определяет неотрицательную меру на Σ . Для доказательства равенства покажем, что ν ₀ = 0 .

Предположим, ν ₀ ≠ 0 ; тогда, поскольку µ конечен, существует ε > 0 такое, что ν ₀ ( X ) > ε µ ( X ) . Чтобы вывести противоречие из того, что ν ₀ ≠ 0 , мы ищем положительное множество P ∈ Σ для знаковой меры ν ₀ − ε µ (т.е. измеримое множество P , все измеримые подмножества которого имеют неотрицательную ν ₀ − εμ меру ). , где также P имеет положительную µ -меру. Концептуально мы ищем множество P , где ν ₀ ≥ ε µ в каждой части P . Удобный подход — использовать разложение Хана ( P , N ) для знаковой меры ν ₀ − ε µ .

Заметим тогда, что для любого A ∈ Σ имеет место ν ₀ ( A ∩ P ) ≥ ε µ ( A ∩ P ) и, следовательно,

${\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)=\int _{A}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu ,\end{aligned}}$

где 1 _P – функция P индикаторная . Также обратите внимание, что µ ( P ) > 0 по желанию; ибо если ( P ) = 0 то (поскольку ν абсолютно непрерывен относительно µ ) ν0 _µ ( P ) ≤ ν ( P ) = 0 , поэтому ν0 _, ( P ) = 0 и

$\nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=\left(\nu _{0}-\varepsilon \mu \right)(N)\leq 0,$

что противоречит тому факту, что ν ₀ ( X ) > εμ ( X ) .

Тогда, поскольку также

$\int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty ,$

g + ε 1 _P ∈ F и удовлетворяет условию

$\int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .$

Это невозможно , поскольку нарушает определение супремума ; следовательно, первоначальное предположение о том, что ν ₀ ≠ 0, должно быть ложным. Следовательно, ν ₀ = 0 , как и хотелось.

Ограничение конечными значениями Теперь, поскольку µ -интегрируемо . , множество { x ∈ X : g ( x ) = ∞} является µ - нулевым g Следовательно, если   f   определяется как

$f(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{if }}g(x)<\infty \\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}$

тогда f обладает желаемыми свойствами.

Единственность . Что касается единственности, то пусть   f , g : X → [0, ∞) — измеримые функции, удовлетворяющие

$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu$

для каждого измеримого множества A . Тогда g − f   -интегрируема µ и

$\int _{A}(g-f)\,d\mu =0.$

В частности, для A = { x ∈ X : f ( x ) > g ( x )} или { x ∈ X : f ( x ) < g ( x )} . Отсюда следует, что

$\int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu ,$

и так, что ( g − f ) ⁺ = 0 µ - почти всюду; то же самое верно для ( г - ж ) ⁻ , и, таким образом, f = g µ -почти всюду, что и требовалось.

Для σ -конечных положительных мер

Если µ и ν -конечны σ , то X можно записать как объединение последовательности { B _n } _n в непересекающихся множеств Σ , каждое из которых имеет конечную меру как относительно µ, так и ν . Для каждого n в конечном случае существует Σ -измеримая функция   fn _, : Bn _что → [0, ∞) такая

$\nu _{n}(A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu$

каждого Σ -измеримого подмножества A в Bn _для . Сумма ${\textstyle \left(\sum _{n}f_{n}1_{B_{n}}\right):=f}$ из этих функций является тогда искомой функцией такой, что ${\textstyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$.

Что касается единственности, поскольку каждая из f _n -почти µ всюду уникальна, то и f .

Для подписанных и комплексных мер

Если ν является σ -конечной знаковой мерой, то ее можно разложить Хана–Жордана как ν = ν ⁺ - н ⁻ где одна из мер конечна. Применяя предыдущий результат к этим двум мерам, можно получить две функции g , h : X → [0, ∞) , удовлетворяющие теореме Радона–Никодима для ν ⁺ и ν ⁻ соответственно, хотя бы один из которых µ -интегрируем (т. е. его интеграл по µ конечен). Тогда ясно, что f = g − h удовлетворяет требуемым свойствам, включая единственность, поскольку и g , и h единственны с точностью до µ -почти всюду равенства.

Если ν — комплексная мера , ее можно разложить как ν = ν ₁ + iν ₂ , где и ν ₁ , и ν ₂ — конечнозначные меры со знаком. Применяя приведенное выше рассуждение, получаем две функции g , h : X → [0, ∞) , удовлетворяющие требуемым свойствам для ν ₁ и ν ₂ соответственно. Очевидно, f = g + ih — искомая функция.

Теорема Лебега о разложении

Теорема Лебега о разложении показывает, что условия теоремы Радона–Никодима можно найти даже в, казалось бы, более общей ситуации. Рассмотрим σ-конечную положительную меру $\mu$ на пространстве меры $(X,\Sigma )$ и σ-конечная знаковая мера $\nu$ на $\Sigma$, не предполагая абсолютной непрерывности. Тогда существуют уникальные знаковые меры $\nu _{a}$ и $\nu _{s}$ на $\Sigma$ такой, что $\nu =\nu _{a}+\nu _{s}$, $\nu _{a}\ll \mu$, и $\nu _{s}\perp \mu$. Тогда теорема Радона–Никодима может быть применена к паре $\nu _{a},\mu$.

См. также

• Теорема Гирсанова
• Набор Радон–Никодим

Ссылки

• Ланг, Серж (1969). Анализ II: Реальный анализ . Аддисон-Уэсли. Содержит доказательство векторных мер, принимающих значения в банаховом пространстве.
• Ройден, ХЛ ; Фицпатрик, премьер-министр (2010). Реальный анализ (4-е изд.). Пирсон. Содержит наглядное доказательство в случае, если мера ν не является σ-конечной.
• Шилов, Г.Е.; Гуревич, Б.Л. (1978). Интеграл, мера и производная: единый подход . Ричард А. Сильверман, пер. Дуврские публикации . ISBN  0-486-63519-8 .
• Штейн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертово пространство . Принстонские лекции по анализу. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-11386-9 . Содержит доказательство обобщения.
• Тешл, Джеральд . «Темы реального и функционального анализа» . (конспекты лекций).

Эта статья включает в себя материал из теоремы Радона-Никодима по программе PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .