Правило тройного продукта

Правило тройного произведения , известное также как правило циклической цепи , циклическое отношение , циклическое правило или правило цепи Эйлера , представляет собой формулу, которая связывает частные производные трех взаимозависимых переменных. Правило находит применение в термодинамике , где часто три переменные могут быть связаны функцией вида f ( x , y , z ) = 0, поэтому каждая переменная задается как неявная функция двух других переменных. Например, состояния жидкости температуру связывает давление , уравнение и объем таким образом. Правило тройного произведения для таких взаимосвязанных переменных x , y и z возникает в результате использования отношения взаимности в результате теоремы о неявной функции и определяется выражением

\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1,

где каждый множитель представляет собой частную производную переменной в числителе, которая считается функцией двух других.

Преимущество правила тройного произведения состоит в том, что путем перестановки членов можно получить ряд тождеств замены, которые позволяют заменить частные производные, которые трудно аналитически оценить, экспериментально измерить или интегрировать, на частные производные, с которыми легче работать. с. Например,

\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)=-{\frac {\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}}

В литературе присутствуют и другие различные формы этого правила; их можно получить путем перестановки переменных { x , y , z }.

Вывод

Далее следует неформальный вывод. Предположим, что f ( x , y , z ) = 0. Запишите z как функцию от x и y . Таким образом, полный дифференциал dz равен

dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)dy

Предположим, что мы движемся по кривой с dz = 0, где кривая параметризована x . Таким образом, y можно записать через x , поэтому на этой кривой

dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx

Следовательно, уравнение для dz = 0 принимает вид

0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)\,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,dx

Поскольку это должно быть верно для всех dx , перестановка членов дает

\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)

Деление на производные в правой части дает правило тройного произведения.

\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1

Обратите внимание, что это доказательство делает много неявных предположений относительно существования частных производных, существования точного дифференциала dz , возможности построить кривую в некоторой окрестности с dz = 0, а также ненулевого значения частных производных и их обратных величин. Формальное доказательство, основанное на математическом анализе, устранило бы эти потенциальные двусмысленности.

Альтернативный вывод

Предположим, что функция $f (x, y, z) = 0$ , где $x$ , $y$ и $z$ являются функциями друг друга. Запишите полные дифференциалы переменных $dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)dy+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$ $dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz$ Замените $dy$ на $dx.$ $dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left[\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz\right]+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$ Используя цепное правило, можно показать, что коэффициент при $dx$ в правой части равен единице, поэтому коэффициент при $dz$ должен быть равен нулю. $\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)=0$ Вычитание второго члена и умножение на обратное дает правило тройного произведения. $\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1.$

Приложения

Пример: Закон идеального газа

Закон идеального газа связывает переменные состояния давления (P), объема (V) и температуры (T) через

PV=nRT

который можно записать как

f(P,V,T)=PV-nRT=0

поэтому каждую переменную состояния можно записать как неявную функцию других переменных состояния:

{\begin{aligned}P&=P(V,T)={\frac {nRT}{V}}\\[1em]V&=V(P,T)={\frac {nRT}{P}}\\[1em]T&=T(P,V)={\frac {PV}{nR}}\end{aligned}}

Из приведенных выше выражений имеем

{\begin{aligned}-1&=\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{V^{2}}}\right)\left({\frac {nR}{P}}\right)\left({\frac {V}{nR}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{PV}}\right)\\[1em]&=-{\frac {P}{P}}=-1\end{aligned}}

Геометрическая реализация

Геометрическую реализацию правила тройного произведения можно найти в его тесной связи со скоростью бегущей волны.

\phi (x,t)=A\cos(kx-\omega t)

показано справа в момент времени t (сплошная синяя линия) и через некоторое время t +Δ t (пунктир). Волна сохраняет свою форму по мере распространения, так что точка в положении x в момент времени t будет соответствовать точке в положении x +Δ x в момент времени t +Δ t ,

A\cos(kx-\omega t)=A\cos(k(x+\Delta x)-\omega (t+\Delta t)).

Это уравнение может быть удовлетворено только для всех x и t, если k Δ x − ω Δ t = 0 , что приводит к формуле для фазовой скорости

v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\omega }{k}}.

Чтобы прояснить связь с правилом тройного произведения, рассмотрим точку p ₁ в момент времени t и соответствующую ей точку (с той же высотой) p̄ ₁ в момент t +Δ t . Определите p ₂ как точку в момент времени t, координата x которой совпадает с координатой p̄ ₁ , и определите p ₂ как соответствующую точку p _{2 ,} как показано на рисунке справа. Расстояние Δx между p1 и _{скорость} p̄1 такое _{же ,} как расстояние между p2 _дает и p̄2 _{( зеленые} линии), и деление этого расстояния на Δt волны .

Чтобы вычислить Δx , рассмотрим две частные производные, вычисленные p2 _: при

\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t={\text{rise from }}p_{2}{\text{ to }}{\bar {p}}_{1}{\text{ in time }}\Delta t{\text{ (gold line)}}

\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)={\text{slope of the wave (red line) at time }}t.

Разделив эти две частные производные и используя определение наклона (подъем, разделенный на пробег), мы получаем искомую формулу для

\Delta x=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}},

где отрицательный знак учитывает тот факт, что p ₁ лежит позади p ₂ относительно движения волны. Таким образом, скорость волны определяется выражением

v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.

Для бесконечно малого Δ t , ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)$ и мы восстанавливаем правило тройного произведения

v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.

См. также

Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
Точный дифференциал - тип бесконечно малого в исчислении (имеет еще один вывод правила тройного произведения)
Правило продукта – формула производной продукта
Полная производная - Тип производной в математике.
Тройное произведение – Тернарная операция над векторами и скалярами.

Ссылки

Эллиотт-младший; Лира, Коннектикут (1999). Вводная химическая термодинамика (1-е изд.). Прентис Холл. п. 184. ИСБН 0-13-011386-7 .
Картер, Эшли Х. (2001). Классическая и статистическая термодинамика . Прентис Холл. п. 392. ИСБН 0-13-779208-5 .