Теорема Койпера
В математике ( теорема Койпера после Николааса Койпера бесконечномерном комплексном гильбертовом пространстве H. ) является результатом топологии операторов в Он утверждает, что пространство GL( H ) обратимых ограниченных эндоморфизмов H H таково, что все отображения любого конечного комплекса Y в GL( ) гомотопны константе для топологии нормы на операторах.
Важным следствием, также называемым теоремой Койпера , является то, что эта группа слабо сжимаема , т.е. все его гомотопические группы тривиальны. Этот результат имеет важное применение в топологической К-теории .
Общая топология общей линейной группы
[ редактировать ]Для конечномерного H эта группа была бы комплексной общей линейной группой и совсем не стягиваемой. Фактически она гомотопически эквивалентна своей компактной подгруппе , унитарной группе U группы H. максимальной Доказательство того, что комплексная общая линейная группа и унитарная группа имеют один и тот же гомотопический тип , осуществляется с помощью процесса Грама-Шмидта или матричного полярного разложения и переносится на бесконечномерный случай сепарабельного гильбертова пространства , в основном потому, что пространство верхняя треугольная матрица стягиваема, что видно совершенно явно. Основной феномен заключается в том, что переход к бесконечному множеству измерений приводит к исчезновению большей части топологической сложности унитарных групп; но см. раздел об унитарной группе Ботта, где переход на бесконечность более ограничен, и полученная группа имеет нетривиальные гомотопические группы.
Исторический контекст и топология сфер
[ редактировать ]Удивительным фактом является то, что единичная сфера , иногда обозначаемая S ∞ , в бесконечномерном гильбертовом пространстве H является сжимаемым пространством , в то время как никакие конечномерные сферы не являются стягиваемыми. Этот результат, наверняка известный за десятилетия до Койпера, может иметь статус математического фольклора , но он довольно часто цитируется. [ 1 ] [ 2 ] На самом деле правда больше: S ∞ диффеоморфно , H . которое заведомо стягиваемо в силу своей выпуклости [ 3 ] Одним из следствий является то, что существуют гладкие контрпримеры к расширению теоремы Брауэра о неподвижной точке на единичный шар в H . [ 4 ] Существование таких контрпримеров, являющихся гомеоморфизмами , было показано в 1943 году Шизуо Какутани , который, возможно, первым записал доказательство сжимаемости единичной сферы. [ 5 ] Но результат в любом случае был по существу известен (в 1935 году Андрей Николаевич Тихонов показал, что единичная сфера является ретрактом единичного шара). [ 6 ]
Результат о группе ограниченных операторов был доказан голландским математиком Николаасом Койпером для случая сепарабельного гильбертова пространства; Позднее ограничение на разделимость было снято. [ 7 ] Тот же результат, но для сильной операторной топологии, а не для нормальной топологии, был опубликован в 1963 году Жаком Диксмье и Адрианом Дуади . [ 8 ] Геометрическая связь сферы и группы операторов такова, что единичная сфера является однородным пространством для унитарной группы U . Стабилизатором одного вектора v единичной сферы является унитарная группа ортогонального дополнения к v ; следовательно, длинная гомотопическая точная последовательность предсказывает, что все гомотопические группы единичной сферы будут тривиальны. Это показывает тесную топологическую связь, но само по себе этого недостаточно, поскольку включение точки будет лишь слабой гомотопической эквивалентностью , а это подразумевает сжимаемость непосредственно только для комплекса CW . В статье, опубликованной через два года после статьи Койпера, [ 9 ]
Унитарная группа Ботта
[ редактировать ]Существует еще одна бесконечномерная унитарная группа, имеющая большое значение в теории гомотопий , — та, к которой применима теорема периодичности Ботта . Это, конечно, не подлежит сокращению. Отличие от группы Койпера можно объяснить: группа Ботта — это подгруппа, в которой данный оператор действует нетривиально только на подпространстве, охватываемом первым N фиксированного ортонормированного базиса { e i }, для некоторого N являющегося тождеством на остальные базисные векторы.
Приложения
[ редактировать ]Непосредственным следствием общей теории расслоений является то, что каждое гильбертово расслоение является тривиальным расслоением . [ 10 ]
Результат о сжимаемости S ∞ дает геометрическую конструкцию классифицирующих пространств для определенных групп, свободно действующих на нем, таких как циклическая группа с двумя элементами и группа круга . Унитарная группа U в смысле Ботта имеет классифицирующее пространство BU для комплексных векторных расслоений (см. Классификационное пространство для U(n) ). Более глубокое применение теоремы Койпера - это доказательство теоремы Атьи-Яниха (по Клаусу Яниху и Майклу Атье ), утверждающее, что пространство операторов Фредгольма на H с топологией нормы представляет функтор K (.) топологического ( комплексная) К-теория в смысле гомотопической теории. Это дано Атьей. [ 11 ]
Случай банаховых пространств
[ редактировать ]Тот же вопрос можно поставить и об обратимых операторах в любом банаховом пространстве бесконечной размерности. Здесь есть лишь частичные результаты. Некоторые классические пространства последовательностей обладают тем же свойством, а именно стягиваемостью группы обратимых операторов. С другой стороны, известны примеры, когда оно не может быть связным пространством . [ 12 ] Если известно, что все гомотопические группы тривиальны, сжимаемость в некоторых случаях может оставаться неизвестной.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Джон Баэз , «Находки этой недели по математической физике, неделя 151», [1] Архивировано 12 декабря 2009 г. в Wayback Machine.
- ^ Дэйв Русин, сообщение в группе новостей http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/93_back/s-infty. Архивировано 2 июля 2010 г. на Wayback Machine.
- ^ К. Бессага, Каждое бесконечномерное гильбертово пространство диффеоморфно своей единичной сфере . Бык. акад. Полон. наук. Сер. наук. Математика. 14 (1966), 2731.
- ^ Анджей Гранас, Джеймс Дугунджи , Теория неподвижной точки (2003), стр. 82-3.
- ^ С. Какутани, Топологические свойства единичной сферы в гильбертовом пространстве , Proc. Имп. акад. Токио 19 (1943), 269–271.
- ^ Анджей Гранас, Джеймс Дугунджи, стр. 108.
- ^ Люк Иллюзи , Сжимаемость линейной группы гильбертовых пространств бесконечной размерности , Семинар Бурбаки, 1964, Exp. № 284.
- ^ Лемма 3 на стр. 26, Непрерывные поля гильбертовых пространств (PDF) , Bulletin de la Société Mathématique de France, 91 (1963), стр. 26. 227-284.
- ^ Ришар Пале, Гомотопическая теория бесконечномерных многообразий , Топология, том. 5, стр. 1-16 (1966).
- ^ Боосс и Бликер, Топология и анализ (1985), стр. 10. 67.
- ^ Майкл Атья , К-теория, с. 153 и с. 162-3, Собрание сочинений , том 2, стр. 590-600.
- ^ Герберт Шредер, О топологии группы обратимых элементов (PDF), обзор препринтов .
- Койпер, Н. (1965). «Гомотопический тип унитарной группы гильбертова пространства». Топология . 3 (1): 19–30. дои : 10.1016/0040-9383(65)90067-4 .