Группа Ри

В математике группа Ри — это группа лиева типа над конечным полем, построенная Ри ( 1960 , 1961 ) на основе исключительного автоморфизма диаграммы Дынкина , которая меняет направление кратных связей, обобщая группы Сузуки, найденные Судзуки с использованием другой метод. Они были последними из бесконечных семейств конечных простых групп открытых .

В отличие от групп Стейнберга , группы Ри не задаются точками связной редуктивной алгебраической группы, определенной над конечным полем; другими словами, не существует «алгебраической группы Ри», связанной с группами Ри так же, как (скажем) унитарные группы связаны с группами Стейнберга. Однако существуют некоторые экзотические псевдоредуктивные алгебраические группы над несовершенными полями, построение которых связано с построением групп Ри, поскольку они используют те же экзотические автоморфизмы диаграмм Дынкина, которые меняют длину корней.

Титс (1960) определил группы Ри над бесконечными полями характеристик 2 и 3. Титс (1989) и Хи (1990) ввели группы Ри бесконечномерных алгебр Каца – Муди .

Строительство

Если X — диаграмма Дынкина соответствующие X , в частности, задав группы X ( F ) со значениями в поле F. , Шевалле построил расщепляемые алгебраические группы , Эти группы имеют следующие автоморфизмы:

• Любой эндоморфизм σ поля F индуцирует эндоморфизм α _σ группы X ( F )
• Любой автоморфизм π диаграммы Дынкина индуцирует автоморфизм α _π группы X ( F ) .

Группы Стейнберга и Шевалле могут быть построены как неподвижные точки эндоморфизма X ( F ) для F — алгебраического замыкания поля. Для групп Шевалле автоморфизм — это эндоморфизм Фробениуса группы F , а для групп Стейнберга автоморфизм — это эндоморфизм Фробениуса, умноженный на автоморфизм диаграммы Дынкина.

Над полями характеристики 2 группы B ₂ ( F ) и F ₄ ( F ) и над полями характеристики 3 группы G ₂ ( F ) обладают эндоморфизмом, квадратом которого является эндоморфизм α _φ, ассоциированный с эндоморфизмом Фробениуса φ поля Ф. ​Грубо говоря, этот эндоморфизм α _π возникает из автоморфизма второго порядка диаграммы Дынкина, в котором не учитываются длины корней.

Предположим, что поле F имеет эндоморфизм σ , квадрат которого является эндоморфизмом Фробениуса: σ ² = φ . Тогда группа Ри определяется как группа элементов g из X ( F ) таких, что α _π ( g ) = α _σ ( g ) . Если поле F совершенно, то α _π и α _φ являются автоморфизмами, а группа Ри — это группа неподвижных точек инволюции α _φ /α _π поля X ( F ) .

В случае, когда F — конечное поле порядка p ^к (при p = 2 или 3) существует эндоморфизм с квадратом Фробениуса точно тогда, когда k = 2 n + 1 нечетно, и в этом случае он единственный. Таким образом, это дает конечные группы Ри как подгруппы B ₂ (2 ^{2н 1 +} ), Ф ₄ (2 ^{2н 1 +} ) и G ₂ (3 ^{2н 1 +} ), фиксированный инволюцией.

Группы Шевалле, группа Стейнберга и группы Ри.

Связь между группами Шевалле, группой Стейнберга и группами Ри примерно следующая. Учитывая диаграмму Дынкина X , Шевалле построил групповую схему над целыми числами Z , значения которых над конечными полями являются группами Шевалле. В общем случае можно взять неподвижные точки эндоморфизма α поля X ( F ) , где F — алгебраическое замыкание конечного поля, такого, что некоторая степень α является некоторой степенью эндоморфизма Фробениуса φ. Эти три случая заключаются в следующем:

• Для групп Шевалле α = φ ^н для некоторого положительного целого числа n . В этом случае группа неподвижных точек является также группой точек X, определенных над конечным полем.
• Для групп Стейнберга α ^м = е ^н для некоторых натуральных чисел m , n, где m делит n и m > 1. В этом случае группа неподвижных точек является также группой точек скрученной (квазирасщепленной) формы X, определенной над конечным полем.
• Для групп Ри α ^м = е ^н для некоторых натуральных чисел m , n, где m не делит n . На практике m =2 и n нечетно. Группы Ри не задаются как точки некоторой связной алгебраической группы со значениями в поле. они являются неподвижными точками автоморфизма порядка m = 2 группы, определенной над полем порядка p. ^н с n нечетным и нет соответствующего поля порядка p ^{н /2} (хотя некоторые авторы любят притворяться, что это так в их обозначениях групп).

Группы Ри типа ² B_Б2

Основная статья: Группы Suzuki

Группы Ри типа ² B ₂ были впервые обнаружены Судзуки (1960) с использованием другого метода и обычно называются группами Сузуки . Ри заметил, что их можно построить из групп типа B2 _, используя вариацию конструкции Стейнберга (1959) . Ри понял, что аналогичная конструкция может быть применена к диаграммам Дынкина F ₄ и G ₂ , что приведет к двум новым семействам конечных простых групп.

Группы Ри типа ² Г ₂

Группы Ри типа ² Г ₂ (3 ^{2н 1 +} ) были введены Ри (1960) , который показал, что все они просты, за исключением первого. ² G ₂ (3), который изоморфен группе автоморфизмов группы SL ₂ (8) . Уилсон (2010) дал упрощенную конструкцию групп Ри как автоморфизмов 7-мерного векторного пространства над полем с 3 ^{2н 1 +} элементы, сохраняющие билинейную форму, трилинейную форму и произведение, удовлетворяющее искривленному закону линейности.

Группа Ри имеет порядок q ³ ( q ³ + 1)( q − 1) где q = 3 ^{2н 1 +}

Множитель Шура тривиален при n ≥ 1 и при ² Г ₂ (3)′.

Внешняя группа автоморфизмов циклическая порядка 2 n + 1.

Группу Ри также иногда обозначают Ree( q ), R( q ) или E2 _. ^* ( q )

Группа Ри ² G ₂ ( q ) имеет дважды транзитивное представление перестановок на q ³ + 1 точка, а точнее, действует как автоморфизм S(2, q +1, q ³ +1) Система Штейнера . Он также действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, поскольку является подгруппой G ₂ ( q ).

2-силовские подгруппы групп Ри являются элементарными абелевыми порядка 8. Теорема Уолтера показывает, что единственными другими неабелевыми конечными простыми группами с абелевыми силовскими 2-подгруппами являются проективные специальные линейные группы в размерности 2 и группа Янко J1 . Эти группы также сыграли роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют централизаторы инволюции вида Z /2 Z × PSL ₂ ( q ) , и, исследуя группы с централизатором инволюции аналогичного вида Z /2 Z × PSL ₂ (5), Янко нашел спорадическую группу J ₁ . Клейдман (1988) определил их максимальные подгруппы.

Группы Ри типа ² G ₂ исключительно трудно охарактеризовать. Томпсон ( 1967 , 1972 , 1977 ) изучал эту проблему и смог показать, что структура такой группы определяется некоторым автоморфизмом σ конечного поля характеристики 3, и что если квадрат этого автоморфизма является фробениусовым автоморфизм, то группа является группой Ри. Он также дал некоторые сложные условия, которым удовлетворяет автоморфизм σ . Наконец, Бомбьери ( 1980 ) использовал теорию исключения , чтобы показать, что из условий Томпсона следует, что σ ² = 3 с помощью компьютера во всех случаях, кроме 178 мелких, которые были исключены Одлызко и Хантом . Бомбьери узнал об этой проблеме после прочтения статьи о классификации Горенштейна (1979) , который предположил, что кто-то, не связанный с теорией групп, мог бы помочь в ее решении. Энгехард (1986) дал единый отчет о решении этой проблемы Томпсоном и Бомбьери.

Группы Ри типа ² F_F4

Группы Ри типа ² Ф ₄ (2 ^{2н 1 +} ) были введены Ри (1961) . Они простые, кроме первого. ² F ₄ (2) , которую показал Титс (1964), имеет простую подгруппу индекса 2, теперь известную как группа Титса . Уилсон (2010b) дал упрощенную конструкцию групп Ри как симметрий 26-мерного пространства над полем порядка 2. ^{2н 1 +} сохранение квадратичной формы, кубической формы и частичного умножения.

Группа Ри ² Ф ₄ (2 ^{2н 1 +} ) имеет порядок д ¹² ( q ⁶ + 1)( q ⁴ − 1)( q ³ + 1)( q - 1)где д = 2 ^{2н 1 +} .Множитель Шура тривиален.Внешняя группа автоморфизмов циклическая порядка 2 n + 1.

Эти группы Ри обладают необычным свойством: группа Кокстера их BN-пары не является кристаллографической: это группа диэдра 16-го порядка. Титс (1983) показал, что все восьмиугольники Муфанг происходят из групп Ри типа ² F4 _.

См. также

• Список конечных простых групп

Ссылки

• Картер, Роджер В. (1989) [1972], Простые группы типа Ли , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-50683-6 , МР   0407163
• Бомбьери, Энрико (1980), «Проблема Томпсона (σ ² =3)", Inventiones Mathematicae , 58 (1), приложения Эндрю Одлызко и Д. Ханта: 77–100, doi : 10.1007/BF01402275 , ISSN   0020-9910 , MR   0570875 , S2CID   122867511
• Энгехард, Мишель (1986), «Характеристика групп Ри», Asterisk (142): 49–139, ISSN   0303-1179 , MR   0873958
• Горенштейн, Д. (1979), «Классификация конечных простых групп. I. Простые группы и локальный анализ», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 1 (1): 43–199, doi : 10.1090/S0273- 0979-1979-14551-8 , ISSN   0002-9904 , MR   0513750
• Хи, Жан-Ив (1990), «Построение скрученных групп в теории Каца-Муди», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 310 (3): 77–80, ISSN   0764-4442 , MR   1044619
• Клейдман, Питер Б. (1988), «Максимальные подгруппы групп Шевалле G ₂ (q) с нечетным q, группы Ри ² G ₂ (q) и их группы автоморфизмов», Journal of Algebra , 117 (1): 30–71, doi : 10.1016/0021-8693(88)90239-6 , ISSN   0021-8693 , MR   0955589
• Ри, Римхак (1960), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (G ₂ )» , Бюллетень Американского математического общества , 66 (6): 508–510, doi : 10.1090/S0002-9904 -1960-10523-X , ISSN   0002-9904 , MR   0125155
• Ри, Римхак (1961), «Семейство простых групп, связанных с простой алгеброй Ли типа (F ₄ )» , Бюллетень Американского математического общества , 67 : 115–116, doi : 10.1090/S0002-9904-1961- 10527-2 , ISSN   0002-9904 , МР   0125155
• Стейнберг, Роберт (1959), «Вариации на тему Шевалле» , Pacific Journal of Mathematics , 9 (3): 875–891, doi : 10.2140/pjm.1959.9.875 , ISSN   0030-8730 , MR   0109191
• Стейнберг, Роберт (1968), Лекции о группах Шевалле , Йельский университет, Нью-Хейвен, Коннектикут, MR   0466335 , заархивировано из оригинала 10 сентября 2012 г.
• Стейнберг, Роберт (1968), Эндоморфизмы линейных алгебраических групп , Мемуары Американского математического общества, № 80, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  9780821812808 , МР   0230728
• Судзуки, Мичио (1960), «Новый тип простых групп конечного порядка», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 46 (6): 868–870, doi : 10.1073/pnas.46.6. 868 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   70960 , MR   0120283 , PMC   222949 , PMID   16590684
• Томпсон, Джон Г. (1967), «К характеристике E ₂ *(q)», Journal of Algebra , 7 (3): 406–414, doi : 10.1016/0021-8693(67)90080-4 , ISSN   0021-8693 , МР   0223448
• Томпсон, Джон Г. (1972), «К характеристике E ₂ *(q). II», Journal of Algebra , 20 (3): 610–621, doi : 10.1016/0021-8693(72)90074-9 , ISSN   0021-8693 , МР   0313377
• Томпсон, Джон Г. (1977), «К характеристике E ₂ *(q). III», Journal of Algebra , 49 (1): 162–166, doi : 10.1016/0021-8693(77)90276-9 , ISSN   0021-8693 , МР   0453858
• Титс, Жак (1960), «Простые группы Сузуки и Ри» , Семинар Бурбаки, Том. 6 , Париж: Математическое общество Франции , стр. 65–82, МР   1611778
• Титс, Жак (1964), «Алгебраические и абстрактные простые группы», Annals of Mathematics , Second Series, 80 (2): 313–329, doi : 10.2307/1970394 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970394 , MR   0164968
• Титс, Жак (1983), «Восьмиугольники Муфанга и группы Ри типа ² F ₄ ", American Journal of Mathematics , 105 (2): 539–594, doi : 10.2307/2374268 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2374268 , MR   0701569
• Титс, Жак (1989), «Группы, связанные с алгебрами Каца-Муди» , Asterisk , Séminaire Bourbaki (177): 7–31, ISSN   0303-1179 , MR   1040566
• Уилсон, Роберт А. (2010), «Еще один новый подход к малым группам Ри», Archiv der Mathematik , 94 (6): 501–510, CiteSeerX   10.1.1.156.9909 , doi : 10.1007/s00013-010-0130- 4 , ISSN   0003-9268 , MR   2653666 , S2CID   122724281
• Уилсон, Роберт А. (2010b), «Простая конструкция групп Ри типа ² F ₄ ", Journal of Algebra , 323 (5): 1468–1481, doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.11.015 , ISSN   0021-8693 , MR   2584965

Внешние ссылки

• АТЛАС: Группа Ри R(27)