Полигон Муфанг

В математике многоугольники Муфанг представляют собой обобщение Жаком Титом плоскостей Муфанг, изученных Рут Муфанг , и представляют собой неприводимые здания второго ранга, допускающие действие корневых групп . В книге по этой теме Титс и Ричард Вайс. ^{[ 1 ]} классифицируйте их все. Более ранняя теорема, независимо доказанная Титсом и Вайсом, ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} показал, что многоугольник Муфанг должен быть обобщенным 3-угольником, 4-угольником, 6-угольником или 8-угольником, поэтому целью вышеупомянутой книги был анализ этих четырех случаев.

Определения

Обобщенный n n -угольник — это двудольный граф диаметра n 2 и обхвата .
Граф называется толстым, если все вершины имеют валентность не менее 3.
Корнем обобщенного n- угольника является путь длины n .
Квартира обобщенного n -угольника — это цикл длины 2 n .
Корневая подгруппа корня — это подгруппа автоморфизмов графа, фиксирующих все вершины, смежные с одной из внутренних вершин корня.
-угольник Муфанг n — это толстый обобщенный n -угольник (с n >2), такой, что корневая подгруппа любого корня действует транзитивно на квартирах, содержащих этот корень.

Зуммер Муфанг 3

Трехугольник Муфанг можно отождествить с графом инцидентности Муфанг проективной плоскости . В этой идентификации точки и линии плоскости соответствуют вершинам здания. Реальные формы групп Ли приводят к примерам трех основных типов трехугольников Муфанга. Существует четыре действительных алгебры с делением : действительные числа, комплексные числа , кватернионы и октонионы размерностей 1,2,4 и 8 соответственно. Тогда проективная плоскость над таким телом дает трехугольник Муфанга.

Эти проективные плоскости соответствуют зданию, прикрепленному к SL ₃ ( R ), SL ₃ ( C ), реальной форме A ₅ и действительной форме E ₆ соответственно.

На первой диаграмме ^{[ нужны разъяснения, какая диаграмма? ]} узлы в кружке представляют 1-пространства и 2-пространства в трехмерном векторном пространстве. На второй схеме ^{[ нужны разъяснения, какая диаграмма? ]} узлы в кружке представляют 1-пространство и 2-пространства в 3-мерном векторном пространстве над кватернионами , которые, в свою очередь, представляют определенные 2-пространства и 4-пространства в 6-мерном комплексном векторном пространстве, как выражено узлами в кружке на рисунке А5 _. диаграмма Четвертый случай — форма E6 _— является исключительным, и его аналог для четырехугольников Муфанга — главная особенность книги Вайса.

Переходя от действительных чисел к произвольному полю, трехугольники Муфанга можно разделить на три случая, как указано выше. Случай разделения на первой диаграмме существует по любому полю. Второй случай распространяется на все ассоциативные некоммутативные алгебры с делением; над вещественными числами они ограничены алгеброй кватернионов, которая имеет степень 2 (и размерность 4), но некоторые поля допускают центральные алгебры с делением других степеней. Третий случай включает в себя «альтернативные» алгебры с делением (которые удовлетворяют ослабленной форме закона ассоциативности) и теорему Рихарда Брука и Эрвина Кляйнфельда. ^{[ 4 ]} показывает, что это алгебры Кэли-Диксона. ^{[ 5 ]} На этом мы завершаем обсуждение трехугольников Муфанга.

Муфанг 4-зуммер

Четырехугольники Муфанг также называют четырехугольниками Муфанг. Классификация 4-угольников Муфанга оказалась труднее всего, и когда Титс и Вайс начали ее писать, появился доселе незамеченный тип, возникший из групп типа F4. Их можно разделить на три класса:

(i) Возникающие из классических групп.
(ii) Те, которые возникают из «смешанных групп» (в которых существуют два несовершенных поля характеристики 2, K и L, причем K2 ⊂ L ⊂ K).
(iii) Возникающие из четырехугольных алгебр.

Здесь есть некоторое перекрытие в том смысле, что некоторые классические группы, возникающие из псевдоквадратичных пространств, могут быть получены из четырехугольных алгебр (которые Вейсс называет специальными), но есть и другие, неспециальные. Наиболее важные из них возникают из алгебраических групп типов E6, E7 и E8. Это k-формы алгебраических групп, принадлежащие следующим диаграммам: Е6 Е7 Е8. E6 существует над действительными числами, а E7 и E8 - нет. Во всех этих случаях Вейсс называет четырехугольные алгебры регулярными, но не специальными. Есть еще один тип, который он называет дефектным, возникающий из групп типа F4. Они самые экзотические из всех — они включают в себя совершенно неразделимые расширения поля в характеристике 2 — и Вайс открыл их только во время совместной работы с Титсом по классификации 4-угольников Муфанг, исследуя странную лакуну, которая не должна была существовать, но существовала.

Классификация 4-угольников Муфанга Титса и Вайса связана с их интересной монографией двояко. Во-первых, использование четырехугольных алгебр упрощает некоторые известные ранее методы. Во-вторых, эта концепция является аналогом алгебр октонионов и квадратичных йордановых алгебр степени 3, которые порождают 3-угольники и 6-угольники Муфанга.

Фактически все исключительные плоскости, четырехугольники и шестиугольники Муфанга, которые не возникают из «смешанных групп» (характеристики 2 для четырехугольников или характеристики 3 для шестиугольников), происходят из октонионов, четырехугольных алгебр или йордановых алгебр .

Муфанг 6-зуммер

Шестиугольники Муфанг также называют шестиугольниками Муфанг. Классификацию шестиугольников Муфанга предложил Титс. ^{[ 6 ]} хотя детали оставались недоказанными до совместной работы с Вайсом над полигонами Муфанг.

Муфанг 8-зуммер

Восьмиугольники Муфанг также называют восьмиугольниками Муфанг. Их классифицировали по Титсу, ^{[ 7 ]} где он показал, что все они возникают из групп Ри типа ²F4 _.

Четырехугольные алгебры

Потенциальное использование четырехугольных алгебр — это анализ двух открытых вопросов. Одна из них — гипотеза Кнезера-Титса. ^{[ 8 ]} это касается полной группы линейных преобразований здания (например, GL _n ), вынесенной подгруппой, порожденной корневыми группами (например, SL _n ).

Гипотеза доказана для всех зданий Муфанга, кроме 6-угольников и 4-угольников типа E8, и в этом случае предполагается, что группа линейных преобразований равна подгруппе, порожденной корневыми группами. Для шестиугольников E8 это можно перефразировать как вопрос о квадратичных йордановых алгебрах, а для четырехугольников E8 его теперь можно перефразировать в терминах четырехугольных алгебр.

Другой открытый вопрос о четырехугольнике E8 касается полей, полных относительно дискретной оценки: существует ли в таких случаях аффинное построение, которое дает четырехугольник как его структуру на бесконечности?

См. также

Примечания и ссылки

^ Титс, Жак ; Вайс, Ричард (2013) [2002]. Полигоны Муфанг . Монографии Спрингера по математике. Спрингер. ISBN 978-3-662-04689-0 .
^ Титс, Жак (1976). «Несуществование определенных, обобщенных многоугольников I, II». Математические изобретения . 36 (1): 275–284. Бибкод : 1976InMat..36..275T . дои : 10.1007/BF01390013 . S2CID 189829929 . 51 (3), (1979) 267–269 дои : 10.1007/BF01389919 .
^ Вайс, Ричард (1979). «Несуществование некоторых полигонов Муфанг». Математические изобретения . 51 (3): 261–6. Бибкод : 1979InMat..51..261W . дои : 10.1007/BF01389918 . S2CID 120137397 .
^ Брук, Ричард Х .; Кляйнфельд, Эрвин (1951). «Строение альтернативных тел» . Труды Американского математического общества . 2 (6): 878–890. дои : 10.2307/2031702 . JSTOR 2031702 . МР 0045099 .
^ Кляйнфельд, Эрвин (1951). «Альтернативные тела характеристики 2» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 37 (12): 818–820. Бибкод : 1951ПНАС...37..818К . дои : 10.1073/pnas.37.12.818 . МР 0041834 . ПМЦ 1063478 . ПМИД 16589035 .
^ Титс, Дж. (1976). «Классификация зданий сферического типа и полигонов Муфанг: обзор». Colloquio Internazionale по комбинаторной теории. 2 . стр. 229–246. OCLC 313112178 .
^ Титс, Дж. (1983). «Восьмиугольники Муфанг и группы Ри типа ²F ₄ ". Amer. J. Math. 105 (2): 539–594. doi : 10.2307/2374268 . JSTOR 2374268 .
^ Жак, Жак (1977). «Группы Уайтхеда простых алгебраических групп на поле [по В. П. Платонову и др.]». Семинар Бурбаки 1976/77 Лекции 489–506 . Конспект лекций по математике. Спрингер. стр. 218–236. ISBN 978-3-540-35719-3 .

Дальнейшее чтение

Титс, Жак (1966). «Классификация алгебраических полупростых групп». В Бореле, Арманд; Мостоу, Джордж Д. (ред.). Алгебраические группы и разрывные подгруппы . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 9. Американское математическое общество. стр. 33–62. ISBN 0821814095 . OCLC 869830680 .

[1] Титс, Жак ; Вайс, Ричард (2013) [2002]. Полигоны Муфанг . Монографии Спрингера по математике. Спрингер. ISBN 978-3-662-04689-0 .

[2] Титс, Жак (1976). «Несуществование определенных, обобщенных многоугольников I, II». Математические изобретения . 36 (1): 275–284. Бибкод : 1976InMat..36..275T . дои : 10.1007/BF01390013 . S2CID 189829929 . 51 (3), (1979) 267–269 дои : 10.1007/BF01389919 .

[3] Вайс, Ричард (1979). «Несуществование некоторых полигонов Муфанг». Математические изобретения . 51 (3): 261–6. Бибкод : 1979InMat..51..261W . дои : 10.1007/BF01389918 . S2CID 120137397 .

[4] Брук, Ричард Х .; Кляйнфельд, Эрвин (1951). «Строение альтернативных тел» . Труды Американского математического общества . 2 (6): 878–890. дои : 10.2307/2031702 . JSTOR 2031702 . МР 0045099 .

[5] Кляйнфельд, Эрвин (1951). «Альтернативные тела характеристики 2» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 37 (12): 818–820. Бибкод : 1951ПНАС...37..818К . дои : 10.1073/pnas.37.12.818 . МР 0041834 . ПМЦ 1063478 . ПМИД 16589035 .

[6] Титс, Дж. (1976). «Классификация зданий сферического типа и полигонов Муфанг: обзор». Colloquio Internazionale по комбинаторной теории. 2 . стр. 229–246. OCLC 313112178 .

[7] Титс, Дж. (1983). «Восьмиугольники Муфанг и группы Ри типа ²F ₄ ". Amer. J. Math. 105 (2): 539–594. doi : 10.2307/2374268 . JSTOR 2374268 .

[8] Жак, Жак (1977). «Группы Уайтхеда простых алгебраических групп на поле [по В. П. Платонову и др.]». Семинар Бурбаки 1976/77 Лекции 489–506 . Конспект лекций по математике. Спрингер. стр. 218–236. ISBN 978-3-540-35719-3 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]