Симметрии пространства-времени

Симметрии пространства-времени — это особенности пространства-времени , которые можно описать как проявление некоторой формы симметрии . Роль симметрии в физике важна для упрощения решения многих задач. Пространственно-временные симметрии используются при изучении точных решений уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности . Пространственно-временные симметрии отличаются от внутренних симметрий .

Физическая мотивация

Физические проблемы часто исследуются и решаются путем наблюдения за особенностями, имеющими ту или иную форму симметрии. Например, в решении Шварцшильда роль сферической симметрии важна при выводе решения Шварцшильда и выводе физических последствий этой симметрии (таких как отсутствие гравитационного излучения в сферически пульсирующей звезде). В космологических проблемах симметрия играет роль в космологическом принципе , который ограничивает тип вселенных, которые согласуются с крупномасштабными наблюдениями (например, метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW) ). Симметрии обычно требуют некоторой формы сохранения свойств, наиболее важные из которых в общей теории относительности включают следующие:

сохранение геодезических координат пространства-времени
сохраняя метрический тензор
сохраняя тензор кривизны

Эти и другие симметрии будут рассмотрены ниже более подробно. Это свойство сохранения, которым обычно обладают симметрии (упомянутое выше), можно использовать для обоснования полезного определения самих этих симметрий.

Математическое определение

Строгое определение симметрии в общей теории относительности было дано Холлом (2004). В этом подходе идея состоит в том, чтобы использовать (гладкие) векторные поля которых , диффеоморфизмы локального потока сохраняют некоторые свойства пространства-времени . (Обратите внимание, что в размышлениях следует подчеркнуть, что это диффеоморфизм — преобразование дифференциального элемента . Отсюда следует, что поведение объектов с протяженностью может быть не столь явно симметричным.) Это сохраняющее свойство диффеоморфизмов уточняется следующим образом. . гладкое векторное поле $X$ пространстве-времени $M$ Говорят, что сохраняет гладкий тензор $T$ на $M$ (или $T$ инвариантно относительно X $,$ ), если для каждого гладкого локального потока диффеоморфизма $φt в$ связанного с $X$ , тензоры $T$ и $φ * t (T)$ равны в области $φ t$ . Это утверждение эквивалентно более удобному условию, что Ли тензора производная относительно векторного поля равна нулю: ${\mathcal {L}}_{X}T=0$ на $М.$ Это приводит к тому, что для любых двух точек $p$ и $q$ на $M$ координаты $T$ в системе координат вокруг $p$ равны координатам $T$ в системе координат вокруг $q$ . Симметрия в пространстве-времени — это гладкое векторное поле, диффеоморфизмы локального потока которого сохраняют некоторые (обычно геометрические) особенности пространства-времени. (Геометрическая) особенность может относиться к конкретным тензорам (таким как метрика или тензор энергии-импульса) или к другим аспектам пространства-времени, таким как его геодезическая структура. Векторные поля иногда называют коллинеациями , векторными полями симметрии или просто симметриями . Множество всех векторных полей симметрии на $M$ образует алгебру Ли относительно операции скобки Ли , как видно из тождества: ${\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}({\mathcal {L}}_{Y}T)-{\mathcal {L}}_{Y}({\mathcal {L}}_{X}T)$ термин справа обычно пишется с злоупотреблением обозначениями , как $[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]T.$

Убийственная симметрия

Векторное поле Киллинга является одним из наиболее важных типов симметрий и определяется как гладкое векторное поле $X$ , сохраняющее метрический тензор $g$ : ${\mathcal {L}}_{X}g=0.$

Обычно это записывается в развернутой форме так: $X_{a;b}+X_{b;a}=0.$

Векторные поля Киллинга находят обширные приложения (в том числе в классической механике ) и связаны с законами сохранения .

Гомотетическая симметрия

Гомотетическим векторным полем называется такое, которое удовлетворяет следующим условиям: ${\mathcal {L}}_{X}g=2cg.$ где $c$ — действительная константа. Гомотетические векторные поля находят применение при изучении особенностей общей теории относительности.

Аффинная симметрия

Аффинное векторное поле - это поле, которое удовлетворяет: $({\mathcal {L}}_{X}g)_{ab;c}=0$

Аффинное векторное поле сохраняет геодезические и сохраняет аффинный параметр.

Вышеупомянутые три типа векторных полей являются частными случаями проективных векторных полей , которые сохраняют геодезические без обязательного сохранения аффинного параметра.

Конформная симметрия

Конформное векторное поле - это поле, которое удовлетворяет: ${\mathcal {L}}_{X}g=\phi g$ где $φ$ — гладкая вещественная функция $M.$ на

Симметрия кривизны

Коллинеация кривизны — это векторное поле, сохраняющее тензор Римана : ${\mathcal {L}}_{X}{R^{a}}_{bcd}=0$

где $Р а bcd$ — компоненты тензора Римана. Множество (если условие гладкости опущено , всех гладких коллинеаций кривизны образует алгебру Ли при операции скобки Ли набор всех коллинеаций кривизны не обязательно образует алгебру Ли). Ли обозначается $CC (M)$ и может бесконечномерной быть . Алгебра Каждое аффинное векторное поле представляет собой коллинеацию кривизны.

Симметрия материи

Менее известная форма симметрии касается векторных полей, сохраняющих тензор энергии-импульса. Их по-разному называют коллинеациями материи или симметрией материи и определяются: ${\mathcal {L}}_{X}T=0$ где $T$ — ковариантный тензор энергии-импульса. Здесь можно подчеркнуть тесную связь между геометрией и физикой, поскольку векторное поле $X$ считается сохраняющим определенные физические величины вдоль линий потока $X$ , причем это верно для любых двух наблюдателей. В связи с этим можно показать, что каждое векторное поле Киллинга представляет собой коллинеацию материи (по уравнениям поля Эйнштейна с космологической постоянной или без нее ). Таким образом, при решении ЭФЭ векторное поле, сохраняющее метрику, обязательно сохраняет соответствующий тензор энергии-импульса . Когда тензор энергии-импульса представляет собой идеальную жидкость, каждое векторное поле Киллинга сохраняет плотность энергии, давление и векторное поле потока жидкости. Когда тензор энергии-импульса представляет собой электромагнитное поле, векторное поле Киллинга не обязательно сохраняет электрическое и магнитное поля.

Локальные и глобальные симметрии

Приложения

Как упоминалось в начале этой статьи, основное применение этих симметрий встречается в общей теории относительности, где решения уравнений Эйнштейна могут быть классифицированы путем наложения некоторых определенных симметрий на пространство-время.

Классификации пространства-времени

Классификация решений EFE составляет большую часть исследований общей теории относительности. Различные подходы к классификации пространства-времени, в том числе использование классификации Сегре тензора энергии-импульса или классификации Петрова широко тензора Вейля, изучались многими исследователями, в первую очередь Стефани и др. (2003). Они также классифицируют пространство-время, используя векторные поля симметрии (особенно симметрии Киллинга и гомотетические симметрии). Например, векторные поля Киллинга могут использоваться для классификации пространства-времени, поскольку существует ограничение на количество глобальных гладких векторных полей Киллинга, которыми может обладать пространство-время (максимум - десять для четырехмерного пространства-времени). Вообще говоря, чем выше размерность алгебры векторных полей симметрии в пространстве-времени, тем большую симметрию допускает пространство-время. Например, решение Шварцшильда имеет алгебру Киллинга размерности четыре (три пространственных векторных поля вращения и сдвиг во времени), тогда как метрика Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера (исключая статический подслучай Эйнштейна) имеет алгебру Киллинга размерности шесть (три перемещения и три вращения). Статическая метрика Эйнштейна имеет алгебру Киллинга семимерности (предыдущие шесть плюс сдвиг времени).

Предположение о пространстве-времени, допускающем определенное векторное поле симметрии, может накладывать ограничения на пространство-время.

Список симметричных пространств-временей

Следующие пространства-времени имеют свои отдельные статьи в Википедии:

См. также

Выводы преобразований Лоренца.
Поле (физика) - Физические величины, принимающие значения в каждой точке пространства и времени.
Тензор Киллинга - симметричное (0,2)-тензорное поле T такое, что полная симметризация его ковариантной производной равна нулю.
Теорема Нётер - Утверждение, связывающее дифференцируемые симметрии с сохраняющимися величинами.
Разложение Риччи
Симметрия в физике — особенность системы, которая сохраняется при некоторых преобразованиях.
Симметрия в квантовой механике - свойства, лежащие в основе современной физики
Группы Ли — группа, которая также является дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.
Группа Лоренца - группа Ли преобразований Лоренца.
Группа Пуанкаре - Группа плоских симметрий пространства-времени.
Группа Бонди – Мецнера – Сакса - асимптотическая группа симметрии общей теории относительности.
Группа Элерса – Физическая концепция
Группа запахов

Ссылки

Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные конспекты лекций по физике) . Сингапур: World Scientific. ISBN 981-02-1051-5 . . См. раздел 10.1 для определения симметрий.
Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7 .
Шютц, Бернард (1980). Геометрические методы математической физики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29887-3 . . См. главу 3 о свойствах производной Ли и раздел 3.10 для определения инвариантности.