Тензор убийства

В математике тензор Киллинга или тензорное поле Киллинга является обобщением вектора Киллинга для симметричных тензорных полей , а не только для векторных полей . Это концепция римановой и псевдоримановой геометрии , которая в основном используется в общей теории относительности . Тензоры Киллинга удовлетворяют уравнению, аналогичному уравнению Киллинга для векторов Киллинга. Подобно векторам Киллинга, каждый тензор Киллинга соответствует величине, которая сохраняется вдоль геодезических . Однако в отличие от векторов Киллинга, которые связаны с симметриями ( изометриями ) многообразия , тензоры Киллинга обычно лишены такой прямой геометрической интерпретации. Тензоры Киллинга названы в честь Вильгельма Киллинга .

Определение и свойства

В следующем определении круглые скобки вокруг тензорных индексов обозначают симметризацию. Например:

T_{(\alpha \beta \gamma )}={\frac {1}{6}}(T_{\alpha \beta \gamma }+T_{\alpha \gamma \beta }+T_{\beta \alpha \gamma }+T_{\beta \gamma \alpha }+T_{\gamma \alpha \beta }+T_{\gamma \beta \alpha })

Определение

Тензор Киллинга — это тензорное поле $K$ (некоторого порядка m ) на (псевдо)-римановом многообразии , которое является симметричным (т. е. $K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=K_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m})}$ ) и удовлетворяет: ^[1]^[2]

\nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=0

Это уравнение является обобщением уравнения Киллинга для векторов Киллинга :

\nabla _{(\alpha }K_{\beta )}={\frac {1}{2}}(\nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha })=0

Характеристики

Векторы Киллинга являются частным случаем тензоров Киллинга. Другим простым примером тензора Киллинга является сам метрический тензор . Линейная комбинация тензоров Киллинга является тензором Киллинга. Симметричное произведение тензоров Киллинга также является тензором Киллинга; то есть, если $S_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{l}}$ и $T_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}$ тензоры Килла, то $S_{(\alpha _{1}\cdots \alpha _{l}}T_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}$ также является тензором Киллинга. ^[1]

Каждому тензору Киллинга соответствует константа движения на геодезических . Точнее, для каждой геодезической с касательным вектором $u^{\alpha }$ , количество $K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}u^{\beta _{1}}\cdots u^{\beta _{m}}$ постоянна вдоль геодезической. ^[1]^[2]

Примеры

Поскольку тензоры Киллинга являются обобщением векторов Киллинга, примеры из векторного поля Киллинга § Примеры также являются примерами тензоров Киллинга. Следующие примеры посвящены тензорам Киллинга, а не просто полученным из векторов Киллинга.

Метрика FLRW

Метрика Фридмана -Леметра-Робертсона-Уокера , широко используемая в космологии , имеет пространственноподобные векторы Киллинга, соответствующие ее пространственной симметрии, в частности вращения вокруг произвольных осей и в плоском случае для $k=1$ переводы вдоль $x$ , $y$ , и $z$ . Он также имеет тензор Киллинга

K_{\mu \nu }=a^{2}(g_{\mu \nu }+U_{\mu }U_{\nu })

где а — масштабный коэффициент , $U^{\mu }=(1,0,0,0)$ — это базисный вектор t- −+++ . о сигнатурах координаты, и используется соглашение ^[3]

Метрика Керра

Метрика Керра , описывающая вращающуюся черную дыру, имеет два независимых вектора Киллинга. Один вектор Киллинга соответствует временной симметрии метрики, а другой — осевой симметрии относительно оси вращения. Кроме того, как показали Уокер и Пенроуз (1970), существует нетривиальный тензор Киллинга порядка 2. ^[4]^[5]^[6] Константа движения, соответствующая этому тензору Киллинга, называется постоянной Картера .

Тензор Киллинга – Яно

Антисимметричный тензор порядка p , $f_{a_{1}a_{2}...a_{p}}$ , является тензором Киллинга–Яно fr:Tenseur de Killing-Yano, если он удовлетворяет уравнению

\nabla _{b}f_{ca_{2}...a_{p}}+\nabla _{c}f_{ba_{2}...a_{p}}=0\,

.

Хотя он также является обобщением вектора Киллинга , он отличается от обычного тензора Киллинга тем, что ковариантная производная сжимается только с одним тензорным индексом.

Конформный тензор Киллинга

Конформные тензоры Киллинга являются обобщением тензоров Киллинга и конформных векторов Киллинга . Конформный тензор Киллинга — это тензорное поле $K$ (некоторого порядка m ), который симметричен и удовлетворяет условию ^[4]

\nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=k_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m-1}}g_{\beta _{m}\alpha )}

для некоторого симметричного тензорного поля $k$ .Это обобщает уравнение для конформных векторов Киллинга, которое утверждает, что

\nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha }=\lambda g_{\alpha \beta }

для некоторого скалярного поля $\lambda$ .

Каждому конформному тензору Киллинга соответствует константа движения по нулевой геодезической . Точнее, для каждой нулевой геодезической с касательным вектором $v^{\alpha }$ , количество $K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}v^{\beta _{1}}\cdots v^{\beta _{m}}$ постоянна вдоль геодезической. ^[4]

Свойство быть конформным тензором Киллинга сохраняется при конформных преобразованиях в следующем смысле. Если $K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}$ является конформным тензором Киллинга относительно метрики $g_{\alpha \beta }$ , затем ${\tilde {K}}_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=u^{m}K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}$ является конформным тензором Киллинга относительно конформно эквивалентной метрики ${\tilde {g}}_{\alpha \beta }=ug_{\alpha \beta }$ , для всех положительных значений $u$ . ^[7]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Кэрролл 2003 , стр. 136–137.
^ Jump up to: ^а ^б Уолд 1984 , с. 444
^ Кэрролл 2003 , с. 344
^ Jump up to: ^а ^б ^с Уокер, Мартин; Пенроуз, Роджер (1970), «О первых квадратичных интегралах геодезических уравнений для пространства-времени типа {22}» (PDF) , Communications in Mathematical Physics , 18 (4): 265–274, doi : 10.1007/BF01649445 , S2CID 123355453
^ Кэрролл 2003 , стр. 262–263.
^ Лес 1984 , с. 321
^ Даирбеков Н.С.; Шарафутдинов, В.А. (2011), «О конформных симметричных тензорных полях Киллинга на римановых многообразиях», Сибирские успехи в математике , 21 : 1–41, arXiv : 1103.3637 , doi : 10.3103/S1055134411010019

Кэрролл, Шон (2003), Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности , ISBN 0-8053-8732-3
Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Чикаго: University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2

[carroll-definition-1] Jump up to: ^а ^б ^с Кэрролл 2003 , стр. 136–137.

[wald-definition-2] Jump up to: ^а ^б Уолд 1984 , с. 444

[3] Кэрролл 2003 , с. 344

[walker-penrose-1970-4] Jump up to: ^а ^б ^с Уокер, Мартин; Пенроуз, Роджер (1970), «О первых квадратичных интегралах геодезических уравнений для пространства-времени типа {22}» (PDF) , Communications in Mathematical Physics , 18 (4): 265–274, doi : 10.1007/BF01649445 , S2CID 123355453

[5] Кэрролл 2003 , стр. 262–263.

[6] Лес 1984 , с. 321

[7] Даирбеков Н.С.; Шарафутдинов, В.А. (2011), «О конформных симметричных тензорных полях Киллинга на римановых многообразиях», Сибирские успехи в математике , 21 : 1–41, arXiv : 1103.3637 , doi : 10.3103/S1055134411010019

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]