Убийственное векторное поле

В математике векторное поле Киллинга (часто называемое полем Киллинга ), названное в честь Вильгельма Киллинга , — это векторное поле на римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии ), сохраняющее метрику . Поля убийства — это малые генераторы изометрий бесконечно ; т. е. потоки порождаемые полями Киллинга, являются непрерывными изометриями многообразия , . Проще говоря, поток порождает симметрию в том смысле, что перемещение каждой точки объекта на одинаковое расстояние в направлении вектора Киллинга не искажает расстояния до объекта.

Определение

В частности, векторное поле $X$ является полем Киллинга, если производная Ли по $X$ метрики $g$ исчезает: ^[1]

{\mathcal {L}}_{X}g=0\,.

С точки зрения связи Леви-Чивита , это

g\left(\nabla _{Y}X,Z\right)+g\left(Y,\nabla _{Z}X\right)=0\,

для всех векторов $Y$ и $Z$ . В локальных координатах это равно уравнению Киллинга ^[2]

\nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.

Это условие выражается в ковариантной форме. Следовательно, достаточно установить его в предпочтительной системе координат, чтобы он сохранялся во всех системах координат.

Примеры

Поле смерти на круге

Векторное поле на окружности, направленное против часовой стрелки и имеющее одинаковую длину в каждой точке, является векторным полем Киллинга, поскольку перемещение каждой точки окружности вдоль этого векторного поля просто вращает окружность.

Поля смерти на гиперболической плоскости

Игрушечный пример векторного поля Киллинга находится в верхней полуплоскости. $M=\mathbb {R} _{y>0}^{2}$ оснащен метрикой Пуанкаре $g=y^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)$ . Пара $(M,g)$ обычно называется гиперболической плоскостью и имеет векторное поле Киллинга. $\partial _{x}$ (с использованием стандартных координат). Это должно быть интуитивно понятно, поскольку ковариантная производная $\nabla _{\partial _{x}}g$ переносит метрику по интегральной кривой, созданной векторным полем (изображение которого параллельно оси x).

Кроме того, показатель не зависит от $x$ из чего мы можем сразу заключить, что $\partial _{x}$ — это поле Killing, использующее один из результатов, приведенных ниже в этой статье.

Группа изометрий модели верхней полуплоскости (точнее, компонента, связанного с единицей) равна ${\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ (см. модель полуплоскости Пуанкаре ), а два других поля Киллинга могут быть получены из рассмотрения действия генераторов ${\text{SL}}(2,\mathbb {R} )$ в верхней полуплоскости. Два других генерирующих поля Киллинга — это дилатация. $D=x\partial _{x}+y\partial _{y}$ и специальное конформное преобразование $K=(x^{2}-y^{2})\partial _{x}+2xy\partial _{y}$ .

Поля смерти на 2-сфере

Поля смерти двухсферы $S^{2}$ или, в более общем смысле, $n$ -сфера $S^{n}$ должно быть очевидно из обычной интуиции: сферы, обладающие вращательной симметрией, должны обладать полями Киллинга, которые порождают вращения вокруг любой оси. То есть мы ожидаем $S^{2}$ иметь симметрию под действием группы трехмерного вращения SO(3) . То есть, используя априорные знания о том, что сферы могут быть вложены в евклидово пространство, сразу можно угадать форму полей Киллинга. В целом это невозможно, поэтому этот пример имеет очень ограниченную образовательную ценность.

Обычная карта для 2-сферы, встроенная в $\mathbb {R} ^{3}$ в декартовых координатах $(x,y,z)$ дается

x=\sin \theta \cos \phi ,\qquad y=\sin \theta \sin \phi ,\qquad z=\cos \theta

так что $\theta$ параметризует высоту и $\phi$ параметризует вращение вокруг $z$ -ось.

Откат стандартной декартовой метрики $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ дает стандартную метрику на сфере,

ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}

.

Интуитивно понятно, что вращение вокруг любой оси должно быть изометрией. На этой диаграмме векторное поле, генерирующее вращение вокруг $z$ -ось:

{\frac {\partial }{\partial \phi }}.

В этих координатах все компоненты метрики не зависят от $\phi$ , что показывает, что $\partial _{\phi }$ это поле Смерти.

Векторное поле

{\frac {\partial }{\partial \theta }}

это не поле Смерти; координата $\theta$ явно появляется в метрике. Поток, создаваемый $\partial _{\theta }$ идет с севера на юг; точки на северном полюсе расходятся, а на южном сходятся. Любое преобразование, которое перемещает точки ближе или дальше друг от друга, не может быть изометрией; поэтому генератором такого движения не может быть поле Киллинга.

Генератор $\partial _{\phi }$ признается вращением вокруг $z$ -ось

Z=x\partial _{y}-y\partial _{x}=\sin ^{2}\theta \,\partial _{\phi }

Второй генератор, для вращения вокруг $x$ -ось, есть

X=z\partial _{y}-y\partial _{z}

Третий генератор, для вращений вокруг $y$ -ось, есть

Y=z\partial _{x}-x\partial _{z}

Алгебра, заданная линейными комбинациями этих трех образующих, замыкается и подчиняется соотношениям

[X,Y]=Z\quad [Y,Z]=X\quad [Z,X]=Y.

Это алгебра Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ .

Выражение $X$ и $Y$ в терминах сферических координат дает

X=\sin ^{2}\theta \,(\sin \phi \partial _{\theta }+\cot \theta \cos \phi \partial _{\phi })

и

Y=\sin ^{2}\theta \,(\cos \phi \partial _{\theta }-\cot \theta \sin \phi \partial _{\phi })

То, что эти три векторных поля на самом деле являются полями Киллинга, можно определить двумя разными способами. Один из них — явное вычисление: просто подставьте явные выражения для ${\mathcal {L}}_{X}g$ и пыхчу, чтобы показать это ${\mathcal {L}}_{X}g={\mathcal {L}}_{Y}g={\mathcal {L}}_{Z}g=0.$ Это полезное упражнение. Альтернативно можно признать $X,Y$ и $Z$ являются генераторами изометрий в евклидовом пространстве, а поскольку метрика на сфере наследуется от метрики в евклидовом пространстве, то и изометрии наследуются.

Эти три поля Киллинга образуют полный набор образующих алгебры. Они не уникальны: любая линейная комбинация этих трех полей по-прежнему является полем Киллинга.

В этом примере следует отметить несколько тонких моментов.

Эти три поля не являются глобально отличными от нуля; действительно, поле $Z$ исчезает на северном и южном полюсах; так же, $X$ и $Y$ исчезают в антиподах на экваторе. Один из способов понять это — это следствие « теоремы о волосатом шаре ». Это свойство проплешин является общим свойством симметричных пространств в разложении Картана . В каждой точке многообразия алгебра полей Киллинга естественным образом распадается на две части: одна часть касается многообразия, а другая часть обращается в нуль (в той точке, где происходит разложение).
Три поля $X,Y$ и $Z$ не имеют единичной длины. Нормализовать можно, разделив на общий коэффициент $\sin ^{2}\theta$ присутствует во всех трех выражениях. Однако в этом случае поля уже не являются гладкими: например, $\partial _{\phi }=X/\sin ^{2}\theta$ сингулярна (недифференцируема) на северном и южном полюсах.
Эти три поля не являются поточечно ортогональными; на самом деле они не могут быть, поскольку в любой данной точке касательная плоскость двумерна, а векторов три. Для любой точки сферы существует некоторая нетривиальная линейная комбинация $X,Y$ и $Z$ который исчезает: эти три вектора представляют собой сверхполный базис двумерной касательной плоскости в этой точке.
Априорное знание того, что сферы могут быть встроены в евклидово пространство и, таким образом , наследовать метрику от этого вложения, приводит к сбивчивому интуитивному пониманию правильного количества полей Киллинга, которое можно было бы ожидать. Без такого вложения интуиция могла бы подсказать, что число линейно независимых образующих не будет больше размерности касательного расслоения. Ведь, фиксируя любую точку многообразия, можно двигаться только в тех направлениях, которые являются касательными. Размерность касательного расслоения к 2-сфере равна двум, и тем не менее найдены три поля Киллинга. Опять же, этот «сюрприз» является общим свойством симметричных пространств.

Поля смерти в пространстве Минковского

Поля Киллинга пространства Минковского — это три пространственных перемещения, временные перемещения, три генератора вращений ( маленькая группа ) и три генератора бустов . Это

Переводы во времени и пространстве
$\partial _{t}~,\qquad \partial _{x}~,\qquad \partial _{y}~,\qquad \partial _{z}~;$
Векторные поля, генерирующие три вращения, часто называемые J- генераторами.
$-y\partial _{x}+x\partial _{y}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}~;$
Векторные поля, генерирующие три повышения, K- генераторы,
$x\partial _{t}+t\partial _{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}.$

Повышение и вращение порождают группу Лоренца . Вместе с перемещениями пространства-времени это образует алгебру Ли для группы Пуанкаре .

Поля смерти в плоском пространстве

Здесь мы выводим поля Киллинга для общего плоского пространства.Из уравнения Киллинга и тождества Риччи для ковектора $K_{a}$ ,

\nabla _{a}\nabla _{b}K_{c}-\nabla _{b}\nabla _{a}K_{c}=R^{d}{}_{cab}K_{d}

(с использованием абстрактной индексной записи ), где $R^{a}{}_{bcd}$ — тензор кривизны Римана , для поля Киллинга можно доказать следующее тождество $X^{a}$ :

\nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{d}{}_{acb}X_{d}.

Когда базовый коллектор $M$ является плоским пространством, то есть евклидовым пространством или псевдоевклидовым пространством (как и пространство Минковского), мы можем выбрать глобальные плоские координаты так, чтобы в этих координатах связь Леви-Чивита и, следовательно, кривизна Римана исчезали повсюду, давая

\partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }=0.

Интегрирование и наложение уравнения Киллинга позволяет нам написать общее решение задачи $X_{\rho }$ как

X^{\rho }=\omega ^{\rho \sigma }x_{\sigma }+c^{\rho }

где $\omega ^{\mu \nu }=-\omega ^{\nu \mu }$ является антисимметричным. Приняв соответствующие значения $\omega ^{\mu \nu }$ и $c^{\rho }$ , мы получаем базис обобщенной алгебры Пуанкаре изометрий плоского пространства:

M_{\mu \nu }=x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu }

P_{\rho }=\partial _{\rho }.

Они генерируют псевдовращения (вращения и повышения) и перемещения соответственно. Интуитивно они сохраняют (псевдо)-метрику в каждой точке.

Для (псевдо)евклидова пространства тотальной размерности всего существует $n(n+1)/2$ генераторы, делающие плоское пространство максимально симметричным. Это число является общим для максимально симметричных пространств. Максимально симметричные пространства можно рассматривать как подмногообразия плоского пространства, возникающие как поверхности постоянного собственного расстояния.

\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p,q}:\eta (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\pm {\frac {1}{\kappa ^{2}}}\}

которые имеют O( p , q ) симметрию . Если подмногообразие имеет размерность $n$ , эта группа симметрий имеет ожидаемую размерность (как группа Ли ).

Эвристически мы можем вывести размерность алгебры поля Киллинга. Рассмотрение уравнения Киллинга $\nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0$ вместе с личностью $\nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{c}{}_{bad}X_{c}.$ как систему дифференциальных уравнений второго порядка для $X_{a}$ , мы можем определить значение $X_{a}$ в любой точке при заданных исходных данных в точке $p$ . Исходные данные указывают $X_{a}(p)$ и $\nabla _{a}X_{b}(p)$ , но уравнение Киллинга предполагает, что ковариантная производная антисимметрична. В общей сложности это $n^{2}-n(n-1)/2=n(n+1)/2$ независимые значения исходных данных.

Конкретные примеры см. ниже в примерах плоского пространства (пространство Минковского) и максимально симметричных пространств (сфера, гиперболическое пространство).

Поля смерти в общей теории относительности

Поля Киллинга используются для обсуждения изометрий в общей теории относительности (в которой геометрия пространства-времени , искаженная гравитационными полями , рассматривается как 4-мерное псевдориманово многообразие). В статической конфигурации, в которой ничего не меняется со временем, вектор времени будет вектором Киллинга, и, таким образом, поле Киллинга будет указывать направление поступательного движения во времени. Например, метрика Шварцшильда имеет четыре поля Киллинга: метрика не зависит от $t$ , следовательно $\partial _{t}$ это времяподобное поле Смерти. Остальные три — это три генератора вращений, о которых говорилось выше. Метрика Керра для вращающейся черной дыры имеет только два поля Киллинга: времяподобное поле и поле, генерирующее вращения вокруг оси вращения черной дыры.

Пространство де Ситтера и антидеситтеровское пространство являются максимально симметричными пространствами с $n$ -мерные версии каждого обладающего ${\frac {n(n+1)}{2}}$ Поля смерти.

Поле убийства постоянной координаты

Если метрические коэффициенты $g_{\mu \nu }\,$ в некоторой координатной основе $dx^{a}\,$ не зависят от одной из координат $x^{\kappa }\,$ , затем $K^{\mu }=\delta _{\kappa }^{\mu }\,$ – вектор Киллинга, где $\delta _{\kappa }^{\mu }\,$ это дельта Кронекера . ^[3]

Чтобы доказать это, предположим $g_{\mu \nu },_{0}=0\,$ . Затем $K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }\,$ и $K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}\,$

Теперь давайте посмотрим на условие убийства

K_{\mu ;\nu }+K_{\nu ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}\,

и из $g_{\rho 0}g^{\rho \sigma }=\delta _{0}^{\sigma }\,$ . Условие убийства становится

g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-(g_{0\mu ,\nu }+g_{0\nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,0})=0\,

то есть $g_{\mu \nu ,0}=0$ , что верно.

Физический смысл, например, состоит в том, что, если ни один из метрических коэффициентов не является функцией времени, многообразие автоматически должно иметь времяподобный вектор Киллинга.
С точки зрения непрофессионала, если объект не трансформируется и не «развивается» во времени (по прошествии времени), течение времени не изменит меры объекта. В такой формулировке результат звучит как тавтология, но надо понимать, что пример сильно надуман: поля уничтожения применимы и к гораздо более сложным и интересным случаям.

И наоборот, если метрика $\mathbf {g}$ допускает поле убийства $X^{a}$ , то можно построить координаты, для которых $\partial _{0}g_{\mu \nu }=0$ . Эти координаты строятся путем взятия гиперповерхности $\Sigma$ такой, что $X^{a}$ нигде не касается $\Sigma$ . Возьмите координаты $x^{i}$ на $\Sigma$ , затем определите локальные координаты $(t,x^{i})$ где $t$ обозначает параметр вдоль интегральной кривой $X^{a}$ на базе $(x^{i})$ на $\Sigma$ . В этих координатах производная Ли сводится к координатной производной, т.е.

{\mathcal {L}}_{X}g_{\mu \nu }=\partial _{0}g_{\mu \nu }

и по определению поля Киллинга левая часть обращается в нуль.

Характеристики

Поле Киллинга однозначно определяется вектором в некоторой точке и его градиентом (т.е. всеми ковариантными производными поля в этой точке).

Скобка Ли двух полей Киллинга по-прежнему остается полем Киллинга. Таким образом, поля Киллинга на многообразии M образуют подалгебру Ли векторных полей на M . Это алгебра Ли группы изометрий многообразия, M полно если . Риманово многообразие с транзитивной группой изометрий — однородное пространство .

Для компактных коллекторов

Отрицательная кривизна Риччи означает, что не существует нетривиальных (ненулевых) полей Киллинга.
Неположительная кривизна Риччи означает, что любое поле Киллинга параллельно. т.е. ковариантная производная вдоль любого векторного поля равна тождественному нулю.
Если секционная кривизна положительна, а размерность M четна, поле Киллинга должно иметь ноль.

Ковариантная дивергенция любого векторного поля Киллинга исчезает.

Если $X$ — векторное поле Киллинга и $Y$ — гармоническое векторное поле , то $g(X,Y)$ является гармонической функцией .

Если $X$ — векторное поле Киллинга и $\omega$ является гармонической p-формой , то ${\mathcal {L}}_{X}\omega =0\,.$

Геодезика

Каждому вектору Киллинга соответствует величина, сохраняющаяся вдоль геодезических . Эта сохраняющаяся величина представляет собой метрическое произведение вектора Киллинга и вектора геодезического касательного. Вдоль аффинно параметризованной геодезической с касательным вектором $U^{a}$ тогда задан вектор Киллинга $X_{b}$ , количество $U^{b}X_{b}$ сохраняется:

U^{a}\nabla _{a}(U^{b}X_{b})=0

Это помогает аналитически изучать движения в пространстве-времени с симметрией. ^[4]

Тензор энергии-напряжения

Учитывая сохраняющийся симметричный тензор $T^{ab}$ , то есть удовлетворяющий $T^{ab}=T^{ba}$ и $\nabla _{a}T^{ab}=0$ , которые являются свойствами, типичными для тензора энергии-импульса , и вектора Киллинга $X_{b}$ , мы можем построить сохраняющуюся величину $J^{a}:=T^{ab}X_{b}$ удовлетворяющий

\nabla _{a}J^{a}=0.

Разложение Картана

Как отмечалось выше, скобка Ли двух полей Киллинга по-прежнему остается полем Киллинга. Поля Киллинга на многообразии $M$ таким образом образуем подалгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ всех векторных полей на $M.$ Выбор точки $p\in M~,$ алгебра ${\mathfrak {g}}$ можно разбить на две части:

{\mathfrak {h}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X(p)=0\}

и

{\mathfrak {m}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:\nabla X(p)=0\}

где $\nabla$ является ковариантной производной . Эти две части тривиально пересекаются, но, как правило, не разделяются. ${\mathfrak {g}}$ . Например, если $M$ — риманово однородное пространство, имеем ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}$ тогда и только тогда, когда $M$ является римановым симметрическим пространством. ^[5]

Интуитивно понятно, что изометрии $M$ локально определить подмногообразие $N$ всего пространства, а поля Киллинга показывают, как «скользить» по этому подмногообразию. Они охватывают касательное пространство этого подмногообразия. Касательное пространство $T_{p}N$ должна иметь ту же размерность, что и изометрии, эффективно действующие в этой точке. То есть, человек ожидает $T_{p}N\cong {\mathfrak {m}}~.$ Однако в общем случае количество полей Киллинга больше, чем размерность этого касательного пространства. Как такое может быть? Ответ в том, что «лишние» поля Киллинга избыточны. Взятые все вместе, поля обеспечивают сверхполную основу для касательного пространства в любой конкретной выбранной точке; линейные комбинации могут исчезать в этой конкретной точке. Это было видно на примере Полей Смерти на 2-сфере: имеется 3 Поля Смерти; в любой данной точке два из них охватывают касательное пространство в этой точке, а третий представляет собой линейную комбинацию двух других. Выбор любых двух определений ${\mathfrak {m}};$ остальные вырожденные линейные комбинации определяют ортогональное пространство ${\mathfrak {h}}.$

Картановская инволюция

Инволюция Картана определяется как отражение или изменение направления геодезической. Его дифференциал меняет направление касательных к геодезической. Это линейный оператор нормы один; он имеет два инвариантных подпространства с собственным значением +1 и -1. Эти два подпространства соответствуют ${\mathfrak {p}}$ и ${\mathfrak {m}},$ соответственно.

Это можно уточнить. Исправление точки $p\in M$ рассмотрим геодезическую $\gamma :\mathbb {R} \to M$ проходя через $p$ , с $\gamma (0)=p~.$ Инволюция $\sigma _{p}$ определяется как

\sigma _{p}(\gamma (\lambda ))=\gamma (-\lambda )

Эта карта представляет собой инволюцию, в том смысле, что $\sigma _{p}^{2}=1~.$ Если ограничиться геодезическими вдоль полей Киллинга, это также будет изометрия. Он определяется однозначно.

Позволять $G$ — группа изометрий, порожденных полями Киллинга. Функция $s_{p}:G\to G$ определяется

s_{p}(g)=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}^{-1}

является гомоморфизмом $G$ . Это бесконечно малое $\theta _{p}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ является

\theta _{p}(X)=\left.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}\left(e^{\lambda X}\right)\right|_{\lambda =0}

Инволюция Картана является гомоморфизмом алгебры Ли, в том, что

\theta _{p}[X,Y]=\left[\theta _{p}X,\theta _{p}Y\right]

для всех $X,Y\in {\mathfrak {g}}~.$ Подпространство ${\mathfrak {m}}$ имеет нечетную четность при инволюции Картана , а ${\mathfrak {h}}$ имеет четный паритет. То есть, обозначая инволюцию Картана в точке $p\in M$ как $\theta _{p}$ у одного есть

\left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {m}}=-Id

и

\left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {h}}=+Id

где $Id$ это карта идентичности. Отсюда следует, что подпространство ${\mathfrak {h}}$ является подалгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ , в этом $[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}~.$ Поскольку это подпространства с четной и нечетной четностью, скобки Ли расщепляются, так что $[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}$ и $[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}~.$

Приведенное выше разложение справедливо во всех точках $p\in M$ для симметричного пространства $M$ ; доказательства можно найти в Йосте. ^[6] Они также справедливы и в более общих условиях, но не обязательно во всех точках многообразия. ^{[ нужна ссылка ]}

Для частного случая симметричного пространства явно имеет место следующее: $T_{p}M\cong {\mathfrak {m}};$ то есть поля Киллинга охватывают все касательное пространство симметричного пространства. Эквивалентно, тензор кривизны ковариантно постоянен в локально симметричных пространствах, поэтому они локально распараллеливаемы; это теорема Картана-Амброуза-Хикса .

Обобщения

Векторные поля Киллинга можно обобщить до конформных векторных полей Киллинга, определяемых формулой ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,$ для некоторого скаляра $\lambda .$ Производные однопараметрических семейств конформных отображений являются конформными полями Киллинга.
Киллинга Тензорные поля — это симметричные тензорные поля T такие, что бесследовая часть симметризации $\nabla T\,$ исчезает. Примеры многообразий с тензорами Киллинга включают вращающуюся черную дыру и космологию FRW . ^[7]
Векторные поля Киллинга также можно определить на любом многообразии M (возможно, без метрики), если на нем группу Ли G. взять любую действующую вместо группы изометрий ^[8] В этом более широком смысле векторное поле Киллинга представляет собой продолжение правоинвариантного векторного поля на G посредством группового действия. Если действие группы эффективно, то пространство векторных полей Киллинга изоморфно алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ Г.

См. также

Ссылки

^ Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2 .
^ Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-000423-4 . . См. главы 3, 9.
^ Миснер, Торн, Уилер (1973). Гравитация . WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 133–139 . ISBN 9780805387322 .
^ Олмос, Карлос; Реджани, Сильвио; Тамару, Хироши (2014). Индекс симметрии компактных естественно редуктивных пространств . Математика. З. 277 , 611–628. DOI 10.1007/s00209-013-1268-0
^ Юрген Йост, (2002) «Римманова геометрия и геометрический анализ» (третье издание) Springer. ( См. раздел 5.2, стр. 241–251. )
^ Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 263 , 344. ISBN. 9780805387322 .
^ Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4

[1] Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2 .

[2] Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (второе изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-000423-4 . . См. главы 3, 9.

[3] Миснер, Торн, Уилер (1973). Гравитация . WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[4] Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 133–139 . ISBN 9780805387322 .

[5] Олмос, Карлос; Реджани, Сильвио; Тамару, Хироши (2014). Индекс симметрии компактных естественно редуктивных пространств . Математика. З. 277 , 611–628. DOI 10.1007/s00209-013-1268-0

[6] Юрген Йост, (2002) «Римманова геометрия и геометрический анализ» (третье издание) Springer. ( См. раздел 5.2, стр. 241–251. )

[7] Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Эддисон Уэсли. стр. 263 , 344. ISBN. 9780805387322 .

[8] Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]