Поток (математика)

Течение в фазовом пространстве, заданное дифференциальным уравнением маятника . По горизонтальной оси — положение маятника, по вертикальной — его скорость.

В математике поток . формализует представление о движении частиц в жидкости Потоки широко распространены в науке, включая инженерию и физику . Понятие потока является основой изучения обыкновенных дифференциальных уравнений . Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек во времени. Более формально поток — это групповое действие действительных чисел на множестве .

Идея векторного потока , то есть потока, определяемого векторным полем , встречается в областях дифференциальной топологии , римановой геометрии и групп Ли . Конкретные примеры векторных потоков включают геодезический поток , гамильтонов поток , поток Риччи , поток средней кривизны и потоки Аносова . Потоки могут быть также определены для систем случайных величин и случайных процессов и встречаются при изучении эргодических динамических систем . Самым знаменитым из них, пожалуй, является поток Бернулли .

Формальное определение

Поток чисел множестве $X$ это групповое действие аддитивной группы действительных — на $X.$ на Более явно, поток — это отображение

\varphi :X\times \mathbb {R} \to X

такой, что для всех $\in X и$ всех действительных чисел $s$ и $t$ x

{\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}

Принято писать $φ т (x)$ вместо $φ (x, t)$ , так что приведенные выше уравнения можно выразить как $\varphi ^{0}={\text{Id}}$ ( функция тождества ) и $\varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}$ (групповой закон). Тогда для всех ⁠ $t\in \mathbb {R} ,$ ⁠ отображение ⁠ $\varphi ^{t}:X\to X$ ⁠ — биекция с обратной ⁠ $\varphi ^{-t}:X\to X.$ ⁠ Это следует из приведенного выше определения, и действительный параметр $t$ можно принять как обобщенную функциональную степень , как в итерации функции .

Обычно требуется, чтобы потоки были совместимы со , заданными на множестве $X.$ структурами В частности, если $X$ оснащен топологией , то $φ$ обычно требуется, чтобы была непрерывной . Если $X$ наделено дифференцируемой структурой , то $φ$ обычно требуется, чтобы была дифференцируемой . В этих случаях поток образует однопараметрическую группу гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.

В определенных ситуациях можно также рассмотреть локальный поток s , которые определены только в некотором подмножестве

\mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R}

назвал область φ $.$ течения Так часто бывает с потоками векторных полей .

Альтернативные обозначения

, очень распространено Во многих областях, включая инженерию , физику и изучение дифференциальных уравнений использование обозначений, которые делают поток неявным. Таким образом, $x (t)$ записывается для ⁠ $\varphi ^{t}(x_{0}),$ ⁠ и можно сказать, что переменная $x$ зависит от времени $t$ и начального условия $x = x 0$ . Примеры приведены ниже.

В случае потока векторного поля $V$ на гладком многообразии $X$ поток часто обозначается так, что его генератор делается явным. Например,

\Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).

Орбиты

Учитывая $x$ в $X$ , набор $\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}$ называется орбитой x $$ относительно $φ$ . Неформально ее можно рассматривать как траекторию частицы, которая первоначально находилась в точке $x$ . Если поток порождается векторным полем , то его орбиты являются изображениями его интегральных кривых .

Примеры

Алгебраическое уравнение

Пусть ⁠ $f:\mathbb {R} \to X$ ⁠ — зависящая от времени траектория, которая является биективной функцией. Тогда поток можно определить как

\varphi (x,t)=f(t+f^{-1}(x)).

Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть ⁠ ${\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ⁠ быть (независимым от времени) векторным полеми ⁠ ${\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ ⁠ решение задачи начального значения

{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t)),\qquad {\boldsymbol {x}}(0)={\boldsymbol {x}}_{0}.

Затем $\varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t)={\boldsymbol {x}}(t)$ – поток векторного поля $F$ . Это вполне определенный локальный поток при условии, что векторное поле ⁠ ${\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ⁠ липшицево -непрерывен . Тогда ⁠ $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ ⁠ также непрерывен по Липшицу везде, где он определен. В общем, может быть трудно показать, что поток $φ$ определен глобально, но есть один простой критерий: векторное поле $F$ имеет компактный носитель .

Нестационарные обыкновенные дифференциальные уравнения

В случае нестационарных векторных полей ⁠ ${\boldsymbol {F}}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ ⁠ , обозначается $\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})={\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),$ где ⁠ ${\boldsymbol {x}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ ⁠ — решение

{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}}(t),t),\qquad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x}}_{0}.

Тогда ⁠ $\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})$ ⁠ — зависящий от времени поток $F$ . По приведенному выше определению это не «поток», но его легко можно рассматривать как таковой, переставив его аргументы. А именно, отображение

\varphi \colon (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})

действительно удовлетворяет групповому закону для последней переменной:

{\begin{aligned}\varphi (\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t),s)&=\varphi ((\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0}),s)\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0})),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}(t+t_{0})),s+t+t_{0})\\&=({\boldsymbol {x}}(s+t+t_{0}),s+t+t_{0})\\&=(\varphi ^{s+t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})\\&=\varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),s+t).\end{aligned}}

Потоки векторных полей, зависящие от времени, можно рассматривать как частные случаи независимых от времени с помощью следующего приема. Определять

{\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t+t_{0}),t+t_{0}).

Тогда $y (t)$ является решением «независимой от времени» задачи начального значения.

{\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})

тогда и только тогда, когда $x (t)$ является решением исходной нестационарной задачи начального значения. Более того, тогда отображение $φ$ является в точности потоком «независимого от времени» векторного поля $G$ .

Потоки векторных полей на многообразиях

Потоки нестационарных и нестационарных векторных полей определяются на гладких многообразиях точно так же, как они определены в евклидовом пространстве ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ ⁠ и их локальное поведение такое же. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как «пространства параметров».

Формально: Пусть ${\mathcal {M}}$ быть дифференцируемым многообразием . Позволять $\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}$ обозначим касательное пространство точки $p\in {\mathcal {M}}.$ Позволять $\mathrm {T} {\mathcal {M}}$ быть полным касательным многообразием; то есть, $\mathrm {T} {\mathcal {M}}=\cup _{p\in {\mathcal {M}}}\mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}}.$ Позволять $f:\mathbb {R} \times {\mathcal {M}}\to \mathrm {T} {\mathcal {M}}$ быть зависящим от времени векторным полем на ${\mathcal {M}}$ ; то есть $f$ — гладкое отображение такое, что для каждого $t\in \mathbb {R}$ и $p\in {\mathcal {M}}$ , у одного есть $f(t,p)\in \mathrm {T} _{p}{\mathcal {M}};$ то есть карта $x\mapsto f(t,x)$ отображает каждую точку на элемент собственного касательного пространства. За подходящий интервал $I\subseteq \mathbb {R}$ содержащий 0, поток $f$ является функцией $\phi :I\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}$ это удовлетворяет ${\begin{aligned}\phi (0,x_{0})&=x_{0}&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big |}_{t=t_{0}}\phi (t,x_{0})&=f(t_{0},\phi (t_{0},x_{0}))&\forall x_{0}\in {\mathcal {M}},t_{0}\in I\end{aligned}}$

Решения уравнения теплопроводности

Пусть $Ω$ — подобласть (ограниченная или нет) области ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ ⁠ (где $n$ — целое число). Обозначим через $Γ$ его границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее уравнение теплопроводности на $Ω \times (0, T)$ для $T > 0$ :

{\begin{array}{rcll}u_{t}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}

со следующим начальным условием $u (0) = u 0$ в $Ом$ .

Уравнение $u = 0$ на $Γ \times (0, T)$ соответствует однородному граничному условию Дирихле. Математической постановкой этой проблемы может быть полугрупповой подход. Чтобы использовать этот инструмент, мы вводим неограниченный оператор $∆ D,$ определенный на $L^{2}(\Omega )$ по своему домену

D(\Delta _{D})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )

(см. классические пространства Соболева с $H^{k}(\Omega )=W^{k,2}(\Omega )$ и

H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}

— замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в $Ω$ для $H^{1}(\Omega )-$ норма).

Для любого $v\in D(\Delta _{D})$ , у нас есть

\Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.

С помощью этого оператора уравнение теплопроводности принимает вид $u'(t)=\Delta _{D}u(t)$ и $и (0) = и 0$ . Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, имеет вид (см. обозначения выше)

\varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0},

где $exp(t ∆ D)$ — (аналитическая) полугруппа, порожденная $∆ D$ .

Решения волнового уравнения

Опять же, пусть $Ω$ — подобласть (ограниченная или нет) области ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ ⁠ (где $n$ — целое число). Обозначим через $Г$ его границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее волновое уравнение на $\Omega \times (0,T)$ (при $Т > 0$ ),

{\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T),\end{array}}

со следующим начальным условием $u (0) = u 1,0$ в $Ом$ и $u_{t}(0)=u^{2,0}{\mbox{ in }}\Omega .$

Используя тот же полугрупповой подход, что и в случае с уравнением теплопроводности выше. Запишем волновое уравнение как уравнение в частных производных первого порядка по времени, введя следующий неограниченный оператор:

{\mathcal {A}}=\left({\begin{array}{cc}0&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}}\right)

с доменом $D({\mathcal {A}})=H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )$ на $H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )$ (оператор $Δ D$ определен в предыдущем примере).

Введем векторы-столбцы

U=\left({\begin{array}{c}u^{1}\\u^{2}\end{array}}\right)

(где $u^{1}=u$ и $u^{2}=u_{t}$ ) и

U^{0}=\left({\begin{array}{c}u^{1,0}\\u^{2,0}\end{array}}\right).

С этими понятиями волновое уравнение становится $U'(t)={\mathcal {A}}U(t)$ и $U (0) = U 0$ .

Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, имеет вид

\varphi (U^{0},t)={\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}U^{0}

где ${\mbox{e}}^{t{\mathcal {A}}}$ является (унитарной) полугруппой, порожденной ${\mathcal {A}}.$

Поток Бернулли

Эргодические динамические системы , то есть системы, демонстрирующие случайность, также демонстрируют потоки. Самым знаменитым из них, пожалуй, является поток Бернулли . Теорема Орнштейна об изоморфизме утверждает, что для любой заданной энтропии $H$ существует поток $φ (x, t)$ , называемый потоком Бернулли, такой, что поток в момент времени $t = 1$ , т.е. $φ (x, 1)$ , является потоком Бернулли. сдвиг .

Более того, этот поток уникален, вплоть до постоянного масштабирования времени. То есть, если $ψ (x, t)$ — другой поток с той же энтропией, то $ψ (x, t) = φ (x, t)$ для некоторой константы $c$ . Понятие единственности и изоморфизма здесь есть понятие изоморфизма динамических систем . Многие динамические системы, в том числе бильярд Синая и потоки Аносова, изоморфны сдвигам Бернулли.

См. также

Ссылки

Д. В. Аносов (2001) [1994], «Непрерывное течение» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Д.В. Аносов (2001) [1994], «Измеримый поток» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Д. В. Аносов (2001) [1994], «Особый поток» , Энциклопедия Математики , EMS Press
В эту статью включены материалы из Flow на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .