Теорема Орнштейна об изоморфизме

В математике является теорема Орнштейна об изоморфизме глубоким результатом эргодической теории . Он утверждает, что если две схемы Бернулли имеют одинаковую энтропию Колмогорова , то они изоморфны . ^[1]^[2] Результат, полученный Дональдом Орнштейном в 1970 году, важен, поскольку он утверждает, что многие системы, которые ранее считались несвязанными, на самом деле изоморфны; к ним относятся все конечные стационарные случайные процессы , включая цепи Маркова и подсдвиги конечного типа , потоки Аносова и бильярд Синая , эргодические автоморфизмы n -тора и преобразование цепной дроби .

Обсуждение

Теорема на самом деле представляет собой набор связанных теорем. Первая теорема утверждает, что если два разных сдвига Бернулли имеют одинаковую энтропию Колмогорова , то они изоморфны как динамические системы . Третья теорема распространяет этот результат на потоки : а именно, что существует поток $T_{t}$ такой, что $T_{1}$ является сдвигом Бернулли. Четвертая теорема утверждает, что для данной фиксированной энтропии этот поток уникален с точностью до постоянного масштабирования времени. Пятая теорема утверждает, что существует единственный единственный поток (с точностью до постоянного масштабирования времени), имеющий бесконечную энтропию. Фраза «вплоть до постоянного масштабирования времени» означает просто, что если $T_{t}$ и $S_{t}$ — два потока Бернулли с одинаковой энтропией, то $S_{t}=T_{ct}$ для некоторой постоянной c . Эти разработки также включали доказательства того, что факторы сдвигов Бернулли изоморфны сдвигам Бернулли, и дали критерии для того, чтобы данная сохраняющая меру динамическая система была изоморфна сдвигу Бернулли.

Следствием этих результатов является решение корневой проблемы для сдвигов Бернулли: так, например, при заданном сдвиге T существует другой сдвиг ${\sqrt {T}}$ то, что изоморфно ему.

История

Вопрос об изоморфизме восходит к фон Нейману , который задался вопросом, являются ли две схемы Бернулли BS(1/2, 1/2) и BS(1/3, 1/3, 1/3) изоморфными или нет. В 1959 году Я. Синай и Колмогоров ответили отрицательно, показав, что две разные схемы не могут быть изоморфными, если они не имеют одинаковой энтропии. В частности, они показали, что энтропия схемы Бернулли BS( p ₁ , p ₂ ,..., p _n ) определяется выражением ^[3]^[4]

H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.

Теорема об изоморфизме Орнштейна, доказанная Дональдом Орнштейном в 1970 году, утверждает, что две схемы Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны . Результат резкий, ^[5] в том, что очень похожие, бессхемные системы этим свойством не обладают; в частности, существуют колмогоровские системы неизоморфные Орнштейн получил премию Бошера с одинаковой энтропией. За эту работу .

Упрощенное доказательство теоремы об изоморфизме для символических схем Бернулли было дано Майклом С. Кином и М. Смородинским в 1979 году. ^[6]^[7]

Ссылки

^ Орнштейн, Дональд (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны». Достижения в математике . 4 (3): 337–352. дои : 10.1016/0001-8708(70)90029-0 .
^ Дональд Орнштейн, «Эргодическая теория, случайность и динамические системы» (1974) Издательство Йельского университета, ISBN 0-300-01745-6
^ Я.Г. Синай, (1959) «О понятии энтропии динамической системы», Доклады РАН, 124 , стр. 768–771.
^ Я. Г. Синай, (2007) « Метрическая энтропия динамической системы »
^ Кристофер Хоффман, « Машина-контрпример АК », Пер. амер. Математика. Соц. 351 (1999), стр. 4263–4280.
^ М. Кин и М. Смородинский, « Теорема финитного изоморфизма для марковских сдвигов », Bull. амер. Математика. Соц. 1 (1979), стр. 436–438.
^ М. Кин и М. Смородинский, «Схемы Бернулли с одинаковой энтропией финитно изоморфны». Анналы математики (2) 109 (1979), стр. 397–406.

Дальнейшее чтение

Стивен Каликов, Рэндалл Маккатчеон (2010) Очерк эргодической теории , Cambridge University Press
Дональд Орнштейн (2001) [1994], «Теорема Орнштейна об изоморфизме» , Энциклопедия математики , EMS Press
Дональд Орнштейн (2008), « Теория Орнштейна », Scholarpedia, 3 (3):3957.
Дэниел Дж. Рудольф (1990) Основы измеримой динамики: эргодическая теория пространств Лебега , Oxford Science Publications. Clarendon Press, Oxford University Press , Нью-Йорк, 1990. ISBN 0-19-853572-4

[1] Орнштейн, Дональд (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны». Достижения в математике . 4 (3): 337–352. дои : 10.1016/0001-8708(70)90029-0 .

[2] Дональд Орнштейн, «Эргодическая теория, случайность и динамические системы» (1974) Издательство Йельского университета, ISBN 0-300-01745-6

[3] Я.Г. Синай, (1959) «О понятии энтропии динамической системы», Доклады РАН, 124 , стр. 768–771.

[4] Я. Г. Синай, (2007) « Метрическая энтропия динамической системы »

[5] Кристофер Хоффман, « Машина-контрпример АК », Пер. амер. Математика. Соц. 351 (1999), стр. 4263–4280.

[6] М. Кин и М. Смородинский, « Теорема финитного изоморфизма для марковских сдвигов », Bull. амер. Математика. Соц. 1 (1979), стр. 436–438.

[7] М. Кин и М. Смородинский, «Схемы Бернулли с одинаковой энтропией финитно изоморфны». Анналы математики (2) 109 (1979), стр. 397–406.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]