Колмогоровский автоморфизм

В математике автоморфизм Колмогорова , K -автоморфизм , K -сдвиг или K -система — это обратимый, сохраняющий меру автоморфизм, определенный в стандартном вероятностном пространстве , который подчиняется закону нуля–единицы Колмогорова . Все автоморфизмы Бернулли являются K -автоморфизмами (говорят, что они обладают K -свойством ), но не наоборот. многие эргодические динамические системы Было показано, что обладают K -свойством, хотя более поздние исследования показали, что многие из них на самом деле являются автоморфизмами Бернулли.

Хотя определение K -свойства кажется достаточно общим, оно резко отличается от автоморфизма Бернулли. В частности, теорема Орнштейна об изоморфизме не применима к K -системам, и поэтому энтропии недостаточно для классификации таких систем - существует бесчисленное множество неизоморфных K -систем с одинаковой энтропией. По сути, коллекция K -систем велика, беспорядочна и не классифицирована; тогда как B -автоморфизмы «полностью» описываются теорией Орнштейна .

Формальное определение

Позволять $(X,{\mathcal {B}},\mu )$ — стандартное вероятностное пространство , и пусть $T$ — обратимое преобразование, сохраняющее меру . Затем $T$ называется K -автоморфизмом, K -преобразованием или K -сдвигом, если существует субсигма -алгебра ${\mathcal {K}}\subset {\mathcal {B}}$ такие, что выполняются следующие три свойства:

${\mbox{(1) }}{\mathcal {K}}\subset T{\mathcal {K}}$

${\mbox{(2) }}\bigvee _{n=0}^{\infty }T^{n}{\mathcal {K}}={\mathcal {B}}$

${\mbox{(3) }}\bigcap _{n=0}^{\infty }T^{-n}{\mathcal {K}}=\{X,\varnothing \}$

Здесь символ $\vee$ является объединением сигма-алгебр , а $\cap$ установлен пересечение . Равенство следует понимать как справедливое почти всюду , то есть отличающееся не более чем на множестве нулевой меры .

Характеристики

Предполагая, что сигма-алгебра нетривиальна, т.е. если ${\mathcal {B}}\neq \{X,\varnothing \}$, затем ${\mathcal {K}}\neq T{\mathcal {K}}.$ Отсюда следует, что K -автоморфизмы являются сильными перемешивающими .

Все автоморфизмы Бернулли являются K -автоморфизмами, но не наоборот .

Колмогоровские автоморфизмы — это в точности естественные расширения точных эндоморфизмов. т.е. отображения $T$ для чего $\bigcap _{n=0}^{\infty }T^{-n}{\mathcal {M}}$ состоит из множеств нулевой меры или их дополнений, где ${\mathcal {M}}$ — сигма-алгебра измеримых множеств.

Дальнейшее чтение

• Кристофер Хоффман, « Машина-контрпример АК », Пер. амер. Математика. Соц. 351 (1999), стр. 4263–4280.