Преобразование Белинского–Захарова

Преобразование Белинского -Захарова (обратное) — это нелинейное преобразование, которое генерирует новые точные решения вакуумного уравнения поля Эйнштейна . Он был разработан Владимиром Белинским и Владимиром Захаровым в 1978 году. Преобразование Белинского–Захарова является обобщением преобразования обратного рассеяния . Решения, полученные в результате этого преобразования, называются гравитационными солитонами (грависолитонами). Несмотря на то, что для описания гравитационных солитонов используется термин «солитон», их поведение сильно отличается от поведения других (классических) солитонов. В частности, гравитационные солитоны не сохраняют свою амплитуду и форму во времени, и до июня 2012 г. их общая интерпретация остается неизвестной. Однако известно, что большинство черных дыр (и особенно метрика Шварцшильда и метрика Керра ) представляют собой частные случаи гравитационных солитонов.

Введение

Преобразование Белинского – Захарова работает для пространственно-временных интервалов вида

$ds^{2}=f(-d(x^{0})^{2}+d(x^{1})^{2})+g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}$

где мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании для $a,b=2,3$. Предполагается, что обе функции $f$ и матрица $g=g_{ab}$ зависеть от координат $x^{0}$ и $x^{1}$ только. Несмотря на то, что это специфическая форма пространственно-временного интервала , зависящая только от двух переменных, она включает в себя большое количество интересных решений в качестве частных случаев, таких как метрика Шварцшильда , метрика Керра , метрика Эйнштейна-Розена и многие другие.

В этом случае уравнение вакуума Эйнштейна $R_{\mu \nu }=0$ распадается на две системы уравнений для матрицы $g=g_{ab}$ и функция $f$. Использование координат светового конуса $\zeta =x^{0}+x^{1},\eta =x^{0}-x^{1}$, первое уравнение для матрицы $g$ является

$(\alpha g_{,\zeta }g^{-1})_{,\eta }+(\alpha g_{,\eta }g^{-1})_{,\zeta }=0$

где $\alpha$ квадратный корень из определителя $g$, а именно

$\det g=\alpha ^{2}$

Вторая система уравнений

$(\ln f)_{,\zeta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\zeta \zeta }}{(\ln \alpha )_{,\zeta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\zeta }}}\operatorname {tr} (g_{,\zeta }g^{-1}g_{,\zeta }g^{-1})$

$(\ln f)_{,\eta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\eta \eta }}{(\ln \alpha )_{,\eta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\eta }}}\operatorname {tr} (g_{,\eta }g^{-1}g_{,\eta }g^{-1})$

Взяв след матричного уравнения для $g$ показывает, что на самом деле $\alpha$ удовлетворяет волновому уравнению

$\alpha _{,\zeta \eta }=0$

Пара Лакс

Рассмотрим линейные операторы $D_{1},D_{2}$ определяется

$D_{1}=\partial _{\zeta }+{\frac {2\alpha _{,\zeta }\lambda }{\lambda -\alpha }}\partial _{\lambda }$

$D_{2}=\partial _{\eta }-{\frac {2\alpha _{,\eta }\lambda }{\lambda +\alpha }}\partial _{\lambda }$

где $\lambda$ – вспомогательный комплексный спектральный параметр.Простое вычисление показывает, что, поскольку $\alpha$ удовлетворяет волновому уравнению, $\left[D_{1},D_{2}\right]=0$. Эта пара операторов коммутирует, это пара Лакса .

Суть обратного преобразования рассеяния заключается в переписывании нелинейного уравнения Эйнштейна как переопределенной линейной системы уравнений для новой матричной функции. $\psi =\psi (\zeta ,\eta ,\lambda )$. Рассмотрим уравнения Белинского–Захарова:

$D_{1}\psi ={\frac {A}{\lambda -\alpha }}\psi$

$D_{2}\psi ={\frac {B}{\lambda +\alpha }}\psi$

Действуя в левой части первого уравнения с $D_{2}$ а в левой части второго уравнения с $D_{1}$ и при вычитании результатов левая часть обращается в нуль в результате коммутативности $D_{1}$ и $D_{2}$. Что касается правой части, то краткие вычисления показывают, что она действительно обращается в нуль именно тогда, когда $g$ удовлетворяет нелинейному матричному уравнению Эйнштейна.

Это означает, что переопределенные линейные уравнения Белинского–Захарова разрешимы одновременно именно тогда, когда $g$ решает нелинейное матричное уравнение. На самом деле, можно легко восстановить $g$ из матричнозначной функции $\psi$ с помощью простого предельного процесса. Принимая предел $\lambda \rightarrow 0$ в уравнениях Белинского-Захарова и умножив на $\psi ^{-1}$ справа дает

$\psi _{,\zeta }\psi ^{-1}=g_{,\zeta }g^{-1}$

$\psi _{,\eta }\psi ^{-1}=g_{,\eta }g^{-1}$

Таким образом, решение нелинейной задачи $g$ уравнение получается из решения линейного уравнения Белинского–Захарова путем простой оценки

$g(\zeta ,\eta )=\psi (\zeta ,\eta ,0)$