Решение скалярного поля

В общей теории относительности решение скалярного поля является точным решением уравнения поля Эйнштейна , в котором гравитационное поле полностью обусловлено энергией поля и импульсом скалярного поля . Такое поле может быть безмассовым , а может и не быть , и может считаться, что оно имеет минимальную связь по кривизне или какой-либо другой вариант, например конформную связь .

Определение

В общей теории относительности геометрической обстановкой физических явлений является лоренцево многообразие , которое физически интерпретируется как искривленное пространство-время и математически задается путем определения метрического тензора. $g_{ab}$ (или путем определения поля кадра ). Тензор кривизны $R^{a}{}_{bcd}$ этого многообразия и связанных с ним величин, таких как тензор Эйнштейна $G_{ab}$, четко определены даже в отсутствие какой-либо физической теории, но в общей теории относительности приобретают физическую интерпретацию как геометрические проявления гравитационного поля .

Кроме того, мы должны указать скалярное поле, задав функцию $\psi$. Эта функция должна удовлетворять двум следующим условиям:

1. Функция должна удовлетворять без источника (искривленного пространства-времени) волновому уравнению $g^{ab}\psi _{;ab}=0$,
2. Тензор Эйнштейна должен соответствовать тензору энергии-импульса для скалярного поля, которое в простейшем случае минимально связанного безмассового скалярного поля можно записать

$G_{ab}=\kappa \left(\psi _{;a}\psi _{;b}-{\frac {1}{2}}\psi _{;m}\psi ^{;m}g_{ab}\right)$.

Оба условия следуют из изменения плотности лагранжиана скалярного поля, которая в случае минимально связанного безмассового скалярного поля равна

$L=-g^{mn}\,\psi _{;m}\,\psi _{;n}$

Здесь,

${\frac {\delta L}{\delta \psi }}=0$

дает волновое уравнение, а

${\frac {\delta L}{\delta g^{ab}}}=0$

дает уравнение Эйнштейна (в случае, когда энергия скалярного поля является единственным источником гравитационного поля).

Физическая интерпретация

Скалярные поля часто интерпретируются как классические приближения в смысле эффективной теории поля к некоторому квантовому полю. В общей теории относительности спекулятивное поле квинтэссенции может выглядеть как скалярное поле. Например, поток нейтральных пионов в принципе можно смоделировать как минимально связанное безмассовое скалярное поле.

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поля системы координат, а не координатного базиса, часто называют физическими компонентами , поскольку это компоненты, которые (в принципе) могут быть измерены наблюдателем.

В частном случае минимально связанного безмассового скалярного поля адаптированная система отсчета

${\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}$

(первое — времениподобное поле единичного вектора , последние три — пространственноподобное поле единичного вектора)всегда можно найти, в котором тензор Эйнштейна принимает простой вид

$G_{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \sigma \,\left[{\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]$где $\sigma$ – плотность энергии скалярного поля.

Собственные значения

Характеристический полином тензора Эйнштейна в минимально связанном безмассовом скалярном полевом решении должен иметь вид

$\chi (\lambda )=(\lambda +8\pi \sigma )^{3}\,(\lambda -8\pi \sigma )$

Другими словами, у нас есть простое собственное значение и тройное собственное значение, каждое из которых является отрицательным по отношению к другому. Умножив и используя базисные методы Грёбнера, мы обнаружим, что следующие три инварианта должны исчезнуть тождественно:

$a_{2}=0,\;\;a_{1}^{3}+4a_{3}=0,\;\;a_{1}^{4}+16a_{4}=0$

Используя тождества Ньютона , мы можем переписать их в терминах следов степеней. Мы находим это

$t_{2}=t_{1}^{2},\;t_{3}=t_{1}^{3}/4,\;t_{4}=t_{1}^{4}/4$

Мы можем переписать это в терминах индексной гимнастики как явно инвариантных критериев:

${G^{a}}_{a}=-R$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=R^{3}/4$

${G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=R^{4}/4$

Примеры

Известные индивидуальные решения скалярного поля включают в себя

• , решение скалярного поля Яниса-Ньюмана-Виникура которое является уникальным статическим и сферически симметричным безмассовым минимально связанным решением скалярного поля.

См. также

• Точные решения в общей теории относительности
• группа Лоренца

Ссылки

• Стефани, Х.; Крамер, Д.; МакКаллум, М.; Хоэнселерс К. и Херлт Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-46136-7 .
• Хокинг, С.В. и Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09906-4 . См. раздел 3.3 о тензоре энергии-импульса минимально связанного скалярного поля.