Марковский одометр

В математике одометр Маркова — это определенный тип топологической динамической системы . Оно играет фундаментальную роль в эргодической теории и особенно в теории орбит динамических систем , поскольку теорема Х. Дая утверждает, что каждое эргодическое неособое преобразование орбитально эквивалентно марковскому одометру.

Основным примером такой системы является «несингулярный одометр», который представляет собой аддитивную топологическую группу, определенную в пространстве произведений дискретных пространств , индуцированную сложением, определяемым как $x\mapsto x+{\underline {1}}$, где ${\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )$. Эту группу можно наделить структурой динамической системы ; в результате получается консервативная динамическая система .

Общая форма, которая называется «марковским одометром», может быть построена с помощью диаграммы Браттели – Вершика , чтобы определить компактное пространство Браттели – Вершика вместе с соответствующим преобразованием.

Несингулярные одометры

Можно определить несколько видов несингулярных одометров. Их иногда называют арифмометрами . Самый простой иллюстрируется процессом Бернулли . Это набор всех бесконечных строк в двух символах, обозначенных здесь $\Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ наделен топологией продукта . Это определение естественным образом распространяется на более общий одометр, определенный в пространстве продуктов.

$\Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(\mathbb {Z} /k_{n}\mathbb {Z} \right)$

для некоторой последовательности целых чисел $(k_{n})$ с каждым $k_{n}\geq 2.$

Одометр для $k_{n}=2$ для всех $n$ называется диадным одометром , арифмометром фон Неймана-Какутани или диадным арифмометром .

Топологическая энтропия любой счетной машины равна нулю. Любое непрерывное отображение интервала с нулевой топологической энтропией топологически сопряжено счетной машине, если ограничить ее действие на топологически инвариантном транзитивном множестве с удалением периодических орбит.

Диадический одометр

Диадический одометр $T$ визуализируется как преобразование обмена интервалами с отображением $(x_{1},x_{2},\cdots )\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}.$

Двойной одометр повторяется дважды; то есть $T^{2}.$

Двойной одометр, повторяемый трижды; то есть $T^{3}.$

Двойной одометр повторялся четыре раза; то есть $T^{4}.$

Множество всех бесконечных строк в строках в двух символах $\Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ имеет естественную топологию, топологию произведения , порожденную наборами цилиндров . Топология произведения расширяется до сигма-алгебры Бореля ; позволять ${\mathcal {B}}$ обозначим эту алгебру. Индивидуальные баллы $x\in \Omega$ обозначаются как $x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ).$

Процесс Бернулли традиционно наделен набором мер , мер Бернулли, заданных формулой $\mu _{p}(x_{n}=1)=p$ и $\mu _{p}(x_{n}=0)=1-p$, для некоторых $0<p<1$ независимо от $n$. Стоимость $p=1/2$ довольно особенный; оно соответствует частному случаю меры Хаара , когда $\Omega$ рассматривается как компактная абелева группа . Обратите внимание, что мера Бернулли — это не то же самое, что 2-адическая мера целых двоичных чисел ! Формально можно заметить, что $\Omega$ также является базовым пространством для двоичных целых чисел; однако двоичные целые числа наделены метрикой , p-адической метрикой, которая порождает метрическую топологию, отличную от топологии произведения, используемой здесь.

Пространство $\Omega$ может быть снабжено сложением, определяемым как сложение координат, с битом переноса. То есть для каждой координаты пусть $(x+y)_{n}=x_{n}+y_{n}+\varepsilon _{n}\,{\bmod {\,}}2$где $\varepsilon _{0}=0$ и

$\varepsilon _{n}={\begin{cases}0&x_{n-1}+y_{n-1}<2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}=2\end{cases}}$

индуктивно. Приращение на единицу тогда называется (двоичным) одометром . Это трансформация $T:\Omega \to \Omega$ данный $T(x)=x+{\underline {1}}$, где ${\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )$. его называют Одометром из-за того, как он выглядит, когда «переворачивается»: $T$ это трансформация $T\left(1,\dots ,1,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)$. Обратите внимание, что $T^{-1}(0,0,\cdots )=(1,1,\cdots )$ и это $T$ является ${\mathcal {B}}$-измеримый, то есть $T^{-1}(\sigma )\in {\mathcal {B}}$ для всех $\sigma \in {\mathcal {B}}.$

Преобразование $T$ является не особенным для каждого $\mu _{p}$. Напомним, что измеримое преобразование $\tau :\Omega \to \Omega$ несингулярен, когда, учитывая $\sigma \in {\mathcal {B}}$, у одного это есть $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=0$ тогда и только тогда, когда $\mu (\sigma )=0$. В этом случае обнаруживается

${\frac {d\mu _{p}\circ T}{d\mu _{p}}}=\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{\varphi }$

где $\varphi (x)=\min \left\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}=0\right\}-2$. Следовательно $T$ является неособым относительно $\mu _{p}$.

Преобразование $T$ является эргодическим . Это следует из того, что для каждого $x\in \Omega$ и натуральное число $n$, орбита $x$ под $T^{0},T^{1},\cdots ,T^{2^{n}-1}$ это набор $\{0,1\}^{n}$. Это, в свою очередь, означает, что $T$ является консервативным , поскольку каждое обратимое эргодическое неособое преобразование в неатомном пространстве консервативно.

Обратите внимание, что для частного случая $p=1/2$, что $\left(\Omega ,{\mathcal {B}},\mu _{1/2},T\right)$ является динамической системой, сохраняющей меру .

Целочисленные одометры

Эта же конструкция позволяет определить такую ​​систему для каждого произведения дискретных пространств . В общем, пишут

$\Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$

для $A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\dots ,m_{n}-1\}$ с $m_{n}\geq 2$ целое число. Топология произведения естественным образом расширяется до произведения сигма-алгебры Бореля. ${\mathcal {B}}$ на $\Omega$. Измерение продукта на ${\mathcal {B}}$ традиционно определяется как $\textstyle \mu =\prod _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n},$ учитывая некоторую меру $\mu _{n}$ на $A_{n}$. Соответствующая карта определяется формулой

$T(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},x_{k+2},\dots )=(0,\dots ,0,x_{k}+1,x_{k+1},x_{k+2},\dots )$

где $k$ — наименьший индекс, для которого $x_{k}\neq m_{k}-1$. Это снова топологическая группа.

Частным случаем этого является одометр Орнштейна , который определяется на пространстве

$\Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots$

с мерой, являющейся произведением

$\mu _{n}(j)={\begin{cases}1/2&{\mbox{ if }}j=0\\1/2(n+1)&{\mbox{ if }}j\neq 0\\\end{cases}}$

Модель песочницы

Концепция, тесно связанная с консервативным одометром, — это модель абелевой песчаной кучи . Эта модель заменяет построенную выше направленную линейную последовательность конечных групп неориентированным графом $(V,E)$ вершин и ребер. В каждой вершине $v\in V$ помещают конечную группу $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ с $n=deg(v)$ степень ​ вершины $v$. Функции перехода определяются графом Лапласа . То есть можно увеличить любую заданную вершину на единицу; при увеличении наибольшего элемента группы (так что он возвращается к нулю) каждая из соседних вершин увеличивается на единицу.

Модели песчаных отвалов отличаются от приведенного выше определения консервативного одометра тремя разными способами. Во-первых, как правило, не существует уникальной вершины, выделенной в качестве начальной вершины, тогда как в приведенном выше примере первая вершина является начальной вершиной; это тот, который увеличивается функцией перехода. Далее, в моделях с песочницей вообще используются ненаправленные края, так что обхват одометра перераспределяется во всех направлениях. Третье отличие состоит в том, что модели песочницы обычно не рассматриваются на бесконечном графе, а, скорее, выделяется одна особая вершина, «приемник», которая поглощает все приращения и никогда не переносится. Приемник эквивалентен отрезанию бесконечных частей бесконечного графа и замене их стоком; поочередно, игнорируя все изменения после этой точки завершения.

Марковский одометр

Позволять $B=(V,E)$ — упорядоченная диаграмма Браттели–Вершика , состоит из множества вершин вида $\textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }V^{(n)}$ (непересекающийся союз), где $V^{0}$ является синглтоном и на множестве ребер $\textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}$ (непересекающийся союз).

Диаграмма включает в себя исходные сюръективные отображения. $s_{n}:E^{(n)}\to V^{(n-1)}$ и отображения сюръекций диапазонов $r_{n}:E^{(n)}\to V^{(n)}$. Мы предполагаем, что $e,e'\in E^{(n)}$ сравнимы тогда и только тогда, когда $r_{n}(e)=r_{n}(e')$.

Для такой диаграммы мы смотрим на пространство продукта $\textstyle E:=\prod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}$ оснащен топологией продукта . Определите «компакт Браттели – Вершика» как подпространство бесконечных путей.

$X_{B}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E\mid x_{n}\in E^{(n)}{\text{ and }}r(x_{n})=s(x_{n+1})\right\}$

Предположим, что существует только один бесконечный путь $x_{\max }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ для чего каждый $x_{n}$ является максимальным и, аналогично, одним бесконечным путем $x_{\text{min}}$. Дайте определение «карте Браттели-Вершика». $T_{B}:X_{B}\to X_{B}$ к $T(x_{\max })=x_{\min }$ и для любого $x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\neq x_{\max }$ определять $T_{B}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots )=(y_{1},\dots ,y_{k},x_{k+1},\dots )$, где $k$ это первый индекс, для которого $x_{k}$ не является максимальным и, соответственно, пусть $(y_{1},\dots ,y_{k})$ быть единственным путем, для которого $y_{1},\dots ,y_{k-1}$ все максимальные и $y_{k}$ является преемником $x_{k}$. Затем $T_{B}$ является гомеоморфизмом ​ $X_{B}$.

Позволять $P=\left(P^{(1)},P^{(2)},\dots \right)$ быть последовательностью стохастических матриц $P^{(n)}=\left(p_{(v,e)\in V^{n-1}\times E^{(}n)}^{(n)}\right)$ такой, что $p_{v,e}^{(n)}>0$ тогда и только тогда, когда $v=s_{n}(e)$. Определить «меру Маркова» на цилиндрах $X_{B}$ к $\mu _{P}([e_{1},\dots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}$. Тогда система $\left(X_{B},{\mathcal {B}},\mu _{P},T_{B}\right)$ называется «марковский одометр».

Можно показать, что несингулярный одометр — это марковский одометр, в котором все $V^{(n)}$ являются одиночками.

См. также

• Модель абелевой песчаной кучи

Дальнейшее чтение

• Ааронсон, Дж. (1997). Введение в бесконечную эргодическую теорию . Математические обзоры и монографии. Том. 50. Американское математическое общество . стр. 25–32. ISBN  9781470412814 .
• Дули, Энтони Х. (2003). «Марковские одометры». В Безуглом, Сергей; Коляда, Сергей (ред.). Вопросы динамики и эргодической теории. Обзорные статьи и мини-курсы, представленные на международной конференции и американо-украинском семинаре по динамическим системам и эргодической теории, Кацивели, Украина, 21–30 августа 2000 г. Лонд. Математика. Соц. Лект. Примечание Сер. Том. 310. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 60–80. ISBN  0-521-53365-1 . Збл   1063.37005 .