Модель абелевой песчаной кучи

Модель абелевой песчаной кучи (ASM) — более популярное название оригинальной модели Бака – Танга – Визенфельда (BTW). Модель BTW была первым обнаруженным примером динамической системы, демонстрирующей самоорганизующуюся критичность . Его представили Пер Бак , Чао Тан и Курт Визенфельд в статье 1987 года. ^[1]

Три года спустя Дипак Дхар обнаружил, что модель песчаной кучи BTW следует абелевой динамике, и поэтому назвал эту модель моделью абелевой песчаной кучи. ^[2]

Модель представляет собой клеточный автомат . В исходной формулировке каждому участку на конечной сетке соответствует значение, соответствующее наклону сваи. Этот уклон образуется по мере того, как «песчинки» (или «щепки») случайным образом помещаются в кучу до тех пор, пока наклон не превысит определенное пороговое значение, после чего этот участок рушится, перенося песок на соседние участки, увеличивая их наклон. Бак, Тан и Визенфельд рассмотрели процесс последовательного случайного размещения песчинок на сетке; каждое такое размещение песка на конкретном участке может не иметь никакого эффекта или может вызвать каскадную реакцию, которая затронет многие участки.

Дхар показал, что окончательная стабильная конфигурация песчаной кучи после прекращения схода лавины не зависит от точной последовательности опрокидываний, которая соблюдается во время схода лавины. Как прямое следствие этого факта показано, что если две песчинки добавляются к стабильной конфигурации в двух разных порядках, например сначала в точке А, затем в точке В, и сначала в точке В, а затем в точке А, конечная стабильная конфигурация песчинок оказывается точно такой же. Когда песчинка добавляется к стабильной конфигурации песчаной кучи, это приводит к лавине, которая, наконец, прекращается и приводит к другой стабильной конфигурации. Дхар предположил, что добавление песчинки можно рассматривать как оператор: когда она воздействует на одну стабильную конфигурацию, она создает другую стабильную конфигурацию. Дхар показал, что все такие операторы сложения образуют абелеву группу, отсюда и название «абелева модель песочницы». ^[3]^[4]С тех пор модель изучалась на бесконечной решетке, на других (неквадратных) решетках и на произвольных графах (включая ориентированные мультиграфы ). ^[5] Она тесно связана с игрой в доллары , вариантом игры со стрельбой фишками, предложенной Биггсом. ^[6]

Определение (прямоугольные сетки)

Модель песочницы представляет собой клеточный автомат, первоначально определенный на $N\times M$ прямоугольная сетка ( шахматная доска ) $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ стандартной квадратной решетки $\mathbb {Z} ^{2}$ .К каждой вершине ( стороне , полю ) $(x,y)\in \Gamma$ сетки мы связываем значение ( песчинки , уклон , частицы ) $z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}$ , с $z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }$ называется (начальной) конфигурацией песчаной кучи.

Динамика автомата на итерации $i\in \mathbb {N}$ тогда определяются следующим образом:

Выберите случайную вершину $(x_{i},y_{i})\in \Gamma$ согласно некоторому распределению вероятностей (обычно равномерному).
Добавьте одну песчинку в эту вершину, оставив номера зерен для всех остальных вершин неизменными, т.е.
$z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1$ и
$z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)$ для всех $(x,y)\neq (x_{i},y_{i})$ .
Если все вершины устойчивы , т.е. $z_{i}(x,y)<4$ для всех $(x,y)\in \Gamma$ , а также конфигурация $z_{i}$ говорят, что он стабилен. В этом случае перейдите к следующей итерации.
Если хотя бы одна вершина неустойчива , т.е. $z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4$ для некоторых $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ , вся конфигурация $z_{i}$ говорят, что он неустойчив. В этом случае выберите любую нестабильную вершину $(x_{u},y_{u})\in \Gamma$ случайным образом. Опровергните эту вершину, уменьшив число ее зерен на четыре и увеличив номера зерен каждого из ее (максимум четырех) прямых соседей на единицу, т. е. установив
$z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,$ , и
$z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1$ если $(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\in \Gamma$ .
Если вершина на границе области опрокидывается, это приводит к чистой потере зерен (два зерна в углу сетки и одно в противном случае).
Из-за перераспределения зерен падение одной вершины может привести к нестабильности других вершин. Таким образом, повторяйте процедуру опрокидывания, пока все вершины $z_{i}$ в конечном итоге станут стабильными и продолжат следующую итерацию.

Падение нескольких вершин за одну итерацию называется лавиной . Каждая лавина гарантированно в конечном итоге остановится, т. е. после конечного числа падений достигается некоторая устойчивая конфигурация, при которой автомат корректно определен. Более того, хотя часто существует множество возможных вариантов порядка свержения вершин, окончательная стабильная конфигурация не зависит от выбранного порядка; это один из смыслов, в котором песчаная куча абелева . Точно так же количество раз, когда каждая вершина опрокидывается во время каждой итерации, также не зависит от выбора порядка опрокидывания.

Определение (неориентированные конечные мультиграфы)

Обобщить модель песочницы с прямоугольной сетки стандартной квадратной решетки на произвольный неориентированный конечный мультиграф. $G=(V,E)$ , особая вершина $s\in V$ В названии раковины указано, что ее нельзя опрокидывать. Конфигурация функцией (состояние) модели тогда является $z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ подсчет неотрицательного числа зерен в каждой не тонущей вершине. Не тонущая вершина $v\in V\setminus \{s\}$ с

z(v)\geq \deg(v)

является нестабильным; его можно опрокинуть, что отправит одно из его зерен каждому из его (не тонущих) соседей:

z(v)\to z(v)-\deg(v)

z(u)\to z(u)+1

для всех

u\sim v

,

u\neq s

.

Затем клеточный автомат действует так же, как и раньше, т. е. добавляя на каждой итерации одну частицу к случайно выбранной не тонущей вершине и переворачивая ее до тех пор, пока все вершины не станут устойчивыми.

Определение модели песочницы, данное выше для конечных прямоугольных сеток. $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ стандартной квадратной решетки $\mathbb {Z} ^{2}$ тогда можно рассматривать как частный случай этого определения: рассмотрим граф $G=(V,E)$ который получается из $\Gamma$ добавляя дополнительную вершину, сток, и рисуя дополнительные ребра из стока в каждую граничную вершину $\Gamma$ такая, что степень каждой не стоковой вершины $G$ это четыре. Таким же образом можно определить модели песочницы на непрямоугольных сетках стандартной квадратной решетки (или любой другой решетки): Пересечь некоторое ограниченное подмножество $S$ из $\mathbb {R} ^{2}$ с $\mathbb {Z} ^{2}$ . Сожмите каждое ребро $\mathbb {Z} ^{2}$ чьи две конечные точки не находятся в $S\cap \mathbb {Z} ^{2}$ . Единственная оставшаяся вершина вне $S\cap \mathbb {Z} ^{2}$ затем представляет собой сток результирующего графа песочницы.

Переходные и повторяющиеся конфигурации

В динамике автомата песочницы, определенной выше, некоторые устойчивые конфигурации ( $0\leq z(v)<4$ для всех $v\in G\setminus \{s\}$ ) появляются бесконечно часто, тогда как другие могут появляться только конечное число раз (если вообще появляются). Первые называются рекуррентными конфигурациями , а вторые — временными конфигурациями . Таким образом, рекуррентные конфигурации состоят из всех устойчивых неотрицательных конфигураций, которые можно получить из любой другой стабильной конфигурации путем многократного добавления песчинок к вершинам и опрокидывания. Легко видеть, что минимально устойчивая конфигурация $z_{m}$ , где каждая вершина несет $z_{m}(v)=deg(v)-1$ песчинок, доступен из любой другой стабильной конфигурации (добавьте $deg(v)-z(v)-1\geq 0$ зерна в каждую вершину). Таким образом, эквивалентно, рекуррентные конфигурации — это именно те конфигурации, которых можно достичь из минимально стабильной конфигурации, просто добавляя песчинки и стабилизируя.

Не каждая неотрицательная стабильная конфигурация является рекуррентной. Например, в каждой модели песочницы на графе, состоящем как минимум из двух связанных не тонущих вершин, каждая устойчивая конфигурация, в которой обе вершины несут ноль песчинок, является нерекуррентной. Чтобы доказать это, сначала заметим, что добавление песчинок может только увеличить общее количество песчинок, переносимых двумя вершинами вместе. Таким образом, чтобы достичь конфигурации, в которой обе вершины несут ноль частиц, из конфигурации, где это не так, обязательно требуются шаги, на которых хотя бы одна из двух вершин опрокидывается. Рассмотрим последний из этих шагов. На этом этапе одна из двух вершин должна опрокинуться последней. Поскольку при опрокидывании песчинка переносится в каждую соседнюю вершину, это означает, что общее количество песчинок, переносимых обеими вершинами вместе, не может быть меньше единицы, что и завершает доказательство.

Песчаная группа

Учитывая конфигурацию $z$ , $z(v)\in \mathbb {N} _{0}$ для всех $v\in G\setminus \{s\}$ опрокидывание нестабильных не-тонущих вершин на конечном связном графе до тех пор, пока не останется нестабильной не-тонущей вершины, приводит к уникальной стабильной конфигурации $z^{\circ }$ называется стабилизацией , что $z$ . Учитывая две стабильные конфигурации $z$ и $w$ , мы можем определить операцию $z*w:=(z+w)^{\circ }$ , что соответствует добавлению зерен по вершинам с последующей стабилизацией полученной песочницы.

Учитывая произвольный, но фиксированный порядок не тонущих вершин, несколько операций опрокидывания, которые могут произойти, например, во время стабилизации нестабильной конфигурации, могут быть эффективно закодированы с использованием лапласиана графа $\Delta =D-A$ , где $D$ - матрица степеней и $A$ – матрица смежности графа.Удаление строки и столбца $\Delta$ соответствующий стоку, дает сокращенный граф-лапласиан $\Delta '$ . Затем, начиная с конфигурации $z$ и свержение каждой вершины $v$ в общей сложности $\mathbf {x} (v)\in \mathbb {N} _{0}$ раз дает конфигурацию $z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x}$ , где ${\boldsymbol {\cdot }}$ является продуктом сжатия. Кроме того, если $\mathbf {x}$ соответствует количеству раз, когда каждая вершина опрокидывается во время стабилизации данной конфигурации. $z$ , затем

z^{\circ }=z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x}

В этом случае, $\mathbf {x}$ называется функцией опрокидывания или одометра (стабилизации $z$ ).

В рамках операции $*$ , набор рекуррентных конфигураций образует абелеву группу , изоморфную коядру лапласиана приведенного графа $\Delta '$ , то есть чтобы $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ , в результате чего $n$ обозначает количество вершин (включая сток). В более общем смысле, набор стабильных конфигураций (переходных и рекуррентных) образует коммутативный моноид при операции $*$ . Тогда минимальный идеал этого моноида изоморфен группе рекуррентных конфигураций.

Группа, образованная рекуррентными конфигурациями, а также группа $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ которому первый изоморфен, чаще всего называют группой песчаных отвалов . Другие распространенные названия той же группы — критическая группа , группа Якобиана или (реже) группа Пикара . Обратите внимание, однако, что некоторые авторы обозначают группу, образованную рекуррентными конфигурациями, как группу песчаной кучи, сохраняя при этом название якобианской группы или критической группы для (изоморфной) группы, определяемой формулой $\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '$ (или для связанных изоморфных определений). Наконец, некоторые авторы используют название группы Пикара для обозначения прямого продукта группы песчаных отвалов и $\mathbb {Z}$ , который естественным образом появляется в клеточном автомате, тесно связанном с моделью песочницы, называемой игрой в доллары или выбросом фишек.

Учитывая изложенные выше изоморфизмы, порядок группы песочницы является определителем $\Delta '$ , что по теореме о матричном дереве является количеством остовных деревьев графа.

Самоорганизованная критичность

Первоначальный интерес к модели возник из-за того, что при моделировании на решетках ее привлекает критическое состояние , в этот момент длина корреляции системы и время корреляции системы стремятся к бесконечности без какой-либо точной настройки. системный параметр. Это контрастирует с более ранними примерами критических явлений, такими как фазовые переходы между твердым телом и жидкостью или жидкостью и газом, где критическая точка может быть достигнута только путем точной настройки (например, температуры). Следовательно, в модели песочницы можно сказать, что критичность является самоорганизованной .

исчезает Как только модель песочницы достигает критического состояния, корреляция между реакцией системы на возмущение и деталями возмущения . Обычно это означает, что падение еще одной песчинки на кучу может привести к тому, что ничего не произойдет, или может привести к тому, что вся куча обрушится в результате массивного скольжения. Модель также отображает 1/ ƒ шум — особенность, характерную для многих сложных систем в природе.

Эта модель отображает критическое поведение только в двух или более измерениях. Модель песчаной кучи может быть выражена в 1D; однако вместо того, чтобы развиваться до критического состояния, одномерная модель песчаной кучи достигает минимально стабильного состояния, когда каждый узел решетки движется к критическому наклону.

Для двух измерений была выдвинута гипотеза, что соответствующая конформная теория поля состоит из симплектических фермионов с центральным зарядом c = -2. ^[7]

Характеристики

Принцип наименьшего действия

Стабилизация конфигураций чипов подчиняется принципу наименьшего действия : каждая вершина в ходе стабилизации опрокидывается не больше, чем необходимо. ^[8] Это можно формализовать следующим образом. Назовите последовательность опрокидываний допустимой , если она опрокидывает только нестабильные вершины, и стабилизирующей, если она приводит к устойчивой конфигурации. Стандартный способ стабилизации песчаной кучи — найти максимальную закономерную последовательность; т. е. опрокидывая, пока это возможно. Такая последовательность, очевидно, является стабилизирующей, а абелевое свойство песочницы состоит в том, что все такие последовательности эквивалентны с точностью до перестановки порядка опрокидывания; то есть для любой вершины $v$ , количество раз $v$ опрокидывание одинаково во всех законных стабилизирующих последовательностях. Согласно принципу наименьшего действия, минимальная стабилизирующая последовательность также эквивалентна перестановке ниспровергающего порядка в законную (и все еще стабилизирующую) последовательность. В частности, конфигурация, возникающая в результате минимальной стабилизирующей последовательности, такая же, как и в результате максимальной законной последовательности.

Более формально, если $\mathbf {u}$ вектор такой, что $\mathbf {u} (v)$ сколько раз вершина $v$ опрокидывается во время стабилизации (путем опрокидывания нестабильных вершин) конфигурации чипа $z$ , и $\mathbf {n}$ является целым вектором (не обязательно неотрицательным) таким, что $z-\mathbf {n} \Delta '$ стабильна, то $\mathbf {u} (v)\leq \mathbf {n} (v)$ для всех вершин $v$ .

Пределы масштабирования

Анимация показывает повторяющуюся конфигурацию, соответствующую идентичности группы песочниц на разных $N\times N$ квадратные сетки увеличивающихся размеров $N\geq 1$ , в результате чего конфигурации масштабируются, чтобы всегда иметь одинаковый физический размер. Визуально личности на более крупных сетках кажутся все более детализированными и «сходятся в непрерывное изображение». Математически это предполагает существование пределов масштабирования идентичности песочницы на квадратных сетках, основанных на понятии слабой сходимости (или каком-то другом обобщенном понятии сходимости). Действительно, существование пределов масштабирования рекуррентных конфигураций песчаных куч было доказано Уэсли Пегденом и Чарльзом Смартом. ^[9]^[10] В дальнейшей совместной работе с Лайонелом Левином они используют предел масштабирования для объяснения фрактальной структуры песчаной кучи на квадратных сетках. ^[11] Другой предел масштабирования, когда релаксации возмущения максимального устойчивого состояния сходятся к картине, определяемой тропическими кривыми , установлен в работах Никиты Калинина и Михаила Школьникова. ^[12]

Полнота по Тьюрингу

Абелевы песочницы в трех или более измерениях могут использоваться для моделирования машины Тьюринга и, следовательно, являются полными по Тьюрингу . ^[13]

Обобщения и связанные модели

Модели песочниц на бесконечных сетках

Существует несколько обобщений модели песочницы на бесконечные сетки. Проблема таких обобщений заключается в том, что, как правило, больше не гарантируется, что каждая лавина в конечном итоге остановится. Таким образом, некоторые обобщения рассматривают стабилизацию только тех конфигураций, для которых это может быть гарантировано.

Достаточно популярная модель на (бесконечной) квадратной решетке с узлами. $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ определяется следующим образом:

Начните с некоторой неотрицательной конфигурации значений. $z(x,y)\in \mathbf {Z}$ что конечно, то есть

\sum _{x,y}z(x,y)<\infty .

Любой сайт $(x,y)$ с

z(x,y)\geq 4

нестабилен ), отправив по и может опрокинуться (или выстрелить одной своей фишке каждому из четырех соседей:

z(x,y)\rightarrow z(x,y)-4,

z(x\pm 1,y)\rightarrow z(x\pm 1,y)+1,

z(x,y\pm 1)\rightarrow z(x,y\pm 1)+1.

Поскольку начальная конфигурация конечна, процесс гарантированно завершится с разлетом зерен наружу.

Приведен популярный частный случай этой модели, когда начальная конфигурация равна нулю для всех вершин, кроме начала координат. Если начало координат несет в себе огромное количество песчинок, то конфигурация после релаксации образует фрактальные узоры (см. рисунок). Было показано, что если исходное количество зерен в начале координат стремиться к бесконечности, то стабилизированные конфигурации с измененным масштабом сходятся к уникальному пределу. ^[10]^[11]

Модели песочницы на ориентированных графах

Модель песочницы можно обобщить на произвольные направленные мультиграфы. Правила заключаются в том, что любая вершина $v$ с

z(v)\geq \deg ^{+}(v)

является нестабильным; повторное опрокидывание отправляет фишки каждому из своих соседей, по одному вдоль каждого исходящего ребра:

z(v)\rightarrow z(v)-\deg ^{+}(v)+\deg(v,v)

и для каждого $u\neq v$ :

z(u)\rightarrow z(u)+\deg(v,u)

где $\deg(v,u)$ количество ребер из $v$ к $u$ .

В этом случае матрица Лапласа несимметрична. Если мы укажем раковину $s$ такая, что существует путь из каждой второй вершины в $s$ , то операция стабилизации на конечных графах корректно определена и группу песочницы можно записать

\mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '

как раньше.

Порядок группы песочниц снова является определяющим фактором. $\Delta '$ , что по общей версии теоремы о матричном дереве представляет собой количество ориентированных остовных деревьев с корнями в стоке.

Расширенная модель песчаной кучи

Чтобы лучше понять структуру группы песочниц для различных конечных выпуклых сеток. $\Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}$ стандартной квадратной решетки $\mathbb {Z} ^{2}$ Ланг и Школьников представили расширенную модель песчаной кучи в 2019 году. ^[14] Расширенная модель песчаной кучи определяется почти точно так же, как и обычная модель песчаной кучи (т. е. исходная модель Бака – Танга – Визенфельда). ^[1]), за исключением того, что вершины на границе $\partial \Gamma$ сетки теперь разрешено содержать неотрицательное действительное число зерен. Напротив, вершины внутри сетки по-прежнему могут содержать только целое число зерен. Правила опрокидывания остаются неизменными, т.е. предполагается, что как внутренние, так и граничные вершины становятся нестабильными и опрокидываются, если число зерен достигает или превышает четыре.

Также рекуррентные конфигурации расширенной модели песчаной кучи образуют абелеву группу, называемую расширенной группой песчаных куч которой является обычная группа песчаных куч , дискретной подгруппой . В отличие от обычной группы песчаных куч, расширенная группа песчаных куч, однако, представляет собой непрерывную группу Ли . Поскольку он создается только путем добавления песчинок к границе $\partial \Gamma$ сетки расширенная группа песочниц, кроме того, топологию тора имеет размерности $|\partial \Gamma |$ и объем, заданный порядком обычной группы песчаных отвалов. ^[14]

Особый интерес представляет вопрос, как динамически изменяются рекуррентные конфигурации вдоль непрерывных геодезических этого тора, проходящих через единицу. Этот вопрос приводит к определению динамики песчаной кучи.

D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }

(расширенная модель песчаной кучи)

соответственно

{\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }

(обычная модель песочницы)

индуцированная целочисленной гармонической функцией $H$ во время $t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z}$ , с $I$ принадлежность группы песчаных отвалов и $\lfloor .\rfloor$ функция пола. ^[14] Для полиномиальных гармонических функций низкого порядка динамика песочницы характеризуетсяплавная трансформация и видимая консервация патчейсоставляющие идентичность песочной кучи. Например, гармоническая динамика, вызванная $H=xy$ напоминают «плавное растягивание» личности по основным диагоналям, визуализируемое в анимации. Кроме того, предполагалось, что конфигурации, возникающие в динамике, индуцированной одной и той же гармонической функцией на квадратных сетках разных размеров, слабо сходятся, а это означает, что для них предположительно существуют пределы масштабирования. ^[14] Это предполагает естественную перенормировку расширенных и обычных групп песочниц, что означает отображение рекуррентных конфигураций в данной сетке в рекуррентные конфигурации в подсетке. Неформально эта перенормировка просто отображает конфигурации, возникающие в данный момент времени. $t$ в динамике песочницы, индуцированной некоторой гармонической функцией $H$ на более крупной сетке к соответствующим конфигурациям, которые появляются в то же время в динамике песчаной кучи, вызванной ограничением $H$ в соответствующую подсетку. ^[14]

Делимая песочница

Сильно связанная модель — это так называемая модель делимой песочницы , представленная Левином и Пересом в 2008 году. ^[15] в котором вместо дискретного числа частиц в каждом узле $x$ , есть реальное число $s(x)$ представляющий количество массы на сайте. Если такая масса отрицательна, ее можно понимать как дырку. Падение происходит всякий раз, когда масса объекта превышает 1; он равномерно распределяет избыток между своими соседями, в результате чего, если сайт вовремя заполнен $t$ , он будет заполнен на все последующие времена.

Культурные ссылки

Песчаная куча Бак-Танг-Визенфельд была упомянута в эпизоде Numb3rs «Буйство», когда математик Чарли Эппес объясняет своим коллегам решение уголовного расследования.

Компьютерная игра Hexplode основана на модели абелевой песочницы на конечной гексагональной сетке, где вместо случайного размещения зерен игроки размещают зерна.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Бак, П. ; Тан, К. ; Визенфельд, К. (1987). «Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1/ ƒ ». Письма о физических отзывах . 59 (4): 381–384. Бибкод : 1987PhRvL..59..381B . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.381 . ПМИД 10035754 .
^ Дхар, Д. (1990). «Самоорганизованное критическое состояние моделей песчаных автоматов». Письма о физических отзывах . 64 (14): 1613–1616. дои : 10.1103/PhysRevLett.64.1613 . ПМИД 10041442 .
^ Дхар, Д. (2006). «Теоретические исследования самоорганизованной критичности». Физика А. 369 (14): 29–70. дои : 10.1016/j.physa.2006.04.004 . ПМИД 10041442 .
^ Дхар, Д ; Сандху, Т. (2013). «Модель песочницы для пропорционального роста». Дж. Стат. Мех. 2013 (11): 1613–1616. arXiv : 1310.1359 . дои : 10.1088/1742-5468/2013/11/P11006 . ПМИД 10041442 . S2CID 119108933 .
^ Холройд, А.; Левин, Л.; Месарош, К.; Перес, Ю.; Пропп, Дж.; Уилсон, Б. (2008). «Сброс чипов и маршрутизация роторов на ориентированных графах». Вход и выход из равновесия 2 . Прогресс в теории вероятностей. Том. 60. стр. 331–364. arXiv : 0801.3306 . Бибкод : 1987PhRvL..59..381B . дои : 10.1007/978-3-7643-8786-0_17 . ISBN 978-3-7643-8785-3 . S2CID 7313023 .
^ Биггс, Норман Л. (25 июня 1997 г.). «Сброс чипов и критическая группа графа» (PDF) . Журнал алгебраической комбинаторики : 25–45 . Проверено 10 мая 2014 г.
^ С. Могими-Араги; М. А. Раджабпур; С. Рухани (2004). «Модель абелевой песочницы: точка зрения конформной теории поля». Ядерная физика Б . 718 (3): 362–370. arXiv : cond-mat/0410434 . Бибкод : 2005НуФБ.718..362М . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2005.04.002 . S2CID 16233977 .
^ Фей, А.; Левин, Л.; Перес, Ю. (2010). «Темпы роста и взрывы в песчаных отвалах». Журнал статистической физики . 138 (1–3): 143–159. arXiv : 0901.3805 . Бибкод : 2010JSP...138..143F . дои : 10.1007/s10955-009-9899-6 . ISSN 0022-4715 . S2CID 7180488 .
^ Пегден, Уэсли; Смарт, Чарльз (2017). «Устойчивость узоров в абелевой песочнице». arXiv : 1708.09432 [ math.AP ].
^ Jump up to: ^а ^б Пегден, Уэсли; Смарт, Чарльз (2013). «Конвергенция абелевой песчаной кучи». Математический журнал Дьюка . 162 (4): 627–642. arXiv : 1105.0111 . дои : 10.1215/00127094-2079677 . S2CID 13027232 .
^ Jump up to: ^а ^б Левин, Лайонел; Пегден, Уэсли (2016). «Аполлоническая структура в абелевой песочнице». Геометрический и функциональный анализ . 26 (1): 306–336. дои : 10.1007/s00039-016-0358-7 . hdl : 1721.1/106972 . S2CID 119626417 .
^ Калинин Никита; Школьников, Михаил (01.02.2016). «Тропические кривые в песчаных кучах» (PDF) . Comptes Rendus Mathematique . 354 (2): 125–130. дои : 10.1016/j.crma.2015.11.003 . ISSN 1631-073X .
^ Кэрнс, Ханна (2018). «Некоторые проблемы остановки абелевых песчаных отвалов неразрешимы в третьем измерении». SIAM Journal по дискретной математике . 32 (4): 2636–2666. arXiv : 1508.00161 . дои : 10.1137/16M1091964 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Ланг, Мориц; Школьников Михаил (19 февраля 2019 г.). «Гармоническая динамика абелевой песчаной кучи» . Труды Национальной академии наук . 116 (8): 2821–2830. arXiv : 1806.10823 . Бибкод : 2019PNAS..116.2821L . дои : 10.1073/pnas.1812015116 . ISSN 0027-8424 . ПМК 6386721 . ПМИД 30728300 .
^ Левин, Лайонел; Перес, Юваль (29 октября 2008 г.). «Сильная сферическая асимптотика для агрегации ротор-маршрутизатор и делимая песочница». Потенциальный анализ . 30 (1): 1–27. arXiv : 0704.0688 . дои : 10.1007/s11118-008-9104-6 . ISSN 0926-2601 . S2CID 2227479 .

Дальнейшее чтение

Пер Бак (1996). Как устроена природа: наука самоорганизованной критичности . Нью-Йорк: Коперник. ISBN 978-0-387-94791-4 .
Пер Бак; Чао Тан; Курт Визенфельд (1987). «Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1/ ƒ ». Письма о физических отзывах . 59 (4): 381–384. Бибкод : 1987PhRvL..59..381B . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.381 . ПМИД 10035754 .
Пер Бак; Чао Тан; Курт Визенфельд (1988). «Самоорганизованная критичность». Физический обзор А. 38 (1): 364–374. Бибкод : 1988PhRvA..38..364B . дои : 10.1103/PhysRevA.38.364 . ПМИД 9900174 .
Кори, Роберт; Россин, Доминик; Сальви, Бруно (2002). «Полиномиальные идеалы для песчаных куч и их баз Грёбнера» (PDF) . Теор. Вычислить. Наука . 276 (1–2): 1–15. дои : 10.1016/S0304-3975(00)00397-2 . Збл 1002.68105 .
Кливанс, Кэролайн (2018). Математика обжига стружки . ЦРК Пресс.
Перкинсон, Дэвид; Перлман, Джейкоб; Уилмс, Джон (2013). «Алгебраическая геометрия песчаных отвалов». В Амини — Омид; Бейкер, Мэтью; Фабер, Ксандер (ред.). Тропическая и неархимедова геометрия. Семинар Беллэрса по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрии, Научно-исследовательский институт Беллэрса, Хоултаун, Барбадос, США, 6–13 мая 2011 г. Современная математика. Том. 605. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 211–256. CiteSeerX 10.1.1.760.283 . дои : 10.1090/conm/605/12117 . ISBN 978-1-4704-1021-6 . S2CID 7851577 . Збл 1281.14002 .

Внешние ссылки

Гарсиа-Пуэнте, Луис Давид. «Песочницы» (видео на YouTube) . Ютуб . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 15 декабря 2021 г. Проверено 15 января 2017 г.
Элленберг, Джордан (06 октября 2021 г.). «Математика удивительной песочницы» . Наутилус Ежеквартально .
Фелпс, Кристофер (5 ноября 2021 г.). Интерактивная реализация моделей с квадратной решеткой на Python.

[Bak1987-1] Jump up to: ^а ^б Бак, П. ; Тан, К. ; Визенфельд, К. (1987). «Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1/ ƒ ». Письма о физических отзывах . 59 (4): 381–384. Бибкод : 1987PhRvL..59..381B . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.381 . ПМИД 10035754 .

[Dhar1990-2] Дхар, Д. (1990). «Самоорганизованное критическое состояние моделей песчаных автоматов». Письма о физических отзывах . 64 (14): 1613–1616. дои : 10.1103/PhysRevLett.64.1613 . ПМИД 10041442 .

[Dhar2006-3] Дхар, Д. (2006). «Теоретические исследования самоорганизованной критичности». Физика А. 369 (14): 29–70. дои : 10.1016/j.physa.2006.04.004 . ПМИД 10041442 .

[Dhar2013-4] Дхар, Д ; Сандху, Т. (2013). «Модель песочницы для пропорционального роста». Дж. Стат. Мех. 2013 (11): 1613–1616. arXiv : 1310.1359 . дои : 10.1088/1742-5468/2013/11/P11006 . ПМИД 10041442 . S2CID 119108933 .

[Hol2008-5] Холройд, А.; Левин, Л.; Месарош, К.; Перес, Ю.; Пропп, Дж.; Уилсон, Б. (2008). «Сброс чипов и маршрутизация роторов на ориентированных графах». Вход и выход из равновесия 2 . Прогресс в теории вероятностей. Том. 60. стр. 331–364. arXiv : 0801.3306 . Бибкод : 1987PhRvL..59..381B . дои : 10.1007/978-3-7643-8786-0_17 . ISBN 978-3-7643-8785-3 . S2CID 7313023 .

[6] Биггс, Норман Л. (25 июня 1997 г.). «Сброс чипов и критическая группа графа» (PDF) . Журнал алгебраической комбинаторики : 25–45 . Проверено 10 мая 2014 г.

[7] С. Могими-Араги; М. А. Раджабпур; С. Рухани (2004). «Модель абелевой песочницы: точка зрения конформной теории поля». Ядерная физика Б . 718 (3): 362–370. arXiv : cond-mat/0410434 . Бибкод : 2005НуФБ.718..362М . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2005.04.002 . S2CID 16233977 .

[Fey2010-8] Фей, А.; Левин, Л.; Перес, Ю. (2010). «Темпы роста и взрывы в песчаных отвалах». Журнал статистической физики . 138 (1–3): 143–159. arXiv : 0901.3805 . Бибкод : 2010JSP...138..143F . дои : 10.1007/s10955-009-9899-6 . ISSN 0022-4715 . S2CID 7180488 .

[Pegden2016-9] Пегден, Уэсли; Смарт, Чарльз (2017). «Устойчивость узоров в абелевой песочнице». arXiv : 1708.09432 [ math.AP ].

[Pegden2013-10] Jump up to: ^а ^б Пегден, Уэсли; Смарт, Чарльз (2013). «Конвергенция абелевой песчаной кучи». Математический журнал Дьюка . 162 (4): 627–642. arXiv : 1105.0111 . дои : 10.1215/00127094-2079677 . S2CID 13027232 .

[Levine2016-11] Jump up to: ^а ^б Левин, Лайонел; Пегден, Уэсли (2016). «Аполлоническая структура в абелевой песочнице». Геометрический и функциональный анализ . 26 (1): 306–336. дои : 10.1007/s00039-016-0358-7 . hdl : 1721.1/106972 . S2CID 119626417 .

[12] Калинин Никита; Школьников, Михаил (01.02.2016). «Тропические кривые в песчаных кучах» (PDF) . Comptes Rendus Mathematique . 354 (2): 125–130. дои : 10.1016/j.crma.2015.11.003 . ISSN 1631-073X .

[turing-13] Кэрнс, Ханна (2018). «Некоторые проблемы остановки абелевых песчаных отвалов неразрешимы в третьем измерении». SIAM Journal по дискретной математике . 32 (4): 2636–2666. arXiv : 1508.00161 . дои : 10.1137/16M1091964 .

[Lang2019-14] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Ланг, Мориц; Школьников Михаил (19 февраля 2019 г.). «Гармоническая динамика абелевой песчаной кучи» . Труды Национальной академии наук . 116 (8): 2821–2830. arXiv : 1806.10823 . Бибкод : 2019PNAS..116.2821L . дои : 10.1073/pnas.1812015116 . ISSN 0027-8424 . ПМК 6386721 . ПМИД 30728300 .

[15] Левин, Лайонел; Перес, Юваль (29 октября 2008 г.). «Сильная сферическая асимптотика для агрегации ротор-маршрутизатор и делимая песочница». Потенциальный анализ . 30 (1): 1–27. arXiv : 0704.0688 . дои : 10.1007/s11118-008-9104-6 . ISSN 0926-2601 . S2CID 2227479 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]