Математика обжига стружки

«Математика запуска чипов» — это учебник по математике, посвященный играм со стрельбой чипами и моделям абелевых песочниц . Он был написан Кэролайн Кливанс и опубликован в 2018 году издательством CRC Press .

Темы

Идентификатор модели абелевой песчаной кучи

Игра со стрельбой фишками в своей самой простой форме представляет собой процесс на неориентированном графе , в котором каждая вершина графа содержит некоторое количество фишек. На каждом шаге выбирается вершина, у которой чипов больше, чем инцидентных ребер, и один из ее чипов отправляется каждому из ее соседей. Если одна вершина обозначена как «черная дыра», то есть отправленные в нее чипы исчезают, то результат процесса одинаков, независимо от того, в каком порядке выбраны другие вершины. Устойчивыми состояниями этого процесса являются те, в которых ни одна вершина не имеет достаточного количества фишек для выбора; два стабильных состояния можно добавить, объединив их фишки и затем стабилизировав результат. Подмножество этих состояний, так называемые критические состояния, при этой операции сложения образуют абелеву группу . Модель абелевой песочницы применяет эту модель к большим графам сетки , где черная дыра соединена с граничными вершинами сетки; в этой формулировке, когда все подходящие вершины выбраны одновременно, ее также можно интерпретировать как клеточный автомат. . Опознавательный элемент группы песочниц часто имеет необычную фрактальную структуру.

Книга охватывает эти темы и разделена на две части. Первая из этих частей охватывает основную теорию, изложенную выше, формулируя запуск чипов в терминах алгебраической теории графов и матрицы Лапласа данного графа. Он описывает эквивалентность состояний группы песочницы и остовных деревьев графа, а также действие группы на остовных деревьях, а также аналогичные связи с другими комбинаторными структурами и приложения этих связей в алгебраической комбинаторике . И он изучает игры со стрельбой фишками на других классах графов, помимо сеток, включая случайные графы .

Вторая часть книги состоит из четырех глав, посвященных более сложным темам чип-обжига. Первый из них обобщает чип-обработку лапласовых матриц графов на М-матрицы , связывая это обобщение с корневыми системами и теорией представлений . Второй рассматривает использование чипов на абстрактных симплициальных комплексах вместо графов. Третий использует чип-обжиг для изучения теоретико-графовых аналогов теории дивизоров и теоремы Римана-Роха . А четвертый применяет методы коммутативной алгебры к изучению стрельбы чипами.

Книга содержит множество иллюстраций, а каждую главу завершает набор упражнений, что делает ее пригодной в качестве учебника для курса по этой теме.

Аудитория и прием

Хотя книгу могут читать некоторые студенты-математики, рецензент Дэвид Перкинсон предполагает, что ее основной аудиторией должны быть аспиранты-математики, для которых она может быть использована в качестве основы для аспирантуры или семинара. Он называет это «тщательным введением в захватывающую и развивающуюся тему» ​​с «ясным и кратким изложением». Рецензент Пол Дрейер называет это «глубоким погружением» в «невероятно глубокую математику».

Другая книга на ту же общую тему, опубликованная примерно в то же время, — «Дивизоры и песочницы: введение в чип-обжиг» Корри и Перкинсона (Американское математическое общество, 2018). Оно написано на более низком уровне и предназначено для студентов бакалавриата, охватывает в основном материал из первой части «Математики чип-обжига» и построено больше в терминах алгебраической геометрии, чем комбинаторики.