Векторный пакет

В математике векторное расслоение — это топологическая конструкция, которая уточняет идею семейства векторных пространств , параметризованных другим пространством. $X$ (например $X$ может быть топологическим пространством , многообразием или алгебраическим многообразием ): в каждую точку $x$ пространства $X$ мы связываем (или «присоединяем») векторное пространство $V(x)$ таким образом, что эти векторные пространства объединяются, образуя другое пространство того же типа, что и $X$ (например, топологическое пространство, многообразие или алгебраическое многообразие), которое затем называется векторным расслоением над $X$ .

Простейшим примером является случай, когда семейство векторных пространств постоянно, т. е. существует фиксированное векторное пространство. $V$ такой, что $V(x)=V$ для всех $x$ в $X$ : в данном случае есть копия $V$ для каждого $x$ в $X$ и эти копии соединяются вместе, образуя векторное расслоение $X\times V$ над $X$ . Такие векторные расслоения называются тривиальными . Более сложный (и прототипический) класс примеров — это касательные расслоения : гладких (или дифференцируемых) многообразий к каждой точке такого многообразия мы присоединяем касательное пространство к многообразию в этой точке. Касательные расслоения, вообще говоря, не являются тривиальными расслоениями. Например, касательное расслоение сферы нетривиально по теореме о волосатом шаре . В общем, многообразие называется параллелизуемым тогда и только тогда, когда его касательное расслоение тривиально.

Векторные расслоения почти всегда должны быть локально тривиальными , что означает, что они являются примерами расслоений . Кроме того, векторные пространства обычно должны быть над действительными или комплексными числами , и в этом случае векторное расслоение называется действительным или комплексным векторным расслоением (соответственно). Комплексные векторные расслоения можно рассматривать как вещественные векторные расслоения с дополнительной структурой. Далее мы сосредоточимся на вещественных векторных расслоениях в категории топологических пространств .

Определение и первые последствия

Реальное векторное расслоение состоит из:

топологические пространства $X$ ( базовое пространство ) и $E$ ( общая площадь )
сюръекция непрерывная $\pi :E\to X$ ( проекция пучка )
для каждого $x$ в $X$ , структура конечномерного вещественного векторного пространства на слое $\pi ^{-1}(\{x\})$

где выполнено следующее условие совместимости: для каждой точки $p$ в $X$ , есть открытое окружение $U\subseteq X$ из $p$ , натуральное число $k$ и гомеоморфизм

\varphi \colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)

такой, что для всех $x$ в $U$ ,

$(\pi \circ \varphi )(x,v)=x$ для всех векторов $v$ в $\mathbb {R} ^{k}$ , и
карта $v\mapsto \varphi (x,v)$ является линейным изоморфизмом между векторными пространствами $\mathbb {R} ^{k}$ и $\pi ^{-1}(\{x\})$ .

Открытый район $U$ вместе с гомеоморфизмом $\varphi$ называется локальной тривиализацией векторного расслоения. Локальная тривиализация показывает, что локально отображение $\pi$ "выглядит как" проекция $U\times \mathbb {R} ^{k}$ на $U$ .

Каждое волокно $\pi ^{-1}(\{x\})$ является конечномерным вещественным векторным пространством и, следовательно, имеет размерность $k_{x}$ . Локальные тривиализации показывают, что функция $x\to k_{x}$ и локально постоянна , следовательно, постоянна на каждом связном компоненте $X$ . Если $k_{x}$ равно константе $k$ на всех $X$ , затем $k$ называется рангом векторного расслоения, а $E$ называется векторным расслоением ранга $k$ . Часто определение векторного расслоения включает в себя четкое определение ранга, так что $k_{x}$ является постоянным. Векторные расслоения ранга 1 называются линейными расслоениями , а расслоения ранга 2 реже называются плоскими расслоениями.

Декартово произведение $X\times \mathbb {R} ^{k}$ , оснащенный проекцией $X\times \mathbb {R} ^{k}\to X$ , называется тривиальным расслоением ранга $k$ над $X$ .

Функции перехода

Учитывая векторное расслоение $E\to X$ ранга $k$ , и пара окрестностей $U$ и $V$ над которым расслоение тривиализуется через

{\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U),\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{aligned}}

составная функция

\varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}

четко определен на перекрытии и удовлетворяет

\varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)

для некоторых ${\text{GL}}(k)$ -значная функция

g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).

Они называются функциями перехода (или преобразованиями координат ) векторного расслоения.

Набор что функций перехода образует коцикл Чеха в том смысле,

g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I

для всех $U,V,W$ над которым расслоение упрощается, удовлетворяя $U\cap V\cap W\neq \emptyset$ . Таким образом, данные $(E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})$ определяет расслоение волокон ; дополнительные данные о $g_{UV}$ указывает ${\text{GL}}(k)$ группа структур, в которой действие на волокно является стандартным действием ${\text{GL}}(k)$ .

И наоборот, для данного пучка волокон $(E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})$ с ${\text{GL}}(k)$ коцикл, действующий стандартным образом на волокно $\mathbb {R} ^{k}$ , существует связанное векторное расслоение. Это пример теоремы о построении расслоений для векторных расслоений, и его можно рассматривать как альтернативное определение векторного расслоения.

Подпакеты

Линейный подпакет $L$ тривиального векторного расслоения ранга 2 $E$ над одномерным многообразием $M$ .

Один простой метод построения векторных расслоений — это взятие подрасслоений из других векторных расслоений. Учитывая векторное расслоение $\pi :E\to X$ в топологическом пространстве подрасслоение — это просто подпространство $F\subset E$ для чего ограничение $\left.\pi \right|_{F}$ из $\pi$ к $F$ дает $\left.\pi \right|_{F}:F\to X$ также структура векторного расслоения. В этом случае волокно $F_{x}\subset E_{x}$ является векторным подпространством для каждого $x\in X$ .

Подрасслоение тривиального расслоения не обязательно должно быть тривиальным, и действительно, каждое вещественное векторное расслоение над компактом можно рассматривать как подрасслоение тривиального расслоения достаточно высокого ранга. Например, полосу Мёбиуса , нетривиальное линейное расслоение над окружностью, можно рассматривать как подрасслоение тривиального расслоения ранга 2 над окружностью.

Морфизмы векторных расслоений

Морфизм , векторного расслоения $π$ ₁ : E ₁ → X ₁ в векторное расслоение $π$ ₂ : E ₂ → X ₂ задается парой непрерывных отображений f : E ₁ → E ₂ и g : X ₁ → X ₂ таких что

г ∘

π

₁ знак равно

π

₂ ∘ ж

для каждого x в X ₁ отображение

π

₁⁻¹({ x }) →

π

₂⁻¹({ g ( x )}), f индуцированный , является линейным отображением векторных пространств.

Обратите внимание, что g определяется f (поскольку $π$ ₁ сюръективно), и f тогда говорят, что покрывает g .

Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует категорию . Ограничиваясь векторными расслоениями, для которых пространства являются многообразиями (а проекции расслоений являются гладкими отображениями) и гладкими морфизмами расслоений, мы получаем категорию гладких векторных расслоений. Морфизмы векторных расслоений являются частным случаем понятия отображения расслоений между расслоениями и иногда называются гомоморфизмами (векторных) расслоений .

Гомоморфизм расслоения из E ₁ в E ₂ с обратным , который также является гомоморфизмом расслоения (из E ₂ в E ₁ ), называется (векторным) изоморфизмом расслоения , и тогда E ₁ и E ₂ называются изоморфными векторными расслоениями. Изоморфизм k векторного расслоения E ) над X с тривиальным расслоением (ранга k над X ) называется тривиализацией E ( ранга , и тогда E называется тривиальным (или тривиализируемым ). Определение векторного расслоения показывает, что любое векторное расслоение локально тривиально .

Мы также можем рассмотреть категорию всех векторных расслоений над фиксированным базовым пространством X . В качестве морфизмов этой категории мы возьмем те морфизмы векторных расслоений, отображение которых на базовом пространстве является тождественным отображением на X . следующая диаграмма То есть морфизмы расслоений, для которых коммутирует :

(Обратите внимание, что эта категория не абелева ; ядро морфизма векторных расслоений, вообще говоря, не является векторным расслоением каким-либо естественным образом.)

Морфизм векторного расслоения между векторными расслоениями $π$ ₁ : E ₁ → X ₁ и $π$ ₂ : E ₂ → X _2, покрывающий отображение g из X ₁ в X _2, также можно рассматривать как морфизм векторного расслоения над X ₁ из E ₁ в X 2. расслоение обратных связей g * E ₂ .

Сечения и локально свободные пучки

Учитывая векторное расслоение $π$ : E → X и открытое подмножество U в X , мы можем рассматривать сечения π $U$ на , т.е. непрерывные функции s : U → E , где композиция $π$ ∘ s такова, что ( $π$ ∘ s )( u ) = ты для всех ты в U . По сути, секция присваивает каждой точке U непрерывно вектор из присоединенного векторного пространства. Например, сечения касательного расслоения дифференциального многообразия представляют собой не что иное, как векторные поля на этом многообразии.

Пусть F ( U множество всех сечений на U. ) — F ( U ) всегда содержит хотя бы один элемент, а именно нулевое сечение : функцию s , которая отображает каждый элемент x из U в нулевой элемент векторного пространства $π.$ ⁻¹({ х }). При поточечном сложении и скалярном умножении секций F ( U ) само становится реальным векторным пространством. Коллекция этих векторных пространств представляет собой пучок векторных пространств на X .

Если s — элемент F ( U ) и α: U → R — непрерывное отображение, то α s (поточечное скалярное умножение) находится в F ( U ). Мы видим, что ( U ) — модуль над кольцом непрерывных вещественных функций на U. F Более того, если O _X обозначает структурный пучок непрерывных вещественных функций на X , то F становится пучком O _X -модулей.

Не каждый пучок O _X -модулей возникает таким образом из векторного расслоения: возникают только локально свободные . (Причина: локально ищем сечения проекции U × R ^к → У ; это именно непрерывные функции U → R ^к, и такая функция представляет собой k - набор непрерывных функций U → R .)

Более того: категория вещественных векторных расслоений на X эквивалентна X категории локально свободных и конечно порожденных пучков O _{-модулей} .

Таким образом, мы можем думать о категории вещественных векторных расслоений на X как о находящейся внутри категории пучков O _X -модулей ; эта последняя категория абелева, поэтому именно здесь мы можем вычислить ядра и коядра морфизмов векторных расслоений.

Векторное расслоение ранга n тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет n линейно независимых глобальных секций.

Операции над векторными расслоениями

Большинство операций над векторными пространствами можно расширить до векторных расслоений, выполняя операции с векторным пространством послойно .

Например, если E — векторное расслоение над X , то существует расслоение E* над X , называемое двойственным расслоением , слой которого в точке x ∈ X является двойственным векторным пространством ( E _x )*. Формально E* можно определить как множество пар ( x , φ), где x ∈ X и φ ∈ ( E _x )*. Двойственное расслоение локально тривиально, поскольку двойственное пространство к обратному локальному тривиализации E является локальной тривиализацией E* : ключевым моментом здесь является то, что операция взятия двойственного векторного пространства является функториальной .

Существует множество функториальных операций, которые можно выполнять над парами векторных пространств (над одним и тем же полем), и они непосредственно распространяются на пары векторных расслоений E , F на X (над данным полем). Далее следует несколько примеров.

Сумма Уитни (названная в честь Хасслера Уитни ) или расслоение прямой суммы E и F — это векторное расслоение E ⊕ F над X , слой которого над x является прямой суммой E _x ⊕ F _x векторных пространств E _x и F _x .
Расслоение тензорных произведений E ⊗ F определяется аналогичным образом с использованием послойного тензорного произведения векторных пространств.
Hom -расслоение Hom( E , F ) — это векторное расслоение, слой которого в точке x представляет собой пространство линейных отображений из E _x в F _x (которое часто обозначается Hom ( E _x , F _x ) или L ( E _x , F _х )). Hom-расслоение так называется (и полезно), потому что существует взаимно однозначное соответствие между гомоморфизмами векторного расслоения из E в F над X и сечениями Hom( E , F ) над X .
Основываясь на предыдущем примере, учитывая сечение s расслоения эндоморфизмов E Hom( , E ) и функцию f : X → R , можно построить собственное расслоение , взяв слой над точкой x ∈ X в качестве f ( x )- собственное пространство линейного отображения s ( x ): E _x → E _x . Хотя эта конструкция является естественной, если не принять меры, результирующий объект не будет иметь локальных тривиализаций. Рассмотрим случай, когда s является нулевой секцией, а f имеет изолированные нули. Слой над этими нулями в полученном «собственном расслоении» будет изоморфен слою над ними в E , тогда как везде слой представляет собой тривиальное 0-мерное векторное пространство.
Двойственное векторное расслоение E* — это расслоение Hom( E , R × X ) гомоморфизмов расслоения E и тривиальное расслоение R × X . Существует канонический изоморфизм векторных расслоений Hom( E , F ) = * ⊗ F. E

Каждая из этих операций является частным примером общей особенности расслоений: многие операции, которые можно выполнить над категорией векторных пространств , также можно выполнить и над категорией векторных расслоений функториальным образом . Это уточняется на языке гладких функторов . Операцией иного характера является построение обратных связок . Учитывая векторное расслоение E → Y и непрерывное отображение f : X → Y, можно «вернуть» E к векторному расслоению f*E над X . Слой над точкой x ∈ X по сути, просто слой над f ( x ) ∈ Y. — это , Следовательно, суммирование Уитни E ⊕ F можно определить как расслоение обратного образа диагонального отображения из X в X × X , где расслоение над X × X есть E × F .

Замечание : Пусть X — компакт . Любое векторное расслоение E над X является прямым слагаемым тривиального расслоения; т.е. существует расслоение E ' такое, что E ⊕ E ' тривиально. Это не работает, если X не компактно: например, тавтологическое линейное расслоение над бесконечным вещественным проективным пространством не обладает этим свойством. ^[1]

Дополнительные структуры и обобщения

Векторным расслоениям часто придается больше структуры. Например, векторные расслоения могут быть оснащены метрикой векторного расслоения . Обычно эта метрика должна быть положительно определенной , и в этом случае каждый слой E становится евклидовым пространством . Векторному расслоению с комплексной структурой соответствует комплексное векторное расслоение , которое также можно получить, заменив в определении вещественные векторные пространства на комплексные и потребовав, чтобы все отображения были комплексно-линейными в слоях. В более общем смысле, дополнительную структуру, налагаемую на векторное расслоение, обычно можно понять с точки зрения результирующего сокращения структурной группы расслоения . векторные расслоения над более общими топологическими полями Также могут использоваться .

Если вместо конечномерного векторного пространства слой F взять банаховым пространством , то банахово расслоение . получится ^[2] В частности, необходимо потребовать, чтобы локальные тривиализации были изоморфизмами банахова пространства (а не просто линейными изоморфизмами) на каждом из слоев и чтобы, кроме того, переходы

g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)

являются непрерывными отображениями банаховых многообразий . В соответствующей теории для C ^п расслоения, все отображения должны быть C ^п.

Векторные расслоения — это специальные расслоения , слои которых представляют собой векторные пространства и чей коцикл соблюдает структуру векторного пространства. Могут быть построены более общие пучки волокон, в которых волокно может иметь другую структуру; например, пучки сфер расслоены сферами.

Гладкие векторные расслоения

Векторное расслоение ( E , p , M ) является гладким , если E и M — гладкие многообразия , p: E → M — гладкое отображение, а локальные тривиализации являются диффеоморфизмами . В зависимости от требуемой степени гладкости существуют различные соответствующие понятия C ^п расслоения, бесконечно дифференцируемые C ^∞-расслоения и реальный аналитический C ^ой-связки. В этом разделе мы сосредоточимся на C. ^∞-связки. Самый важный пример C ^∞-векторное расслоение — это касательное расслоение ( TM , $π$ _TM , M ) к C ^∞-многообразие М .

Гладкое векторное расслоение можно охарактеризовать тем, что оно допускает описанные выше функции перехода, которые являются гладкими функциями на перекрытиях тривиализирующих карт U и V . То есть векторное расслоение E является гладким, если оно допускает покрытие тривиализацией открытых множеств такое, что для любых двух таких множеств U и V функция перехода

g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )

— гладкая функция в матричную группу GL(k, R ), которая является группой Ли .

Аналогично, если функции перехода:

С ^р тогда векторное расслоение является C ^р векторный пучок ,
вещественно -аналитическое , то векторное расслоение является вещественно-аналитическим векторным расслоением (для этого требуется, чтобы группа матриц имела вещественную аналитическую структуру),
голоморфно , то векторное расслоение является голоморфным векторным расслоением (для этого требуется, чтобы группа матриц была комплексной группой Ли ),
алгебраические функции , то векторное расслоение является алгебраическим векторным расслоением (для этого требуется, чтобы группа матриц была алгебраической группой ).

С ^∞-векторные расслоения ( E , p , M ) обладают очень важным свойством, которого нет у более общих C ^∞- пучки волокон. А именно, касательное пространство T _v ( E _x ) в любой точке v ∈ E _x естественным образом отождествляется с Ex _{самим слоем} . Эта идентификация достигается с помощью вертикального подъема vl _v : E _x → T _v ( E _x ), определяемого как

\operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).

Вертикальный подъем также можно рассматривать как естественную букву C. ^∞изоморфизм -векторного расслоения p*E → VE , где ( p*E , p*p , E ) — расслоение обратного образа ( E , p , M ) над E через p : E → M и VE := Ker ( p _* ) ⊂ TE — вертикальное касательное расслоение , естественное векторное подрасслоение касательного расслоения ( TE , $π$ _TE , E полного пространства E. )

Полное пространство E любого гладкого векторного расслоения содержит естественное векторное поле V _v := vl _v v , известное как каноническое векторное поле . Более формально, V является гладким сечением ( TE , $π$ _TE , E ), и его также можно определить как бесконечно малый генератор действия группы Ли. $(t,v)\mapsto e^{tv}$ задается послойным скалярным умножением. Каноническое векторное поле V полностью характеризует гладкую структуру векторного расслоения следующим образом. Для подготовки отметим, что когда X — гладкое векторное поле на гладком многообразии M и x ∈ M такое, что X _x = 0, линейное отображение

C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}

не зависит от выбора линейной ковариантной производной ∇ на M . Каноническое векторное поле V на E удовлетворяет аксиомам

Поток ( t , v ) → Φ ^т_V ( v ) из V определяется глобально.
Для каждого v ∈ V существует единственный lim _t→∞ Φ ^т_V( v ) ∈ V .
C _v ( V )∘ C _v ( V ) = C _v ( V ) всякий раз, когда V _v = 0.
Нулевое множество V коразмерность — это гладкое подмногообразие E , которого ( равна рангу C _v ) V .

И наоборот, если E — любое гладкое многообразие, а V — гладкое векторное поле на E, существует уникальная структура векторного расслоения, удовлетворяющее условиям 1–4, то на E каноническим векторным полем которого является V .

Для любого гладкого векторного расслоения ( E , p , M ) общее пространство TE его касательного расслоения ( TE , $π$ _TE , E ) имеет естественную вторичную структуру векторного расслоения ( TE , p _* , TM ), где p _* - это толчок -вперед канонической проекции p : E → M . Операции с векторным расслоением в этой вторичной структуре векторного расслоения — это продвижение вперед + _* : T ( E × E ) → TE и λ _* : TE → TE исходного сложения +: E × E → E и скалярное умножение λ: E → Э.

К-теория

Группа K-теории $K (X)$ компактного топологического пространства Хаусдорфа определяется как абелева группа, порожденная классами изоморфизма $[E]$ комплексных векторных расслоений по модулю отношения , которое всякий раз, когда у нас есть точная последовательность $0\to A\to B\to C\to 0,$ затем $[B]=[A]+[C]$ в топологической К-теории . КО-теория — это версия этой конструкции, которая рассматривает вещественные векторные расслоения. Также можно определить K-теорию с компактными носителями , а также высшие группы K-теории.

Знаменитая теорема периодичности Рауля Ботта утверждает, что K-теория любого пространства $X$ изоморфна теории $S 2 X$ двойная подвеска $X.$ ,

В алгебраической геометрии рассматриваются группы К-теории, состоящие из когерентных пучков на схеме $X$ , а также группы К-теории векторных расслоений на схеме с указанным выше отношением эквивалентности . Эти две конструкции одинаковы при условии, что лежащая в их основе схема является гладкой .

См. также

Общие понятия

Грассманиан : классифицирующие пространства для векторных расслоений, среди которых проективные пространства для линейных расслоений.
Класс характеристики
Принцип разделения
Стабильный пакет

Топология и дифференциальная геометрия

Соединение : понятие, необходимое для дифференциации участков векторных расслоений.
Калибровочная теория : общее исследование связей на векторных расслоениях и главных расслоениях и их связи с физикой.

Алгебраическая и аналитическая геометрия

Примечания

^ Хэтчер 2003 , Пример 3.6.
^ Ланг 1995 .

Источники

Авраам, Ральф Х .; Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, см. раздел 1.5, ISBN. 978-0-8053-0102-1 .
Хэтчер, Аллен (2003), Векторные расслоения и K-теория (изд. 2.0) .
Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1 , см. раздел 1.5.
Ланг, Серж (1995), Дифференциальные и римановы многообразия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94338-1 .
Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , том. 107, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-4815-9 .
Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95448-1 см. гл.5
Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Берлин/Бостон: Уолтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3 .

Внешние ссылки

[FOOTNOTEHatcher2003Example_3.6-1] Хэтчер 2003 , Пример 3.6.

[FOOTNOTELang1995-2] Ланг 1995 .

[1]

[2]