Аксиомы Биркгофа

В 1932 году Г. Д. Биркгоф создал комплекс из четырёх постулатов евклидовой геометрии на плоскости, иногда называемый аксиомами Биркгофа . ^{[ 1 ]} Все эти постулаты основаны на базовой геометрии , которую можно подтвердить экспериментально с помощью шкалы и транспортира . Поскольку постулаты основаны на действительных числах , этот подход аналогичен введению в евклидову геометрию на основе моделей .

Биркгофа Аксиоматическая система была использована в учебнике для средней школы Биркгофом и Битли. ^{[ 2 ]} Эти аксиомы были также изменены школьной исследовательской группой по математике , чтобы обеспечить новый стандарт преподавания геометрии в средней школе, известный как аксиомы SMSG . В нескольких других учебниках по основам геометрии используются варианты аксиом Биркгофа. ^{[ 3 ]}

Четыре постулата Биркгофа.

Расстояние между двумя точками $A$ и $B$ обозначается $d (A, B)$ , а угол, образованный тремя точками $A, B, C,$ обозначается $∠ ABC$ .

Постулат I: Постулат меры линии . Множество точек ${A, B, ...}$ на любой прямой можно привести в соответствие 1:1 с действительными числами ${a, b, ...}$ так, что $| б - а | знак равно d (A, B)$ для всех точек $A$ и $B$ .

Постулат II: Постулат точки-линии . Существует одна и только одна прямая $ℓ$ содержащая любые две различные точки $P$ и $Q.$ ,

Постулат III: Постулат меры угла . Набор лучей ${ℓ, m, n, ...},$ проходящих через любую точку $O,$ можно привести в соответствие 1:1 с действительными числами $a (mod 2 π)$ , так что если $A$ и $B$ являются точками (не равными $O$ ) из $ℓ$ и $m$ соответственно, разность $a m - a ℓ (mod 2π)$ чисел, связанных с прямыми $ℓ$ и $m,$ равна $∠ AOB$ . Более того, если точка $B$ на $m$ меняется непрерывно на прямой $r,$ не содержащей вершину $O$ число $am, то$ также меняется непрерывно.

Постулат IV: Постулат подобия . Даны два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$ и некоторая константа $k > 0$ такая, что $d (A', B') = kd (A, B), d (A', C') = kd (A, C)$ и $∠ B'A'C' = \pm∠ BAC$ , тогда $d (B', C') = kd (B, C), ∠ C'B'A' = \pm∠ CBA$ и $∠ A'C'B' = \pm∠ ACB$ .

См. также

Ссылки

^ Биркгоф, Джордж Дэвид (1932), «Набор постулатов плоской геометрии (на основе масштаба и транспортиров)», Annals of Mathematics , 33 (2): 329–345, doi : 10.2307/1968336 , hdl : 10338.dmlcz/ 147209 , JSTOR 1968336
^ Биркгоф, Джордж Дэвид ; Битли, Ральф (2000) [первое издание, 1940 г.], Основная геометрия (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2101-5
^ Келли, Пол Джозеф; Мэтьюз, Гордон (1981), Неевклидова гиперболическая плоскость: ее структура и последовательность , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9

[1] Биркгоф, Джордж Дэвид (1932), «Набор постулатов плоской геометрии (на основе масштаба и транспортиров)», Annals of Mathematics , 33 (2): 329–345, doi : 10.2307/1968336 , hdl : 10338.dmlcz/ 147209 , JSTOR 1968336

[2] Биркгоф, Джордж Дэвид ; Битли, Ральф (2000) [первое издание, 1940 г.], Основная геометрия (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2101-5

[3] Келли, Пол Джозеф; Мэтьюз, Гордон (1981), Неевклидова гиперболическая плоскость: ее структура и последовательность , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90552-9

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]