Аксиомы Гильберта

Аксиомы Гильберта представляют собой набор из 20 предположений, предложенных Дэвидом Гильбертом в 1899 году в его книге «Основы геометрии». (тр. «Основы геометрии ») как основа современной трактовки евклидовой геометрии . Другие известные современные аксиоматизации евклидовой геометрии принадлежат Альфреду Тарскому и Джорджу Биркгофу .

Аксиомы

Гильберта Система аксиом построена на основе шести примитивных понятий : трех примитивных терминов:

• точка ;
• линия ;
• самолет ;

и три примитивных отношения :

• Между , троичное отношение, связывающее точки;
• Ложится на (Сдерживание) , три бинарных отношения : одно связывает точки и прямые линии, одно связывает точки и плоскости и одно соединяет прямые линии и плоскости;
• Конгруэнтность — два бинарных отношения, одно из которых соединяет отрезки прямых , а другое — углы , каждое из которых обозначается инфиксом ≅ .

Сегменты линий, углы и треугольники могут быть определены в терминах точек и прямых линий с использованием отношений между и вложения. Все точки, прямые линии и плоскости в следующих аксиомах различны, если не указано иное.

I. Заболеваемость

1. Для каждых двух точек A и B существует прямая a , содержащая их обе. Пишем AB = a или BA = a . Вместо «содержит» мы можем использовать и другие формы выражения; например, мы можем сказать: « А лежит на а », « А является точкой а », « а проходит через А и через В », « а соединяет А с В » и т. д. Если А лежит на а и в в то же время на другой прямой b мы употребляем также выражение: «Прямые a и b точку A » и т. д. имеют общую
2. Для каждых двух точек существует не более одной линии, содержащей их обе; следовательно, если AB = a и AC = a , где B ≠ C , то также BC = a .
3. На прямой существует как минимум две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
4. Для каждых трёх точек A , B , C, не лежащих на одной прямой, существует плоскость α, содержащая их все. Для каждой плоскости существует точка, лежащая на ней. Пишем ABC = α . Мы пользуемся также выражениями: « А , В , С лежат в α »; « A , B , C — точки α » и т. д.
5. Для каждых трёх точек A , B , C , не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей их все.
6. Если две точки A , B прямой a лежат в плоскости α , то каждая точка a лежит в α . В этом случае мы говорим: «Прямая а лежит в плоскости а » и т. д.
7. Если две плоскости α , β имеют общую точку A , то у них есть хотя бы вторая точка B. общая
8. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в плоскости.

II. Заказать

1. Если точка B лежит между точками A и C , то B также находится между и A , и существует линия, содержащая различные точки A , B , C. C
2. Если A и C существует хотя бы одна точка B — две точки, то на прямой AC такая, что лежит между A и B. C
3. Из любых трёх точек, расположенных на прямой, не более одной лежит между двумя другими.
4. Аксиома Паша : пусть A , B , C — три точки, не лежащие на одной прямой, и пусть — прямая, лежащая в плоскости ABC и не проходящая через ни одну из точек A , B , C. a Тогда, если прямая a проходит через точку отрезка AB , она также пройдет либо через точку отрезка BC , либо через точку отрезка AC .

III. Конгруэнтность

1. Если A , B — две точки на прямой a , и если A ′ — точка на той же или другой прямой a ′, то на данной стороне A ′ на прямой a ′ всегда можно найти точку B ′ так, что отрезок AB конгруэнтен отрезку A ′ B ′. Обозначим это соотношение записью AB ≅ A ′ B ′ . Каждый сегмент конгруэнтен сам себе; то есть всегда AB ≅ AB .
   Мы можем кратко сформулировать приведенную выше аксиому, сказав, что каждый отрезок можно отложить с данной стороны от данной точки данной прямой хотя бы одним способом.
2. Если отрезок AB конгруэнтен отрезку A ′ B ′, а также отрезку A ″ B ″, то отрезок A ′ B ′ конгруэнтен отрезку A ″ B ″; то есть, если AB ≅ A ′ B ′ и AB ≅ A ″ B ″ , то A ′ B ′ ≅ A ″ B ″ .
3. Пусть AB и BC — два отрезка прямой a, не имеющие общих точек, кроме точки B , и, кроме того, пусть A ′ B ′ и B ′ C ′ – два отрезка одной и той же или другой прямой a ′, имеющие , также нет никакой общей точки, кроме B '. Тогда, если AB ≅ A ′ B ′ и BC ≅ B ′ C ′ , мы имеем AC ≅ A ′ C ′ .
4. Пусть угол ∠ ( h , k ) задан в плоскости α и прямая a ′ задана в плоскости α ′. Предположим также, что в плоскости α определенная сторона прямой a ′ задана ′. Обозначим через h ' луч прямой a ', исходящий из точки O ' этой прямой. Тогда в плоскости α ′ существует один и только один луч k ′ такой, что угол ∠ ( h , k ) или ∠ ( k , h ) конгруэнтен углу ∠ ( h ′, k ′) и при в то же время все внутренние точки угла ∠ ( h ′, k ′) лежат на данной стороне a ′. Выразим это соотношение посредством обозначения ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) .
5. Если угол ∠( h , k ) конгруэнтен углу ∠ ( h ′, k ′) и углу ∠ ( h ″, k ″) , то угол ∠ ( h ′, k ′) конгруэнтен углу угол ∠ ( h ″, k ″) ; то есть, если ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) и ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″, k ″) , то ∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( ч ″, к ″) .
6. Если в двух треугольниках ABC и A ′ B ′ C ′ выполнены сравнения AB ≅ A ′ B ′ , AC ≅ A ′ C ′ , ∠ BAC ≅ ∠ B ′ A ′ C ′ , то сравнение ∠ ABC ≅ ∠ A ′ B ′ C ′ (и, заменив обозначения, отсюда следует, что ∠ ACB ≅ ∠ A ′ C ′ B ′ также имеет место).

IV. Параллели

1. Аксиома Евклида : Пусть а — любая прямая, а А — точка, не лежащая на ней. Тогда существует не более одной прямой на плоскости, определяемой a и A , которая проходит через A и не пересекает a .

V. Непрерывность

1. Аксиома Архимеда : если AB и CD — любые отрезки, то существует число n такое, что n отрезков CD, смежно из A , вдоль луча от A через B , пройдут за точку B. построенных
2. Аксиома полноты линии : расширение (расширенная линия из уже существующей линии, обычно используемая в геометрии) набора точек на линии с ее отношениями порядка и конгруэнтности, которые сохраняли бы отношения, существующие между исходными элементами, а также фундаментальные свойства порядка и конгруэнтности линий, следующие из аксиом I-III и V-1, невозможны.

Гильберта

Гильберт (1899) включил 21-ю аксиому следующего содержания:

II.4. Любые четыре точки A , B , C , D на прямой всегда можно пометить так, чтобы B лежала между A и C , а также между A и D , и, кроме того, что C должна лежать между A и D , а также между B и D. Д. ​

Это утверждение также известно как теорема Паша .

Э. Х. Мур и Р. Л. Мур независимо друг от друга доказали, что эта аксиома избыточна, и первый опубликовал этот результат в статье, опубликованной в « Трудах Американского математического общества» в 1902 году.

До этого аксиома Паша , теперь обозначенная как II.4, имела номер II.5.

Редакции и переводы геометрии

Оригинальная монография, основанная на его собственных лекциях, была организована и написана Гильбертом для мемориальной речи, произнесенной в 1899 году. За ней вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, одобренный Гильбертом, был сделан Э. Дж. Таунсендом и защищен авторским правом в 1902 году. Этот перевод включал в себя изменения, внесенные во французский перевод, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и появилось несколько изданий на немецком языке. 7-е издание было последним, вышедшим при жизни Гильберта. В предисловии к этому изданию Гильберт писал:

«Настоящее седьмое издание моей книги «Основы геометрии» содержит значительные улучшения и дополнения к предыдущему изданию, частично за счет моих последующих лекций по этому предмету, а частично за счет улучшений, сделанных за это время другими авторами. Основной текст книги был переработан. соответственно."

За 7-м последовали новые издания, но основной текст по существу не перерабатывался. Изменения в этих изданиях происходят в приложениях и дополнениях. Изменения в тексте были значительными по сравнению с оригиналом, и новый английский перевод был заказан издательством Open Court Publishers, опубликовавшим перевод Таунсенда. Итак, 2-е английское издание было переведено Лео Унгером с 10-го немецкого издания в 1971 году. Этот перевод включает в себя несколько исправлений и дополнений более поздних немецких изданий Пола Бернейса.

Перевод Унгера отличается от перевода Таунсенда в отношении аксиом следующим образом:

• Старая аксиома II.4 переименована в Теорему 5 и перемещена.
• Старая аксиома II.5 (аксиома Паша) переименована в II.4.
• V.2, Аксиома линейной полноты, заменена:

Аксиома полноты . К системе точек, прямых и плоскостей невозможно добавить другие элементы таким образом, чтобы обобщенная таким образом система образовала новую геометрию, подчиняющуюся всем пяти группам аксиом. Другими словами, элементы геометрии образуют систему, которая не подлежит расширению, если мы считаем действительными пять групп аксиом.

• Старая аксиома V.2 теперь является Теоремой 32.

Последние две модификации принадлежат П. Бернейсу.

Другие примечательные изменения:

• Термин «прямая линия», использованный Таунсендом, был повсюду заменен словом « линия» .
• аксиомы инцидентности назвал аксиомами связи . Таунсенд

Приложение

Эти аксиомы аксиоматизируют евклидову пространственную геометрию . Удаление пяти аксиом, в которых существенно упоминается «плоскость», а именно I.4–8, и изменение III.4 и IV.1, чтобы исключить упоминание о плоскостях, приводит к аксиоматизации геометрии евклидовой плоскости .

Аксиомы Гильберта, в отличие от аксиом Тарского , не составляют теории первого порядка, поскольку аксиомы V.1–2 не могут быть выражены в логике первого порядка .

Ценность «Grundlagen» Гильберта была скорее методологической, чем содержательной или педагогической. Другие важные вклады в аксиоматику геометрии были сделаны Морицем Пашем , Марио Пьери , Освальдом Вебленом , Эдвардом Вермили Хантингтоном , Гилбертом Робинсоном и Генри Джорджем Фордером . Ценность Grundlagen заключается в его новаторском подходе к метаматематическим вопросам, включая использование моделей для доказательства независимости аксиом; и необходимость доказать непротиворечивость и полноту системы аксиом.

Математика в двадцатом веке превратилась в сеть аксиоматических формальных систем . В значительной степени на это повлиял пример, который Гильберт подал в « Грундлагене» . Однако попытка (Мейкле и Флерио) в 2003 году формализовать Grundlagen с помощью компьютера показала, что некоторые из доказательств Гильберта, по-видимому, основаны на диаграммах и геометрической интуиции, и поэтому выявила некоторые потенциальные двусмысленности и упущения в его определениях.

См. также

• Евклидово пространство
• Основы геометрии

Ссылки

• Говард Ивс , 1997 (1958). Основы и основные понятия математики . Дувр. Глава. 4.2 описывает аксиомы Гильберта для плоской геометрии.
• Айвор Граттан-Гиннесс , 2000. В поисках математических корней . Издательство Принстонского университета.
• Дэвид Гилберт , 1980 (1899). Основы геометрии , 2-е изд. Чикаго: Открытый суд.
• Лаура И. Мейкл и Жак Д. Флёрио (2003), Формализация Grundlagen Гильберта в Изабель/Изаре , Доказательство теорем в логике высшего порядка, Конспекты лекций по информатике, том 2758/2003, 319-334, дои : 10.1007/10930755_21

Внешние ссылки

• «Система аксиом Гильберта» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Аксиомы Гильберта» на математическом факультете UMBC.
• «Аксиомы Гильберта» в Mathworld
• «Основы геометрии» Аудиокнига в общественном достоянии на LibriVox