Асимптотическая размерность

В метрической геометрии асимптотическая размерность метрического пространства является крупномасштабным аналогом лебеговой размерности накрытия . Понятие асимптотической размерности было введено Михаилом Громовым в его монографии 1993 года «Асимптотические инварианты бесконечных групп». в контексте геометрической теории групп как инвариант квазиизометрии конечно порожденных групп. Как показал Голян Юй , конечно порожденные группы конечного гомотопического типа с конечной асимптотической размерностью удовлетворяют гипотезе Новикова . Асимптотическая размерность имеет важные приложения в геометрическом анализе и теории индекса .

Формальное определение

Позволять $X$ быть метрическим пространством и $n\geq 0$ быть целым числом. Мы говорим, что $\operatorname {asdim} (X)\leq n$ если для каждого $R\geq 1$ существует равномерно ограниченное накрытие ${\mathcal {U}}$ из $X$ такой, что каждый закрытый $R$- мяч в $X$ пересекается максимум $n+1$ подмножества из ${\mathcal {U}}$. Здесь «равномерно ограниченный» означает, что $\sup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {diam} (U)<\infty$.

Затем мы определяем асимптотическую размерность $\operatorname {asdim} (X)$ как наименьшее целое число $n\geq 0$ такой, что $\operatorname {asdim} (X)\leq n$, если хотя бы один такой $n$ существует и определить $\operatorname {asdim} (X):=\infty$ в противном случае.

Еще говорят, что семья $(X_{i})_{i\in I}$ метрических пространств удовлетворяет $\operatorname {asdim} (X)\leq n$ равномерно, если для каждого $R\geq 1$ и каждый $i\in I$ существует обложка ${\mathcal {U}}_{i}$ из $X_{i}$ по наборам диаметра не более $D(R)<\infty$ (независимо от $i$) такой, что каждое закрытое $R$- мяч в $X_{i}$ пересекается максимум $n+1$ подмножества из ${\mathcal {U}}_{i}$.

Примеры

• Если $X$ является метрическим пространством ограниченного диаметра, тогда $\operatorname {asdim} (X)=0$.
• $\operatorname {asdim} (\mathbb {R} )=\operatorname {asdim} (\mathbb {Z} )=1$.
• $\operatorname {asdim} (\mathbb {R} ^{n})=n$.
• $\operatorname {asdim} (\mathbb {H} ^{n})=n$.

Свойства

• Если $Y\subseteq X$ является подпространством метрического пространства $X$, затем $\operatorname {asdim} (Y)\leq \operatorname {asdim} (X)$.
• Для любых метрических пространств $X$ и $Y$ у одного есть $\operatorname {asdim} (X\times Y)\leq \operatorname {asdim} (X)+\operatorname {asdim} (Y)$.
• Если $A,B\subseteq X$ затем $\operatorname {asdim} (A\cup B)\leq \max\{\operatorname {asdim} (A),\operatorname {asdim} (B)\}$.
• Если $f:Y\to X$ является грубым вложением (например, квазиизометрическим вложением), то $\operatorname {asdim} (Y)\leq \operatorname {asdim} (X)$.
• Если $X$ и $Y$ являются грубо эквивалентными метрическими пространствами (например, квазиизометрическими метрическими пространствами), то $\operatorname {asdim} (X)=\operatorname {asdim} (Y)$.
• Если $X$ это настоящее дерево тогда $\operatorname {asdim} (X)\leq 1$.
• Позволять $f:X\to Y$ быть липшицевым отображением геодезического метрического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$ . Предположим, что для каждого $r>0$ наборная семья $\{f^{-1}(B_{r}(y))\}_{y\in Y}$ удовлетворяет неравенству $\operatorname {asdim} \leq n$ равномерно. Затем $\operatorname {asdim} (X)\leq \operatorname {asdim} (Y)+n.$ Видеть
• Если $X$ является метрическим пространством с $\operatorname {asdim} (X)<\infty$ затем $X$ допускает грубое (равномерное) вложение в гильбертово пространство.
• Если $X$ является метрическим пространством ограниченной геометрии с $\operatorname {asdim} (X)\leq n$ затем $X$ допускает грубое вложение в произведение $n+1$ локально конечные симплициальные деревья.

размерность в геометрической

Асимптотическая размерность приобрела особую известность в геометрической теории групп после статьи Голян Юя в 1998 году. , что доказало, что если $G$ — конечно порожденная группа конечного гомотопического типа (т.е. с классифицирующим пространством гомотопического типа конечного CW-комплекса) такая, что $\operatorname {asdim} (G)<\infty$, затем $G$ удовлетворяет гипотезе Новикова . Как было впоследствии показано, конечно порожденные группы с конечной асимптотической размерностью топологически аменабельны , т.е. удовлетворяют Гуоляна Юя А свойству , введенному в и эквивалентно точности приведенной С*-алгебры группы.

• Если $G$ является словесно-гиперболической группой , то $\operatorname {asdim} (G)<\infty$.
• Если $G$ относительно гиперболична относительно подгрупп $H_{1},\dots ,H_{k}$ каждый из которых имеет конечную асимптотическую размерность, то $\operatorname {asdim} (G)<\infty$.
• $\operatorname {asdim} (\mathbb {Z} ^{n})=n$.
• Если $H\leq G$, где $H,G$ конечно порождены, то $\operatorname {asdim} (H)\leq \operatorname {asdim} (G)$.
• Для группы Томпсона F мы имеем $asdim(F)=\infty$ с $F$ содержит подгруппы, изоморфные $\mathbb {Z} ^{n}$ для сколь угодно большого $n$.
• Если $G$ является фундаментальной группой конечного графа групп $\mathbb {A}$ с базовым графиком $A$ и конечно порожденные группы вершин, то

$$\operatorname {asdim} (G)\leq 1+\max _{v\in VY}\operatorname {asdim} (A_{v}).$$

• Группы классов отображения ориентируемых поверхностей конечного типа имеют конечную асимптотическую размерность.
• Позволять $G$ — связная группа Ли и пусть $\Gamma \leq G$ — конечно порожденная дискретная подгруппа. Затем $asdim(\Gamma )<\infty$.
• Неизвестно, если $Out(F_{n})$ имеет конечную асимптотическую размерность для $n>2$.

Дальнейшее чтение

• Белл, Грегори; Дранишников, Александр (2008). «Асимптотическая размерность». Топология и ее приложения . 155 (12): 1265–96. arXiv : math/0703766 . дои : 10.1016/j.topol.2008.02.011 .
• Буяло, Сергей; Шредер, Виктор (2007). Элементы асимптотической геометрии . Монографии ЭМС по математике. Европейское математическое общество. ISBN  978-3-03719-036-4 .