Постоянная функция

В математике постоянная функция — это функция , (выходное) значение которой одинаково для каждого входного значения.

Основные свойства

Примером постоянной функции является $y (x) = 4$ , поскольку значение $y (x)$ равно 4 независимо от входного значения $x$ .

Как действительная функция вещественного аргумента, постоянная функция имеет общий вид $y (x) = c$ или просто $y = c$ . Например, функция $y (x) = 4$ является конкретной постоянной функцией, выходное значение которой равно $c = 4$ . Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел . Образом является этой функции одноэлементный набор ${4}$ . Независимая переменная x не появляется в правой части функционального выражения, поэтому ее значение «подставляется пустым образом»; а именно $y (0) = 4$ , $y (-2.7) = 4$ , $y (π) = 4$ и так далее. Независимо от того, какое значение $x$ введено, на выходе будет $4$ . ^[1]

График постоянной функции $y = c$ представляет собой горизонтальную линию на плоскости , проходящую через точку $(0, c)$ . ^[2] В контексте многочлена от одной переменной $x$ постоянная функция называется ненулевой постоянной функцией , потому что это многочлен степени 0, и ее общая форма: $f (x) = c$ , где $c$ не равно нулю. Эта функция не имеет точки пересечения с $x$ осью , то есть у нее нет корня (нуля) . С другой стороны, полином $f (x) = 0$ является тождественно нулевой функцией . Это (тривиальная) постоянная функция, и каждый $x$ является корнем. Его график представляет собой $x$ ось на плоскости. ^[3] Ее график симметричен относительно $y$ оси , и поэтому постоянная функция является четной функцией . ^[4]

В том контексте, в котором она определена, производная функции является мерой скорости изменения значений функции по отношению к изменению входных значений. Поскольку постоянная функция не меняется, ее производная равна 0. ^[5] Часто пишут: $(x\mapsto c)'=0$ . Обратное также верно. А именно, если $y'(x) = 0$ для всех действительных чисел $x$ , то $y$ — постоянная функция. ^[6] Например, учитывая постоянную функцию $y(x)=-{\sqrt {2}}$ . Производная от $y$ — это тождественно нулевая функция $y'(x)=\left(x\mapsto -{\sqrt {2}}\right)'=0$ .

Другие объекты недвижимости

Для функций между предварительно упорядоченными множествами постоянные функции одновременно сохраняют порядок и меняют порядок ; и наоборот, если $f$ одновременно сохраняет порядок и меняет порядок, и если область определения f $является$ решеткой , то $f$ должно быть постоянным.

Каждая постоянная функция, область определения и кодомер которой являются одним и тем же множеством $X,$ является левым нулем полного моноида преобразования на $X$ , что означает, что она также идемпотентна .
Он имеет нулевой наклон или градиент .
Любая постоянная функция между пространствами непрерывна топологическими .
Постоянная функция учитывает одноточечное множество , конечный объект в категории множеств . Это наблюдение играет важную роль в аксиоматизации теории множеств Ф. Уильямом Ловером , «Элементарной теории категорий множеств» (ETCS). ^[7]
непустого X каждое множество Y изоморфно Для любого множеству постоянных функций в $X\to Y$ $X\to Y$ . Для любого X и каждого элемента y в Y существует уникальная функция ${\tilde {y}}:X\to Y$ ${\tilde {y}}:X\to Y$ такой, что ${\tilde {y}}(x)=y$ ${\tilde {y}}(x)=y$ для всех $x\in X$ $x\in X$ . И наоборот, если функция $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ удовлетворяет $f(x)=f(x')$ ${\ displaystyle f (x) = f (x ')}$ для всех $x,x'\in X$ $x,x'\in X$ , $f$ $е$ по определению является постоянной функцией.
- Как следствие, одноточечное множество является образующим в категории множеств.
- Каждый набор $X$ канонически изоморфно множеству функций $X^{1}$ , или домашний набор $\operatorname {hom} (1,X)$ в категории множеств, где 1 — одноточечное множество. Из-за этого и из-за присоединения декартовых произведений и hom в категории множеств (так что существует канонический изоморфизм между функциями двух переменных и функциями одной переменной, имеющими значения в функциях другой (одной) переменной, $\operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))$ ) категория множеств представляет собой замкнутую моноидальную категорию с декартовым произведением множеств в качестве тензорного произведения и одноточечным множеством в качестве тензорной единицы. В изоморфизмах $\lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho$ естественный в $X$ левый и правый униторы — это проекции $p_{1}$ и $p_{2}$ упорядоченные пары $(*,x)$ и $(x,*)$ соответственно элементу $x$ , где $*$ — единственная точка в одноточечном множестве.

Функция на связном множестве тогда локально постоянна и только тогда, когда она постоянна.

Ссылки

^ Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики . Факты в архиве, Нью-Йорк. п. 94. ИСБН 0-8160-5124-0 .
^ Докинз, Пол (2007). «Колледж алгебры» . Университет Ламара. п. 224 . Проверено 12 января 2014 г.
^ Картер, Джон А.; Куэвас, Гилберт Дж.; Холлидей, Берчи; Маркс, Дэниел; МакКлюр, Мелисса С. (2005). «1». Расширенные математические концепции - предварительное исчисление с приложениями, студенческое издание (1-е изд.). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. p. 22. ISBN 978-0078682278 .
^ Янг, Синтия Ю. (2021). Предварительное исчисление (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 122.
^ Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007). Исчисление (9-е изд.). Пирсон Прентис Холл . п. 107. ИСБН 978-0131469686 .
^ «Нулевая производная подразумевает постоянную функцию» . Проверено 12 января 2014 г.
^ Ленстер, Том (27 июня 2011 г.). «Неофициальное введение в теорию топоса». arXiv : 1012.5647 [ math.CT ].

Херлих, Хорст и Шлитцер, Джордж Э., Теория категорий , Heldermann Verlag (2007).

Внешние ссылки

[1] Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики . Факты в архиве, Нью-Йорк. п. 94. ИСБН 0-8160-5124-0 .

[2] Докинз, Пол (2007). «Колледж алгебры» . Университет Ламара. п. 224 . Проверено 12 января 2014 г.

[3] Картер, Джон А.; Куэвас, Гилберт Дж.; Холлидей, Берчи; Маркс, Дэниел; МакКлюр, Мелисса С. (2005). «1». Расширенные математические концепции - предварительное исчисление с приложениями, студенческое издание (1-е изд.). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. p. 22. ISBN 978-0078682278 .

[4] Янг, Синтия Ю. (2021). Предварительное исчисление (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 122.

[5] Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007). Исчисление (9-е изд.). Пирсон Прентис Холл . п. 107. ИСБН 978-0131469686 .

[6] «Нулевая производная подразумевает постоянную функцию» . Проверено 12 января 2014 г.

[7] Ленстер, Том (27 июня 2011 г.). «Неофициальное введение в теорию топоса». arXiv : 1012.5647 [ math.CT ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Полиномы и полиномиальные функции
По степени	Нулевой полином (степень неопределена или −1 или −∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уравнение Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертой степени (4) Уравнение четвертой степени Квинтическая функция (5) Секстическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный моном Биномиальный Трехчленный Нередуцируемый без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Разделение Метод оценки Горнера Проверка полиномиальной идентичности Результирующий Дискриминант База Грёбнер