Атлас (топология)

В математике , особенно в топологии , атлас — это концепция, используемая для описания многообразия . Атлас состоит из отдельных карт , которые, грубо говоря, описывают отдельные области многообразия. В общем, понятие атласа лежит в основе формального определения многообразия и связанных с ним структур, таких как векторные расслоения и другие расслоения .

Графики

Определение атласа зависит от понятия диаграммы . Карта топологического пространства M является гомеоморфизмом $\varphi$ из открытого подмножества U в M в открытое подмножество евклидова пространства . График традиционно записывается как упорядоченная пара $(U,\varphi )$ . ^[1]

Когда система координат выбирается в евклидовом пространстве, это определяет координаты на $U$ : координаты точки $P$ из $U$ определяются как координаты $\varphi (P).$ Пара, образованная картой и такой системой координат, называется локальной системой координат , координатной картой , координатным патчем , координатной картой или локальной системой координат .

Формальное определение атласа

Атлас топологического пространства $M$ это индексированное семейство $\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}$ графиков на $M$ который охватывает $M$ (то есть, ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$ ). Если при некотором фиксированном n образ каждой карты является открытым подмножеством n -мерного евклидова пространства , то $M$ называется n -мерным многообразием .

Слово «атлас» во множественном числе — «атласы» , хотя некоторые авторы используют «атланты» . ^[2]^[3]

Атлас $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ на $n$ -мерное многообразие $M$ называется адекватным атласом, если выполняются следующие условия: ^{[ нужны разъяснения ]}

Изображение каждой диаграммы либо $\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {R} _{+}^{n}$ , где $\mathbb {R} _{+}^{n}$ — замкнутое полупространство , ^{[ нужны разъяснения ]}
$\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ является локально конечным открытым покрытием $M$ , и
${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$ , где $B_{1}$ представляет собой открытый шар радиуса 1 с центром в начале координат.

Каждое счетное по секундам многообразие допускает адекватный атлас. ^[4] Более того, если ${\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}$ является открытым покрытием счетного многообразия $M$ , то существует адекватный атлас $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ на $M$ , такой, что $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ представляет уточнение собой ${\mathcal {V}}$ . ^[4]

Карты перехода

M

U_{\alpha }

U_{\beta }

\varphi _{\alpha }

\varphi _{\beta }

\tau _{\alpha ,\beta }

\tau _{\beta ,\alpha }

\mathbf {R} ^{n}

\mathbf {R} ^{n}

Две диаграммы на многообразии и соответствующая им карта перехода.

Карта перехода позволяет сравнить две диаграммы атласа. Чтобы провести это сравнение, мы рассмотрим состав одного графика с инверсией другого. Эта композиция не будет четко определена, если мы не ограничим обе диаграммы пересечением их областей определения . (Например, если у нас есть карта Европы и карта России, то мы можем сравнить эти две карты на предмет их перекрытия, а именно европейской части России.)

Точнее, предположим, что $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ и $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ две карты многообразия M такие, что $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ не пуст .Карта перехода $\tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ это карта, определяемая $\tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.$

Обратите внимание, что поскольку $\varphi _{\alpha }$ и $\varphi _{\beta }$ оба являются гомеоморфизмами, отображение перехода $\tau _{\alpha ,\beta }$ также является гомеоморфизмом.

Больше структуры

Часто хочется большей структуры многообразия, чем просто топологическая структура. Например, если хочется иметь однозначное представление о дифференцировании функций на многообразии, то необходимо построить атлас, функции перехода которого дифференцируемы . Такое многообразие называется дифференцируемым . Учитывая дифференцируемое многообразие, можно однозначно определить понятие касательных векторов , а затем производных по направлению .

Если каждая функция перехода является гладким отображением , то атлас называется гладким атласом , а само многообразие называется гладким . В качестве альтернативы можно потребовать, чтобы карты переходов имели только k непрерывных производных, и в этом случае атлас называется $C^{k}$ .

В самом общем случае, если каждая функция перехода принадлежит псевдогруппе ${\mathcal {G}}$ гомеоморфизмов евклидова пространства, то атлас называется ${\mathcal {G}}$ -атлас. Если карты перехода между картами атласа сохраняют локальную тривиализацию , то атлас определяет структуру расслоения.

См. также

Ссылки

^ Яних, Клаус (2005). Векторный анализ (на немецком языке) (5-е изд.). Спрингер. п. 1. ISBN 3-540-23741-0 .
^ Йост, Юрген (11 ноября 2013 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ . Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857 . Проверено 16 апреля 2018 г. - через Google Книги.
^ Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (9 марта 2013 г.). Вариационное исчисление II . Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012 . Проверено 16 апреля 2018 г. - через Google Книги.
^ Jump up to: ^а ^б Косински, Антони (2007). Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8 . OCLC 853621933 .

Дьедонне, Жан (1972). «XVI. Дифференциальные многообразия». Трактат об анализе . Чистая и прикладная математика. Том. III. Перевод Яна Г. Макдональда . Академическая пресса . МР 0350769 .
Ли, Джон М. (2006). Введение в гладкие многообразия . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-95448-6 .
Лумис, Линн ; Штернберг, Шломо (2014). «Дифференцируемые многообразия». Расширенное исчисление (пересмотренное издание). Всемирная научная. стр. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0 . МР 3222280 .
Сепански, Марк Р. (2007). Компактные группы Ли . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-30263-8 .
Хуземоллер, Д. (1994), Пучки волокон , Springer , Глава 5 «Описание пучков волокон в локальных координатах».

Внешние ссылки

Атлас Роуленда, Тодда

[1] Яних, Клаус (2005). Векторный анализ (на немецком языке) (5-е изд.). Спрингер. п. 1. ISBN 3-540-23741-0 .

[2] Йост, Юрген (11 ноября 2013 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ . Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857 . Проверено 16 апреля 2018 г. - через Google Книги.

[3] Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (9 марта 2013 г.). Вариационное исчисление II . Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012 . Проверено 16 апреля 2018 г. - через Google Книги.

[Kosinski_2007-4] Jump up to: ^а ^б Косински, Антони (2007). Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8 . OCLC 853621933 .

[1]

[2]

[3]

[4]