Словарь У-Ян

В топологии и физике высоких энергий словарь Ву-Яна относится к математической идентификации, которая позволяет осуществлять обратный перевод между понятиями калибровочной теории и понятиями дифференциальной геометрии . Словарь появился в 1975 году в статье Тай Цун Ву и К. Н. Янга, сравнивающих электромагнетизм и теорию волоконных пучков . ^{[ 1 ]} Считается, что этот словарь сблизил математику и теоретическую физику. ^{[ 2 ]}

Важнейшим примером успеха словаря является то, что он позволил понять квантование монополя в терминах расслоений Хопфа . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

История

На эквивалентность теории расслоений и калибровочной теории намекали в конце 1960-х годов. В 1967 году математик Анджей Траутман начал серию лекций об этих связях для физиков и математиков Королевского колледжа Лондона . ^{[ 4 ]}

Физики-теоретики Тай Цун Ву и К. Н. Ян , работающие в Университете Стоуни-Брук , опубликовали в 1975 году статью о математической основе электромагнетизма и эффекте Ааронова-Бома с точки зрения пучков волокон. Год спустя математик Айседор Сингер приехал в гости и привез копию обратно в Оксфордский университет . ^{[ 2 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Сингер показал статью Майклу Атье и другим математикам, что положило начало тесному сотрудничеству между физиками и математиками. ^{[ 2 ]}

Ян также вспоминает разговор, который он имел с одним из математиков, основавших теорию расслоений, Шиинг-Шен Чженем : ^{[ 2 ]}

В 1975 году, впечатленный тем фактом, что калибровочные поля представляют собой соединения на пучках волокон, я поехал в дом Шиинг-Шен Черна в Эль-Серрито , недалеко от Беркли . (Я учился у него на курсах в начале 1940-х годов, когда он был молодым профессором, а я — студентом Национального юго-западного ассоциированного университета в Куньмине , Китай . Это было до того, как пучки волокон были изобретены. стали важными в дифференциальной геометрии и до того, как Черн вошел в историю своим вкладом в обобщенную теорему Гаусса-Бонне и классы Черна .) Нам было о чем поговорить: о друзьях, родственниках, Китае. Когда наш разговор зашел о расслоениях, я сказал ему, что наконец-то узнал от Джима Саймонса красоту теории расслоений и глубокую теорему Черна-Вейля . Я сказал, что считаю удивительным, что калибровочные поля представляют собой в точности соединения на пучках волокон, которые математики разработали безотносительно к физическому миру. Я добавил: «Это одновременно волнующе и загадочно, поскольку вы, математики, придумали эти концепции из ниоткуда». Он сразу же возразил: «Нет, нет. Эти концепции не были придуманы. Они были естественными и реальными».

В 1977 году Траутман использовал эти результаты, чтобы продемонстрировать эквивалентность между условием квантования магнитных монополей, использованным Полем Дираком еще в 1931 году, и расслоением Хопфа , расслоением трехмерной сферы, предложенным в том же году математиком Хайнцем Хопфом . ^{[ 4 ]} Математик Джим Саймонс, обсуждая эту эквивалентность с Янгом, сказал, что «Дирак открыл тривиальные и нетривиальные расслоения раньше математиков». ^{[ 4 ]}

В оригинальной статье Ву и Ян добавили в словарь источники (например, электрический ток ) рядом с пустым местом, что указывает на отсутствие какого-либо эквивалентного понятия с математической стороны. Во время интервью Ян вспоминает, что Сингер и Атья проявили большой интерес к этой концепции источников, которая была неизвестна математикам, но известна физикам еще с XIX века. Над этим начали работать математики, что привело к развитию теории Дональдсона Саймоном Дональдсоном , учеником Атьи. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Описание

Обобщенная версия

Словарь Ву-Яна связывает термины физики элементарных частиц с терминами математики, в частности, теории расслоений. Существует множество версий и обобщений словаря. Вот пример словаря, в котором каждый физический термин ставится рядом с его математическим аналогом: ^{[ 9 ]}


Физика	Математика
Потенциал	Связь
Тензор поля (взаимодействие)	Кривизна
Связь тензора поля и потенциала	Структурное уравнение
Преобразование калибра	Изменение координат пакета
Группа датчиков	Структурная группа

Оригинальная версия для электромагнетизма

Эксперимент Ааронова-Бома: электроны движутся вокруг цилиндра, в котором имеется ненулевое магнитное поле. Вне цилиндра напряженность поля равна 0.

Ву и Ян рассмотрели описание движения электрона вокруг цилиндра при наличии магнитного поля внутри цилиндра (вне цилиндра поле исчезает, т.е. $f_{\mu \nu }=0$ ). Согласно эффекту Ааронова–Бома интерференционные картины смещаются в раз. $\exp(-i\Omega /\Omega _{0})$ , где $\Omega$ магнитный поток и $\Omega _{0}$ – квант магнитного потока . Для двух разных потоков a и b результаты идентичны, если $\Omega _{a}-\Omega _{b}=N\Omega _{0}$ , где $N$ является целым числом. Определим оператор $S_{ab}$ как калибровочное преобразование, которое переводит волновую функцию электрона из одной конфигурации в другую $\psi _{b}=S_{ba}\psi _{a}$ . Для электрона, который проходит путь от точки P до точки Q , мы определяем фазовый фактор как

\Phi _{QP}=\exp \left(-{\frac {i}{\Omega _{0}}}\int _{P}^{Q}A_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }\right)

,

где $A_{\mu }$ — электромагнитный четырехпотенциал . Для случая калибровочного поля SU ₂ можно сделать замену

A_{\mu }=ib_{\mu }^{k}X_{k}

,

где $X_{k}=-i\sigma _{k}/2$ являются генераторами СУ ₂ , $\sigma _{k}$ — матрицы Паули . В рамках этих концепций Ву и Ян показали связь между языком калибровочной теории и расслоениями , которая была систематизирована в следующем словаре: ^{[ 2 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Словарь У-Яна (1975) ^{[ 1 ]}
Терминология калибровочного поля	Терминология пакета
датчик (или глобальный датчик)	расслоение главных координат
тип манометра	основной пучок волокон
калибровочный потенциал $b_{\mu }^{k}$	соединение на основном пучке волокон
$S_{ba}$ (см. выше в этом разделе)	функция перехода
фазовый коэффициент $\Phi _{QP}$	параллельное перемещение
напряженность поля $f_{\mu \nu }^{k}$	кривизна
источник ^{[ а ]} $J_{\mu }^{k}$	?
электромагнетизм	соединение в жгуте U ₁ (1)
изотопическое спиновое калибровочное поле	подключение в _{SU 2} связке
Квантование монополя Дирака	классификация в расслоении U ₁ (1) по первому классу Черна
электромагнетизм без монополя	связность на тривиальном расслоении a U ₁ (1)
электромагнетизм с монополем	связность на нетривиальном расслоении a U ₁ (1)

^ В исходной таблице также было примечание: «т.е. электрический источник. Это обобщение (см. ^{[ 12 ]}) понятия электрических зарядов и токов».

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б У, Тай Цун; Ян, Чэнь Нин (15 декабря 1975 г.). «Понятие неинтегрируемых фазовых факторов и глобальная формулировка калибровочных полей» . Физический обзор D . 12 (12): 3845–3857. дои : 10.1103/PhysRevD.12.3845 . ISSN 0556-2821 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Пу, Му-мин; Чао, Александр Ву (01 января 2020 г.). «Разговор с Чэнь-Нин Яном: воспоминания и размышления» . Национальный научный обзор . 7 (1): 233–236. дои : 10.1093/nsr/nwz113 . ISSN 2095-5138 . ПМЦ 8288855 . ПМИД 34692035 .
^ Войт, Питер (5 апреля 2008 г.). «Диалоги Стоуни-Брука по математике и физике» . Даже не неправильный блог . Проверено 14 марта 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Фридман, Джон Л. (2015). «Историческая справка о пучках волокон» . Физика сегодня . 68 (6): 11. дои : 10.1063/PT.3.2799 .
^ Уэллс, Рэймонд О'Нил; Вейль, Герман (1988). Математическое наследие Германа Вейля . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-1482-6 .
^ Фрид, Дэниел С. (2021). «Айседор Сингер преодолел математические границы» . Журнал Кванта .
^ Ян, Китай (2009). «CN Yang: Серия Stony Brook Masters» (интервью). Беседовал Билл Циммерман.
^ Уилсон, Робин; Грей, Джереми (6 декабря 2012 г.). Математические беседы: отрывки из журнала Mathematical Intelligencer . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-0195-0 .
^ Зейдлер, Эберхард (3 сентября 2008 г.). Квантовая теория поля II: Квантовая электродинамика: мост между математиками и физиками . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-85377-0 .
^ Бой, Лучано (2004). «Геометрические и топологические основы теоретической физики: от калибровочных теорий к струнной программе» . Международный журнал математики и математических наук . 2004 (34): 1777–1836. дои : 10.1155/S0161171204304400 . ISSN 0161-1712 .
^ Уэллс, Рэймонд О'Нил; Вейль, Герман (1988). Математическое наследие Германа Вейля . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-1482-6 .
^ Ян, Китай (12 августа 1974 г.). «Интегральный формализм калибровочных полей» . Письма о физических отзывах . 33 (7): 445–447. дои : 10.1103/PhysRevLett.33.445 . ISSN 0031-9007 .

[13] В исходной таблице также было примечание: «т.е. электрический источник. Это обобщение (см. ^{[ 12 ]}) понятия электрических зарядов и токов».

[WUYangDictionary-1] Перейти обратно: ^а ^б У, Тай Цун; Ян, Чэнь Нин (15 декабря 1975 г.). «Понятие неинтегрируемых фазовых факторов и глобальная формулировка калибровочных полей» . Физический обзор D . 12 (12): 3845–3857. дои : 10.1103/PhysRevD.12.3845 . ISSN 0556-2821 .

[:0-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Пу, Му-мин; Чао, Александр Ву (01 января 2020 г.). «Разговор с Чэнь-Нин Яном: воспоминания и размышления» . Национальный научный обзор . 7 (1): 233–236. дои : 10.1093/nsr/nwz113 . ISSN 2095-5138 . ПМЦ 8288855 . ПМИД 34692035 .

[3] Войт, Питер (5 апреля 2008 г.). «Диалоги Стоуни-Брука по математике и физике» . Даже не неправильный блог . Проверено 14 марта 2023 г.

[:1-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Фридман, Джон Л. (2015). «Историческая справка о пучках волокон» . Физика сегодня . 68 (6): 11. дои : 10.1063/PT.3.2799 .

[5] Уэллс, Рэймонд О'Нил; Вейль, Герман (1988). Математическое наследие Германа Вейля . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-1482-6 .

[6] Фрид, Дэниел С. (2021). «Айседор Сингер преодолел математические границы» . Журнал Кванта .

[7] Ян, Китай (2009). «CN Yang: Серия Stony Brook Masters» (интервью). Беседовал Билл Циммерман.

[8] Уилсон, Робин; Грей, Джереми (6 декабря 2012 г.). Математические беседы: отрывки из журнала Mathematical Intelligencer . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-0195-0 .

[9] Зейдлер, Эберхард (3 сентября 2008 г.). Квантовая теория поля II: Квантовая электродинамика: мост между математиками и физиками . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-85377-0 .

[10] Бой, Лучано (2004). «Геометрические и топологические основы теоретической физики: от калибровочных теорий к струнной программе» . Международный журнал математики и математических наук . 2004 (34): 1777–1836. дои : 10.1155/S0161171204304400 . ISSN 0161-1712 .

[11] Уэллс, Рэймонд О'Нил; Вейль, Герман (1988). Математическое наследие Германа Вейля . Американское математическое соц. ISBN 978-0-8218-1482-6 .

[12] Ян, Китай (12 августа 1974 г.). «Интегральный формализм калибровочных полей» . Письма о физических отзывах . 33 (7): 445–447. дои : 10.1103/PhysRevLett.33.445 . ISSN 0031-9007 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ а ]

[ 12 ]