Узел дополнения

Дополнение к узлу гомеоморфно полноторию - обратите внимание, что, хотя сам узел можно представить в виде тора, отверстие в узле соответствует сплошной области дополнения, а сам узел является отверстием в дополнении. . Это связано с тривиальным разложением Хигора трехмерной сферы на два полнотория.

В математике дополнение ручному к узлу K — это пространство, в котором узла нет. Если узел вложен в 3-сферу , то дополнением является 3-сфера минус пространство возле узла. Чтобы уточнить это, предположим, что K — узел в трехмерном многообразии M (чаще всего M — это 3-сфера ). Пусть N — трубчатая окрестность точки K ; поэтому N — полноторий . Дополнение к узлу тогда является дополнением к N ,

$X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N).$

Дополнение к узлам X _K — компактное 3-многообразие ; граница X _K и граница окрестности N гомеоморфны двухтору . Иногда под объемлющим многообразием М понимают 3-сферу . Для определения использования необходим контекст. Аналогичные определения существуют и для ссылки дополнения .

Многие инварианты узлов , такие как группа узлов , на самом деле являются инвариантами дополнения к узлу. Когда окружающее пространство представляет собой трехсферу, информация не теряется: теорема Гордона-Люке утверждает, что узел определяется его дополнением. То есть, если K и K ′ — два узла с гомеоморфными дополнениями, то существует гомеоморфизм трехсферы, переводящий один узел в другой.

Дополнения к узлам — это многообразия Хакена . В более общем смысле дополнениями ссылок являются многообразия Хакена.

См. также

• Род узла
• Поверхность Зейферта

Дальнейшее чтение

• К. Гордон и Дж. Люке, «Узлы определяются их дополнениями», J. Amer. Математика. Соц. , 2 (1989), 371–415.