Коллектор крючком
В математике многообразие Хакена — это компактное , что означает , P²-неприводимое 3-многообразие , которое достаточно велико что оно содержит правильно вложенную двустороннюю несжимаемую поверхность . Иногда рассматриваются только ориентируемые многообразия Хакена, и в этом случае многообразие Хакена представляет собой компактное ориентируемое неприводимое 3-многообразие, содержащее ориентируемую несжимаемую поверхность.
Трехмерное многообразие, конечно покрытое многообразием Хакена, называется виртуально Хакеном . Гипотеза виртуально Хакена утверждает, что каждое компактное неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой виртуально является Хакеном. Эту гипотезу доказал Ян Агол . [1]
Многообразия Хакена были введены Вольфгангом Хакеном ( 1961 ). Хакен (1962) доказал, что многообразия Хакена имеют иерархию , в которой их можно разбить на 3-шары вдоль несжимаемых поверхностей. Хакен также показал, что существует конечная процедура поиска несжимаемой поверхности, если она есть в трехмерном многообразии. Уильям Жако и Ульрих Эртель ( 1984 ) предложили алгоритм, позволяющий определить, является ли трехмерное многообразие Хакеном.
Нормальные поверхности повсеместно встречаются в теории многообразий Хакена, и их простая и жесткая структура вполне естественно приводит к созданию алгоритмов.
Иерархия Хакена
[ редактировать ]Мы будем рассматривать только случай ориентируемых многообразий Хакена, поскольку это упрощает обсуждение; регулярная окрестность ориентируемой поверхности в ориентируемом 3-многообразии есть не что иное, как «утолщенный» вариант поверхности, т. е. тривиальное I -расслоение . Таким образом, регулярная окрестность — это трехмерное подмногообразие с краем, содержащим две копии поверхности.
Учитывая ориентируемое многообразие Хакена M по определению содержит ориентируемую несжимаемую поверхность S. , оно Возьмите регулярную окрестность S и удалите ее внутреннюю часть из M , в результате чего получится M' . мы разрезали M вдоль поверхности S. По сути , (Это аналогично разрезанию поверхности по окружности или дуге, в одном измерении меньше.) Это теорема о том, что любое ориентируемое компактное многообразие с граничным компонентом, не являющимся сферой, имеет бесконечную первую группу гомологий , из чего следует, что оно имеет правильно вложенную двустороннюю неразделяющую несжимаемую поверхность, и поэтому снова является многообразием Хакена. Таким образом, мы можем выбрать другую несжимаемую поверхность в M' и разрезать ее. Если в конечном итоге эта последовательность разрезаний приводит к образованию многообразия, части которого (или компоненты) представляют собой просто 3-шарики, мы называем эту последовательность иерархией.
Приложения
[ редактировать ]Иерархия делает доказательство некоторых теорем о многообразиях Хакена вопросом индукции. Доказана теорема для 3-шаров. Затем доказывается, что если теорема верна для частей, полученных в результате разрезания многообразия Хакена, то она верна и для этого многообразия Хакена. Ключевым моментом здесь является то, что резка происходит по очень «хорошей» поверхности, т. е. несжимаемой. Это делает возможным доказательство шага индукции во многих случаях.
Хакен набросал доказательство алгоритма проверки гомеоморфности двух многообразий Хакена. Его план был дополнен существенными усилиями Фридхельма Вальдхаузена , Клауса Йохансона, Джеффри Хемиона, Сергея Матвеева и других. Поскольку существует алгоритм проверки того, является ли 3-многообразие Хакеном (см. Жако – Эртеля), основную проблему распознавания 3-многообразий можно считать решенной для многообразий Хакена.
Фридхельм Вальдхаузен ( 1968 ) доказал, что замкнутые многообразия Хакена топологически жёстки : грубо говоря, любая гомотопическая эквивалентность многообразий Хакена гомотопна гомеоморфизму (для случая границы необходимо условие периферийной структуры). Итак, эти три-многообразия полностью определяются своей фундаментальной группой. Кроме того, Вальдхаузен доказал, что фундаментальные группы многообразий Хакена имеют разрешимую проблему слов; это справедливо и для практически многообразий Хакена.
Иерархия сыграла решающую роль в теореме Уильяма Терстона о гиперболизации многообразий Хакена, которая была частью его революционной программы геометризации трехмерных многообразий.
Йоханнсон (1979) доказал, что тороидальные , кольцевые , гранично-неприводимые трехмерные многообразия Хакена имеют конечные группы классов отображений . Этот результат можно получить, комбинируя жесткость Мостова с теоремой о геометризации Терстона.
Примеры многообразий Хакена
[ редактировать ]Обратите внимание, что некоторые семейства примеров содержатся в других.
- Компактные неприводимые трехмерные многообразия с положительным первым числом Бетти.
- Расслоение поверхностей по кругу , это частный случай приведенного выше примера.
- Ссылку дополняет , см. также узел дополняет . [2]
- Большинство расслоений Зейферта имеют много несжимаемых торов.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Агол, Ян (2013). «Виртуальная гипотеза Хакена. С приложением Агола, Дэниела Гроувса и Джейсона Мэннинга» (PDF) . Документа Математика . 18 : 1045–1087. МР 3104553 . Архивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2023 г. Проверено 21 августа 2019 г.
- ^ Жако, Уильям (1980). Лекции по топологии трех многообразий . АМС. п. 42. ИСБН 978-1-4704-2403-9 .
- Хакен, Вольфганг (1961). «Теория нормальных поверхностей. Изотопический критерий кругового узла» . Акта Математика . 105 (3–4): 245–375. дои : 10.1007/BF02559591 . ISSN 0001-5962 . MR0141106 .
- Хакен, Вольфганг (1968). «Некоторые результаты о поверхностях в трехмерных многообразиях» . В Хилтоне, Питер Дж. (ред.). Исследования по современной топологии . Математическая ассоциация Америки (распространяется Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ). стр. 39–98. ISBN 978-0-88385-105-0 . МР 0224071 .
- Хакен, Вольфганг (1962). «К проблеме гомеоморфизма 3-многообразий. I». Математический журнал . 80 :89-120. дои : 10.1007/BF01162369 . ISSN 0025-5874 . MR0160196 .
- Хемпель, Джон (1976). 3-многообразия . Анналы математических исследований. Том. 86. Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-8218-3695-8 . МР 0415619 .
- Жако, Уильям ; Эртель, Ульрих (1984). «Алгоритм определения того, является ли 3-многообразие многообразием Хакена». Топология . 23 (2): 195–209. дои : 10.1016/0040-9383(84)90039-9 . ISSN 0040-9383 . МР 0744850 .
- Йоханссон, Клаус (1979). «О группе классов отображений простых 3-многообразий». В Фенне, Роджер А. (ред.). Топология маломерных многообразий (Труды Второй Сассексской конференции, Челвуд Гейт, 1977) . Конспект лекций по математике. Том. 722. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 48–66. дои : 10.1007/BFb0063189 . ISBN 978-3-540-09506-4 . МР 0547454 .
- Вальдхаузен, Фридхельм (1968). «О неприводимых 3-многообразиях, достаточно больших» . Анналы математики . Вторая серия. 87 (1): 56–88. дои : 10.2307/1970594 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970594 . МР 0224099 .