Топологическая жесткость

В математической топологии , многообразие топологически М называется жестким если каждое многообразие гомотопически эквивалентное М также гомеоморфно М. , ,

Мотивация

Центральной проблемой топологии является определение того, являются ли два пространства одинаковыми, т.е. гомеоморфными или диффеоморфными. Явное построение морфизма почти всегда непрактично. Если мы наложим дополнительные условия на одно или оба пространства (многообразия), мы сможем использовать эту дополнительную структуру, чтобы показать, что желаемый морфизм должен существовать.

Теорема о жесткости касается случаев, когда довольно слабая эквивалентность между двумя многообразиями (обычно гомотопическая эквивалентность ) влечет за собой существование более сильного гомеоморфизма эквивалентности, диффеоморфизма или изометрии .

Определение.

Замкнутое топологическое многообразие M называется топологически жестким, если любая гомотопическая эквивалентность f : N → M с некоторым многообразием N в качестве источника и M в качестве цели гомотопна гомеоморфизму.

Примеры

Пример 1.
Если замкнутые 2-многообразия M и N гомотопически эквивалентны, то они гомеоморфны. Более того, любая гомотопическая эквивалентность замкнутых поверхностей деформируется до гомеоморфизма.

Пример 2.
Если замкнутое многообразие M ^н ( n ≠ 3) гомотопически эквивалентен S ^н тогда М ^н гомеоморфно S ^н .

Теорема жесткости в геометрии

Определение.

Диффеоморфизм плоских римановых многообразий называется аффинным тогда и только тогда, когда он переводит геодезические в геодезические.

Теорема (Бибербаха)

Если f : M → N — гомотопическая эквивалентность плоских замкнутых связных римановых многообразий, то f гомотопно аффинному гомеоморфизму.

Теория жесткости Мостова

Теорема: Пусть M и N — компактные , локально симметричные римановы многообразия всюду неположительной кривизны, не имеющие замкнутых одномерных или двумерных геодезических подпространств, которые локально являются прямым фактором. Если f : M → N — гомотопическая эквивалентность, то f гомотопно изометрии.

Теорема (теорема Мостоу для гиперболических n - многообразий, n ≥ 3): Если M и N — полные гиперболические n- многообразия, n ≥ 3 с конечным объемом и f : M → N — гомотопическая эквивалентность, то f гомотопно изометрии.

Эти результаты названы в честь Джорджа Мостоу .

Алгебраическая форма

Пусть Γ и Δ — дискретные подгруппы группы изометрий гиперболического ≥ n -пространства H , где n 3, чьи факторы H /Γ и H /Δ имеют конечный объем. Если Γ и Δ изоморфны как дискретные группы, то они сопряжены.

Примечания

(1) В двумерном случае любое многообразие рода не менее двух имеет гиперболическую структуру. Теорема о жесткости Мостоу в этом случае неприменима. Фактически, на любом таком многообразии существует множество гиперболических структур; каждая такая структура соответствует точке в пространстве Тейхмюллера.

(2) С другой стороны, если M и N — 2-многообразия конечного объема, то легко показать, что они гомеоморфны ровно тогда, когда их фундаментальные группы одинаковы.

Приложение

конечного объема Группа изометрий гиперболического n -многообразия M (при n ≥ 3) конечно порождена. и изоморфен π ₁ ( M ).