Экспоненциальная карта (риманова геометрия)

Эта статья о экспоненциальном отображении в дифференциальной геометрии. Для дискретных динамических систем см. Экспоненциальную карту (дискретные динамические системы) . Чтобы узнать об экспоненциальном отображении алгебры Ли в группу Ли , см. Экспоненциальное отображение (теория Ли) .

Экспоненциальная карта Земли, если смотреть с северного полюса, представляет собой полярную азимутальную равноудаленную проекцию в картографии.

В римановой геометрии экспоненциальное отображение — это отображение подмножества касательного пространства T _p M риманова многообразия (или псевдориманова многообразия ) M в M. само (Псевдо)риманова метрика определяет каноническую аффинную связность, а экспоненциальное отображение (псевдо)риманова многообразия задается экспоненциальным отображением этой связности.

Определение

Пусть M — дифференцируемое многообразие и p точка M. — Аффинная связность на M позволяет определить понятие прямой , проходящей через точку p .

Пусть v ∈ T _p M — касательный вектор к многообразию в точке p . Тогда существует единственная геодезическая γ _v :[0,1] → M, такая что γ _v (0) = p с начальным касательным вектором γ ′ _v (0) = v . Соответствующее экспоненциальное отображение определяется выражением exp _p ( v ) = γ _v (1) . В общем, экспоненциальное отображение определяется только локально , то есть оно переносит только небольшую окрестность начала координат в точке T _p M в окрестность точки p в многообразии. Это связано с тем, что он опирается на теорему существования и единственности обыкновенных дифференциальных уравнений , которая носит локальный характер. Аффинная связность называется полной, если экспоненциальное отображение корректно определено в каждой точке касательного расслоения .

Характеристики

Интуитивно говоря, экспоненциальное отображение переносит заданный касательный вектор к многообразию, проходит вдоль геодезической, начиная с этой точки, и идет в этом направлении за одну единицу времени. Поскольку v соответствует вектору скорости геодезической, фактическое (риманово) пройденное расстояние будет зависеть от этого. Мы также можем перепараметризовать геодезические так, чтобы они имели единичную скорость, поэтому эквивалентно мы можем определить exp _p ( v ) = β(| v |), где β — геодезическая с единичной скоростью (геодезическая, параметризованная длиной дуги), идущая в направлении v . Изменяя касательный вектор v, мы получим, применяя exp _p , различные точки на M , которые находятся на некотором расстоянии от базовой точки p - это, пожалуй, один из наиболее конкретных способов продемонстрировать, что касательное пространство к многообразию своего рода «линеаризация» многообразия.

Теорема Хопфа –Ринова утверждает, что можно определить экспоненциальное отображение на всем касательном пространстве тогда и только тогда, когда многообразие полно как метрическое пространство (что оправдывает обычный термин геодезически полное для многообразия, имеющего экспоненциальное отображение с этим свойством ). В частности, компактные многообразия геодезически полны. Однако даже если exp _p определен на всем касательном пространстве, он, вообще говоря, не будет глобальным диффеоморфизмом . Однако его дифференциал в начале касательного пространства является тождественным отображением , и поэтому по теореме об обратной функции мы можем найти окрестность начала координат T _p M, в которой экспоненциальное отображение является вложением (т. е. экспоненциальное отображение есть локальный диффеоморфизм). Радиус наибольшего шара вокруг начала координат в T _p M может быть отображен диффеоморфно через exp _p, называется радиусом инъективности M , который в точке p . Вырезанное множество экспоненциального отображения — это, грубо говоря, набор всех точек, в которых экспоненциальное отображение не имеет уникального минимума.

Важным свойством экспоненциального отображения является следующая лемма Гаусса (еще одна лемма Гаусса ): задан любой касательный вектор v в области определения exp _p и другой вектор w , основанный на вершине v (следовательно, w фактически находится в пространстве двойного касания T _v (T _p M )) и ортогонально v , w остается ортогональным v при продвижении вперед через экспоненциальное отображение. Это означает, в частности, что граничная сфера маленького шара относительно начала координат в T _p M ортогональна геодезическим в M, определяемым этими векторами (т. е. геодезические радиальны ). Это мотивирует определение геодезических нормальных координат на римановом многообразии.

Экспоненциальное отображение также полезно для связи абстрактного определения кривизны с более конкретной реализацией ее, первоначально задуманной самим Риманом: секционная кривизна интуитивно определяется как гауссова кривизна некоторой поверхности (т. е. разрезание многообразия на 2 точку p -мерное подмногообразие) через рассматриваемую . С помощью экспоненциального отображения теперь его можно точно определить как гауссову кривизну поверхности через p, определяемую образом под exp _p двумерного подпространства T _p M .

Отношения с экспоненциальными отображениями в теории Ли

В случае групп Ли с биинвариантной метрикой — псевдоримановой метрикой, инвариантной как при левом, так и при правом сдвиге — экспоненциальные отображения псевдоримановой структуры такие же, как и экспоненциальные отображения группы Ли . В общем, группы Ли не имеют биинвариантной метрики, хотя она есть у всех связных полупростых (или редуктивных) групп Ли. Существование биинвариантной римановой метрики более строго, чем существование псевдоримановой метрики, и означает, что алгебра Ли является алгеброй Ли компактной группы Ли; и наоборот, любая компактная (или абелева) группа Ли имеет такую ​​риманову метрику.

Возьмем пример, который дает «честную» экспоненциальную карту. Рассмотрим положительные действительные числа R ⁺ , группа Ли при обычном умножении. Тогда каждое касательное пространство — это R. просто В каждой копии R в точке y мы вводим модифицированный скалярный продукт $$\langle u,v\rangle _{y}={\frac {uv}{y^{2}}}$$умножая их как обычные действительные числа, но масштабируя по y ² (это то, что делает метрику левоинвариантной, поскольку левое умножение на множитель просто вытянет из внутреннего произведения дважды — сокращая квадрат в знаменателе).

Рассмотрим точку 1 ∈ R ⁺ , а x ∈ R — элемент касательного пространства в точке 1. Обычная прямая, исходящая из 1, а именно y ( t ) = 1 + xt , конечно, охватывает тот же путь, что и геодезическая, за исключением того, что нам придется перепараметризовать так, чтобы получить кривую с постоянной скоростью («постоянная скорость», помните, не будет обычной постоянной скоростью, потому что мы используем эту забавную метрику). Для этого перепараметризуем по длине дуги (интегралу от длины касательного вектора по норме $|\cdot |_{y}$ индуцированные модифицированной метрикой): $$s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|$$

и после инвертирования функции, чтобы получить t как функцию от s , мы подставляем и получаем $$y(s)=e^{sx/|x|}$$

Теперь, используя определение единичной скорости, мы имеем $$\exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|),$$давая ожидаемое e ^х .

Риманово расстояние, определяемое этим, просто $$\operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.$$

См. также

• Список экспоненциальных тем

Ссылки

• Чигер, Джефф; Эбин, Дэвид Г. (1975), Теоремы сравнения в римановой геометрии , Elsevier . См. главу 1, разделы 2 и 3.
• ду Карму, Манфредо П. (1992), Риманова геометрия , Биркхойзер, ISBN  0-8176-3490-8 . См. главу 3.
• «Экспоненциальное отображение» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Аспирантура по математике , том. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2848-9 , МР   1834454 .
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15733-3 .