Локально связанное пространство

В топологии и других разделах математики топологическое пространство X — это локально связна , если каждая точка допускает базис окрестности , состоящий из открытых связных множеств.

В качестве более сильного понятия пространство X является локально связным , если каждая точка допускает базис окрестности, состоящий из множеств, связанных открытыми путями .

Фон

На протяжении всей истории топологии связность и компактность были двумя наиболее важными факторами.широко изученные топологические свойства. Действительно, изучение этих свойств даже среди подмножеств евклидова пространства и признание их независимости от конкретной формы евклидовой метрики сыграли большую роль в прояснении понятия топологического свойства и, следовательно, топологического пространства. Однако, хотя структура компактных подмножеств евклидова пространства была понята довольно рано с помощью теоремы Гейне – Бореля , связные подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ (при n > 1) оказалось гораздо сложнее. Действительно, хотя любое компактное хаусдорфово пространство , локально компактно связное пространство — и даже связное подмножество евклидовой плоскости — не обязательно должно быть локально связным (см. ниже).

Это привело к богатому потоку исследований в первой половине двадцатого века, в которых топологи изучали последствия между все более тонкими и сложными вариациями понятия локально связанного пространства. В качестве примера далее в статье будет рассмотрено понятие локальной связности в точке и его связь с локальной связностью.

Во второй половине двадцатого века исследовательские тенденции сместились в сторону более интенсивного изучения таких пространств, как многообразия , которые локально хорошо изучены (являясь локально гомеоморфными евклидову пространству), но имеют сложное глобальное поведение. Под этим подразумевается, что, хотя базовая топология многообразий относительно проста (поскольку многообразия по существу метризуемы согласно большинству определений концепции), их алгебраическая топология гораздо более сложна. С этой современной точки зрения более важное свойство локальной связности путей оказывается более важным: например, для того, чтобы пространство могло иметь универсальное покрытие, оно должно быть связным и локально связанным путями.

Пространство локально связно тогда и только тогда, когда для любого открытого множества $U$ связные компоненты $его$ (в топологии подпространства ) открыты. Отсюда следует, например, что непрерывная функция из локально связного пространства в полностью несвязное пространство должна быть локально постоянной. На самом деле открытость компонентов настолько естественна, что нужно обязательно иметь в виду, что это неверно в общем случае: например, канторово пространство полностью несвязно, но не дискретно .

Определения

Позволять $X$ — топологическое пространство, и пусть $x$ быть точкой $X.$

Пространство $X$ называется локально подключенным в $x$ ^[1] если окрестность каждая $x$ содержит связную открытую окрестность $x$ , то есть, если точка $x$ имеет базу окрестности, состоящую из связных открытых множеств. пространство Локально связанное ^[2]^[1] — пространство, локально связное в каждой своей точке.

Локальная связность не предполагает связности (рассмотрим два непересекающихся открытых интервала в $\mathbb {R}$ например); а связность не предполагает локальной связности (см. синусоиду тополога ).

Пространство $X$ называется локальным путем, соединенным в $x$ ^[1] если каждая окрестность $x$ содержит путь, соединяющий открытую окрестность $x$ , то есть, если точка $x$ имеет базу окрестностей, состоящую из открытых множеств, соединенных путями. Пространство , связанное локальным путем ^[3]^[1] — это пространство, которое локально соединено путями в каждой своей точке.

Пространства, связанные локальными путями, являются локально связанными. Обратное неверно (см. топологию лексикографического порядка на единичном квадрате ).

Связность в небольшом масштабе

Пространство $X$ называется подключенным im kleinen at $x$ ^[4]^[5] или слабо локально связан в $x$ ^[6] если каждая окрестность $x$ содержит связную окрестность $x$ , то есть, если точка $x$ имеет базу окрестностей, состоящую из связных множеств. Пространство называется слабо локально связным , если оно слабо локально связно в каждой своей точке; как указано ниже, это понятие фактически то же самое, что и локальное соединение.

Пространство, локально связанное в $x$ подключен к маленькому при $x.$ Обратное неверно, как показывает, например, некоторый бесконечный союз убывающих пространств метел , который связан im kleinen в определенной точке, но не связан локально в этой точке. ^[7]^[8]^[9] Однако если пространство связно im kleinen в каждой своей точке, оно локально связно. ^[10]

Пространство $X$ Говорят, что путь связан с im kleinen at $x$ ^[5] если каждая окрестность $x$ содержит связную по путям окрестность $x$ , то есть, если точка $x$ имеет базу окрестностей, состоящую из множеств, связанных путями.

Пространство, которое локально соединено путем $x$ подключен ли путь, я Кляйнен в $x.$ Обратное неверно, о чем свидетельствует то же бесконечное объединение убывающих пространств метел, что и выше. Однако, если пространство соединено путями в каждой из своих точек, оно локально связано путями. ^[11]

Первые примеры

Для любого натурального числа n евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ является локально подключенным, следовательно, локально подключенным; это тоже связано.
В более общем смысле, каждое локально выпуклое топологическое векторное пространство локально связно, поскольку каждая точка имеет локальную базу из выпуклых (и, следовательно, связных) окрестностей.
Подпространство $S=[0,1]\cup [2,3]$ настоящей линии $\mathbb {R} ^{1}$ локально подключен, но не подключен.
— Синусоидальная кривая тополога это подпространство евклидовой плоскости, которое связно, но не локально связно. ^[12]
Пространство $\mathbb {Q}$ рациональных чисел, наделенных стандартной евклидовой топологией, не является ни связным, ни локально связным.
Гребенчатое пространство связано путем, но не локально и даже не локально.
Счетное бесконечное множество, наделенное коконечной топологией, является локально связным (действительно, гиперсвязным ), но не локально связным. ^[13]
Топология лексикографического порядка на единичной площади связна и локально связна, но не связана по путям и не связана локально по путям. ^[14]
Пространство Кирха связно и локально связно, но не связано путями и не связано путями в любой точке. На самом деле это полностью отключенный путь .

Первое счетное пространство Хаусдорфа. $(X,\tau )$ локально связен по путям тогда и только тогда, когда $\tau$ равна окончательной топологии на $X$ индуцированный набором $C([0,1];X)$ всех непрерывных путей $[0,1]\to (X,\tau ).$

Характеристики

Теорема : Пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно слабо локально связно. ^[10]

Доказательство

For the non-trivial direction, assume $X$ is weakly locally connected. To show it is locally connected, it is enough to show that the connected components of open sets are open.

Let $U$ be open in $X$ and let $C$ be a connected component of $U.$ Let $x$ be an element of $C.$ Then $U$ is a neighborhood of $x$ so that there is a connected neighborhood $V$ of $x$ contained in $U.$ Since $V$ is connected and contains $x,$ $V$ must be a subset of $C$ (the connected component containing $x$ ). Therefore $x$ is an interior point of $C.$ Since $x$ was an arbitrary point of $C,$ $C$ is open in $X.$ Therefore, $X$ is locally connected.

Локальная связность — это, по определению, локальное свойство топологических пространств, т. е. такое топологическое свойство P , что пространство X обладает свойством P тогда и только тогда, когда каждая точка x в X допускает базу окрестностей множеств, обладающих свойством P . Соответственно, все «метасвойства», принадлежащие локальному свойству, сохраняют силу локальной связности. В частности:
Пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно допускает базу (открытых) связных подмножеств.
Непересекающийся союз $\coprod _{i}X_{i}$ семьи $\{X_{i}\}$ пространств локально связно тогда и только тогда, когда каждое $X_{i}$ подключен локально. В частности, поскольку отдельная точка заведомо локально связна, отсюда следует, что любое дискретное пространство локально связно. С другой стороны, дискретное пространство полностью несвязно , поэтому связно только в том случае, если оно имеет не более одной точки.
И наоборот, полностью несвязное пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно дискретно. Это можно использовать для объяснения вышеупомянутого факта, что рациональные числа не локально связаны.
Непустое пространство продукта $\prod _{i}X_{i}$ локально связен тогда и только тогда, когда каждый $X_{i}$ локально связен, и все, кроме конечного числа $X_{i}$ связаны. ^[15]
Каждое гиперсвязное пространство локально связно и связно.

Компоненты и компоненты пути

Следующий результат почти сразу следует из определений, но будет весьма полезен:

Лемма: Пусть X — пространство и $\{Y_{i}\}$ семейство подмножеств X . Предположим, что $\bigcap _{i}Y_{i}$ непусто. Тогда, если каждый $Y_{i}$ связно (соответственно, связан путь), то объединение $\bigcup _{i}Y_{i}$ подключен (соответственно, путь подключен). ^[16]

Теперь рассмотрим два соотношения в топологическом пространстве X : для $x,y\in X,$ писать:

x\equiv _{c}y

если существует связное подмножество X, содержащее как x, так и y ; и

x\equiv _{pc}y

если существует подмножество X, связанное путем , содержащее как x, так и y .

Очевидно, что оба отношения рефлексивны и симметричны. Более того, если x и y содержатся в связном (соответственно, связном по путям) подмножестве A , а y и z соединены в связном (соответственно, связном по путям) подмножестве B , то из леммы следует, что $A\cup B$ — связное (соответственно, связанное по пути) подмножество, содержащее x , y и z . Таким образом, каждое отношение является отношением эквивалентности и определяет разбиение X на классы эквивалентности . Мы рассмотрим эти два раздела по очереди.

Для x в X набор $C_{x}$ всех точек y таких, что $y\equiv _{c}x$ называется связности x . компонентой ^[17] Из леммы следует, что $C_{x}$ — единственное максимальное связное подмножество X, содержащее x . ^[18] Сзакрытие $C_{x}$ также является связным подмножеством, содержащим x , ^[19] отсюда следует, что $C_{x}$ закрыт. ^[20]

Если X имеет лишь конечное число связных компонентов, то каждый компонент является дополнением конечного объединения замкнутых множеств и, следовательно, открыт. В общем случае компоненты связности не обязательно должны быть открытыми, поскольку, например, существуют полностью несвязные пространства (т. е. $C_{x}=\{x\}$ для всех точек x ), которые не являются дискретными, например пространство Кантора. Однако связные компоненты локально связного пространства также открыты и, следовательно, представляют собой открыто -замкнутые множества . ^[21] Отсюда следует, что локально связное пространство X является топологическим дизъюнктным объединением. $\coprod C_{x}$ его отдельных компонентов связности. И наоборот, если для каждого открытого подмножества U в X связные компоненты U открыты, то X допускает базу связных множеств и, следовательно, локально связно. ^[22]

Аналогично x в X множество $PC_{x}$ всех точек y таких, что $y\equiv _{pc}x$ называется пути x . компонентом ^[23] Как указано выше, $PC_{x}$ также является объединением всех подмножеств X, связанных путями , которые содержат x , поэтому по лемме оно само связно путями. Поскольку множества, связанные путями, связаны, мы имеем $PC_{x}\subseteq C_{x}$ для всех $x\in X.$

Однако замыкание множества, соединенного путем, не обязательно должно быть связано с путем: например, синусоидальная кривая тополога - это замыкание открытого подмножества U, состоящего из всех точек (x,sin(x)) с x > 0 и U , будучи гомеоморфен интервалу на вещественной прямой, заведомо линейно связен. Более того, компоненты пути синусоидальной кривой тополога C — это U , который открыт, но не замкнут, и $C\setminus U,$ который закрыт, но не открыт.

Пространство является локально связным тогда и только тогда, когда для всех открытых подмножеств U компоненты путей U открыты. ^[23] Следовательно, компоненты пути локально связного пространства дают разбиение X на попарно непересекающиеся открытые множества. Отсюда следует, что открытое связное подпространство локально связного пространства обязательно является линейно связным. ^[24] Более того, если пространство локально связно, то оно также локально связно, поэтому для всех $x\in X,$ $C_{x}$ связен и открыт, следовательно, путь связан, то есть $C_{x}=PC_{x}.$ То есть для локально-путевого пространства компоненты и компоненты пути совпадают.

Примеры

Набор $I\times I$ (где $I=[0,1]$ ) в словаря топологии порядка имеет ровно один компонент (поскольку он связен), но имеет несчетное количество компонентов пути. Действительно, любое множество вида $\{a\}\times I$ является компонентом пути для каждого a принадлежащего I. ,
Позволять $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\ell }$ быть непрерывным отображением из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R} _{\ell }$ (что $\mathbb {R}$ в топологии нижнего предела ). С $\mathbb {R}$ связен, и образ связного пространства под непрерывным отображением должен быть связным, образ $\mathbb {R}$ под $f$ должен быть подключен. Поэтому образ $\mathbb {R}$ под $f$ должно быть подмножеством компонента $\mathbb {R} _{\ell }/$ Поскольку этот образ непуст, то единственные непрерывные отображения из ' $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R} _{\ell },$ являются постоянными картами. Фактически, любое непрерывное отображение связного пространства в полностью несвязное пространство должно быть постоянным.

Квазикомпоненты

Пусть X — топологическое пространство. Определим третье соотношение на X : $x\equiv _{qc}y$ если не существует разделения X на открытые множества A и B, что x является элементом A , а y является элементом B. такие Это отношение эквивалентности на X и класс эквивалентности $QC_{x}$ содержащий x называется квазикомпонентой x , . ^[18]

$QC_{x}$ также может быть охарактеризовано как пересечение всех открыто-замкнутых подмножеств X , содержащих x . ^[18] Соответственно $QC_{x}$ закрыт; в общем, он не обязательно должен быть открытым.

Очевидно $C_{x}\subseteq QC_{x}$ для всех $x\in X.$ ^[18] В целом мы имеем следующие ограничения среди компонентов пути, компонентов и квазикомпонентов в точке x : $PC_{x}\subseteq C_{x}\subseteq QC_{x}.$

Если X локально связен, то, как указано выше, $C_{x}$ является открыто-открытым множеством, содержащим x , поэтому $QC_{x}\subseteq C_{x}$ и таким образом $QC_{x}=C_{x}.$ Поскольку из локальной связности путей следует локальная связность, отсюда следует, что во всех точках x пространства с локальной связностью мы имеем $PC_{x}=C_{x}=QC_{x}.$

Другой класс пространств, квазикомпоненты которых совпадают с компонентами, — это класс хаусдорфовых компактов. ^[25]

Примеры

Примером пространства, квазикомпоненты которого не равны его компонентам, является последовательность с двойной предельной точкой. Это пространство полностью несвязно, но обе предельные точки лежат в одной и той же квазикомпоненте, поскольку любое замкнуто-замкнутое множество, содержащее одну из них, должно содержать хвост последовательности, а значит, и другую точку.
Пространство $(\{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {Z} ^{+}\})\times [-1,1]\setminus \{(0,0)\}$ локально компактен и хаусдорфов, но множества $\{0\}\times [-1,0)$ и $\{0\}\times (0,1]$ Это две разные компоненты, лежащие в одной и той же квазикомпоненте.
Пространство Аренса –Форта не является локально связным, но тем не менее компоненты и квазикомпоненты совпадают: действительно $QC_{x}=C_{x}=\{x\}$ для всех точек х . ^[26]

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Мункрес, с. 161
^ Уиллард, Определение 27.7, с. 199
^ Уиллард, Определение 27.4, стр.199
^ Уиллард, Определение 27.14, с. 201
^ Перейти обратно: ^а ^б Бьёрн, Андерс; Бьёрн, Яна; Шанмугалингам, Нагесвари (2016). «Расстояние Мазуркевича и множества, конечно связные на границе». Журнал геометрического анализа . 26 (2): 873–897. arXiv : 1311.5122 . дои : 10.1007/s12220-015-9575-9 . S2CID 255549682 . , раздел 2
^ Мункрес, упражнение 6, с. 162
^ Стин и Зеебах, пример 119.4, с. 139
^ Мункрес, упражнение 7, с. 162
^ «Покажите, что X не является локально связным в точке p» . Математический StackExchange .
^ Перейти обратно: ^а ^б Уиллард, Теорема 27.16, с. 201
^ «Определение локальной линейной связи» . Математический StackExchange .
^ Стин и Зеебах, стр. 137–138.
^ Стин и Зеебах, стр. 49–50.
^ Steen & Seebach, пример 48, с. 73
^ Уиллард, теорема 27.13, с. 201
^ Уиллард, Теорема 26.7a, с. 192
^ Уиллард, Определение 26.11, стр.194
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Уиллард, Задача 26B, стр. 195–196.
^ Келли, Теорема 20, с. 54; Уиллард, Теорема 26.8, стр.193.
^ Уиллард, Теорема 26.12, с. 194
^ Уиллард, Следствие 27.10, с. 200
^ Уиллард, Теорема 27.9, с. 200
^ Перейти обратно: ^а ^б Уиллард, Задача 27D, с. 202
^ Уиллард, Теорема 27.5, с. 199
^ Энгелькинг, Теорема 6.1.23, с. 357
^ Стин и Зеебах, стр. 54-55.

Ссылки

Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4 .
Джон Л. Келли ; Общая топология ; ISBN 0-387-90125-6
Манкрес, Джеймс (1999), Топология (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 0-13-181629-2 .
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 1382863
Стивен Уиллард; Общая топология ; Дуврские публикации, 2004.

Дальнейшее чтение

Коппин, Калифорния (1972), «Непрерывные функции из связного локально связного пространства в связное пространство с точкой дисперсии», Труды Американского математического общества , 32 (2), Американское математическое общество: 625–626, doi : 10.1090/ S0002-9939-1972-0296913-7 , JSTOR 2037874 . Для хаусдорфовых пространств показано, что любая непрерывная функция из связного локально связного пространства в связное пространство с точкой дисперсии является постоянной.
Дэвис, HS (1968), «Заметка о связности Im Kleinen», Труды Американского математического общества , 19 (5), Американское математическое общество: 1237–1241, doi : 10.1090/s0002-9939-1968-0254814-3 , JSTOR 2036067 .

[Munkres-p161-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Мункрес, с. 161

[2] Уиллард, Определение 27.7, с. 199

[3] Уиллард, Определение 27.4, стр.199

[4] Уиллард, Определение 27.14, с. 201

[BBS-5] Перейти обратно: ^а ^б Бьёрн, Андерс; Бьёрн, Яна; Шанмугалингам, Нагесвари (2016). «Расстояние Мазуркевича и множества, конечно связные на границе». Журнал геометрического анализа . 26 (2): 873–897. arXiv : 1311.5122 . дои : 10.1007/s12220-015-9575-9 . S2CID 255549682 . , раздел 2

[6] Мункрес, упражнение 6, с. 162

[SS-119.4-7] Стин и Зеебах, пример 119.4, с. 139

[Munkres-ex7-p162-8] Мункрес, упражнение 7, с. 162

[9] «Покажите, что X не является локально связным в точке p» . Математический StackExchange .

[Willard-27.16-10] Перейти обратно: ^а ^б Уиллард, Теорема 27.16, с. 201

[11] «Определение локальной линейной связи» . Математический StackExchange .

[Steen-12] Стин и Зеебах, стр. 137–138.

[13] Стин и Зеебах, стр. 49–50.

[14] Steen & Seebach, пример 48, с. 73

[15] Уиллард, теорема 27.13, с. 201

[16] Уиллард, Теорема 26.7a, с. 192

[17] Уиллард, Определение 26.11, стр.194

[WillardProblem_a-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Уиллард, Задача 26B, стр. 195–196.

[19] Келли, Теорема 20, с. 54; Уиллард, Теорема 26.8, стр.193.

[20] Уиллард, Теорема 26.12, с. 194

[21] Уиллард, Следствие 27.10, с. 200

[22] Уиллард, Теорема 27.9, с. 200

[WillardProblem-23] Перейти обратно: ^а ^б Уиллард, Задача 27D, с. 202

[24] Уиллард, Теорема 27.5, с. 199

[25] Энгелькинг, Теорема 6.1.23, с. 357

[26] Стин и Зеебах, стр. 54-55.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]