Топологии арифметической прогрессии

В общей топологии и теории чисел , разделах математики , можно определить различные топологии на множестве. $\mathbb {Z}$ целых чисел или множества $\mathbb {Z} _{>0}$ натуральных чисел, взяв за основу подходящий набор арифметических прогрессий , последовательностей вида $\{b,b+a,b+2a,...\}$ или $\{...,b-2a,b-a,b,b+a,b+2a,...\}.$ Тогда открытые множества будут представлять собой объединения арифметических прогрессий в коллекции. Три примера — топология Фюрстенберга на $\mathbb {Z}$ , а также топология Голомба и топология Кирха на $\mathbb {Z} _{>0}$ . Точные определения приведены ниже.

Гилель Фюрстенберг ^[1] ввел первую топологию, чтобы обеспечить «топологическое» доказательство бесконечности множества простых чисел . Вторую топологию изучал Соломон Голомб. ^[2] и дает пример счетного бесконечного Хаусдорфова пространства , которое связно . Третья топология, предложенная А. М. Кирхом, ^[3] является примером счетно бесконечного Хаусдорфова пространства, которое одновременно связно и локально связно . Эти топологии также обладают интересными разделения и однородности свойствами .

Понятие топологии арифметической прогрессии можно обобщить на произвольные области Дедекинда .

Строительство

Двусторонние арифметические прогрессии в $\mathbb {Z}$ являются подмножествами формы

a\mathbb {Z} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \},

где $a,b\in \mathbb {Z}$ и $a>0.$ Пересечение двух таких арифметических прогрессий либо пусто, либо представляет собой другую арифметическую прогрессию того же вида:

(a\mathbb {Z} +b)\cap (c\mathbb {Z} +b)=\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {Z} +b,

где $\operatorname {lcm} (a,c)$ является наименьшим общим кратным $a$ и $c.$ ^[4]

Аналогично односторонние арифметические прогрессии в $\mathbb {Z} _{>0}=\{1,2,...\}$ являются подмножествами формы

a\mathbb {N} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}=\{b,a+b,2a+b,...\},

с $\mathbb {N} =\{0,1,2,...\}$ и $a,b>0$ . Пересечение двух таких арифметических прогрессий либо пусто, либо представляет собой другую арифметическую прогрессию того же вида:

(a\mathbb {N} +b)\cap (c\mathbb {N} +d)=\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {N} +q,

с $q$ равен наименьшему элементу пересечения.

Это показывает, что каждое непустое пересечение конечного числа арифметических прогрессий снова является арифметической прогрессией. Затем можно определить топологию на $\mathbb {Z}$ или $\mathbb {Z} _{>0}$ выбрав коллекцию ${\mathcal {B}}$ арифметических прогрессий, объявляя все элементы ${\mathcal {B}}$ быть открытыми множествами и принять топологию, порожденную ими. Если любое непустое пересечение двух элементов ${\mathcal {B}}$ снова является элементом ${\mathcal {B}}$ , коллекция ${\mathcal {B}}$ будет основой топологии. В общем, это будет подбаза топологии и набор всех арифметических прогрессий, которые являются непустыми конечными пересечениями элементов ${\mathcal {B}}$ будет основой топологии. Далее следуют три особых случая.

Фюрстенберга Топология , ^[1] или равномерно распределенная целочисленная топология , ^[5] на съемочной площадке $\mathbb {Z}$ целых чисел получается, если взять за основу совокупность всех $a\mathbb {Z} +b$ с $a,b\in \mathbb {Z}$ и $a>0.$

Голомба Топология , ^[2] или относительно простая целочисленная топология , ^[6] на съемочной площадке $\mathbb {Z} _{>0}$ положительных целых чисел получается, если взять за основу совокупность всех $a\mathbb {N} +b$ с $a,b>0$ и $a$ и $b$ относительно простой . ^[2] Эквивалентно, ^[7] подколлекция таких множеств с дополнительным условием $b<a$ также образует основу топологии. ^[6] Соответствующее топологическое пространство называется пространством Голомба . ^[8]

Топология Кирха , ^[3] или топология простых чисел , ^[9] на съемочной площадке $\mathbb {Z} _{>0}$ положительных целых чисел получается, если взять в качестве подбазы совокупность всех $p\mathbb {N} +b$ с $b>0$ и $p$ простое число, не делящее $b.$ ^[10]Эквивалентно, ^[7] в качестве подбазы можно взять совокупность всех $p\mathbb {N} +b$ с $p$ премьер и $0<b<p$ . ^[3]^[9] База топологии состоит из всех $a\mathbb {N} +b$ с относительно простым $a,b>0$ и $a$ без квадратов (или то же самое с дополнительным условием $b<a$ ). Соответствующее топологическое пространство называется пространством Кирха . ^[10]

Эти три топологии связаны в том смысле, что каждое открытое множество в топологии Кирха открыто в топологии Голомба, а каждое открытое множество в топологии Голомба открыто в топологии Фюрстенберга (ограничено подпространством $\mathbb {Z} _{>0}$ ). На съемочной площадке $\mathbb {Z} _{>0}$ топология Кирха грубее топологии Голомба, которая сама по себе грубее топологии Фюрстенберга.

Характеристики

Топология Голомба и топология Кирха хаусдорфовы , но не регулярны . ^[6]^[9]

Топология Фюрстенберга хаусдорфова и регулярна. ^[5] Оно метризуемо , но не вполне метризуемо . ^[5]^[11] Действительно, оно гомеоморфно рациональным числам $\mathbb {Q}$ с топологией подпространства, унаследованной от реальной линии . ^[12] Броган ^[12] показал, что топология Фюрстенберга тесно связана с $p$ -адическим пополнением рациональных чисел.

Что касается свойств связности, топология Фюрстенберга полностью несвязна . ^[5] Топология Голомба связна , ^[6]^[2]^[13] но не подключен локально . ^[6]^[13]^[14] Топология Кирха одновременно связна и локально связна. ^[9]^[3]^[13]

Целые числа с топологией Фюрстенберга образуют однородное пространство , поскольку это топологическое кольцо — в некотором смысле единственная топология на $\mathbb {Z}$ для чего это кольцо. ^[15] Напротив, пространство Голомба и пространство Кирха топологически жёстки — единственный самогомеоморфизм является тривиальным. ^[8]^[10]

Связь с бесконечностью простых чисел

Топологии Фюрстенберга и Голомба доказывают, что существует бесконечно много простых чисел . ^[1]^[2] Схема доказательства выглядит следующим образом:

Зафиксируйте простое число $p$ и обратите внимание, что (положительные в случае пространства Голомба) целые числа представляют собой объединение конечного числа классов вычетов по модулю $p$ . Каждый класс остатков представляет собой арифметическую прогрессию и, следовательно, clopen .
Рассмотрим кратные каждому простому числу. Эти кратные числа представляют собой класс вычетов (настолько закрытый), и объединение этих множеств представляет собой все (Голомб: положительные) целые числа, кроме единиц $\pm1$ .
Если простых чисел конечное число, это объединение является замкнутым множеством, и поэтому его дополнение ( ${\pm1$ }) открыто.
Но каждое непустое открытое множество бесконечно, поэтому ${\pm1$ } не открыто.

Обобщения

Топология Фюрстенберга является частным случаем проконечной топологии группы. Подробно, это топология, индуцированная включением $\mathbb {Z} \subset {\hat {\mathbb {Z} }}$ , где ${\hat {\mathbb {Z} }}$ —проконечное целочисленное кольцо с его проконечной топологией.

Понятие арифметической прогрессии имеет смысл в произвольных $\mathbb {Z}$ — модули , но построение топологии на них опирается на замыкание при пересечении. Вместо этого правильное обобщение строит топологию из идеалов дедекиндовой области . ^[16] Эта процедура создает большое количество счетных бесконечных хаусдорфовых связных множеств, но могут ли различные области Дедекинда создавать гомеоморфные топологические пространства, является темой текущих исследований. ^[16]^[17]^[18]

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Фюрстенберг 1955 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Голомб, Соломон В. (1959). «Связная топология для целых чисел». Американский математический ежемесячник . 66 (8): 663–665. дои : 10.2307/2309340 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2309340 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Кирх, AM (февраль 1969 г.). «Счётное связное локально связное хаусдорфово пространство» . Американский математический ежемесячник . 76 (2): 169–171. дои : 10.1080/00029890.1969.12000163 . ISSN 0002-9890 .
^ Стин и Сибах, с. 82, контрпример №60, п.1
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Steen & Seebach, стр. 80-81, контрпример № 58.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Steen & Seebach, стр. 82-84, контрпример №60.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Топология Кирха аналогична топологии простых целых чисел» .
^ Перейти обратно: ^а ^б Банах, Тарас; По духу, Дарий; Турек, Славомир (28 октября 2021 г.). «Пространство Голомба топологически жестко». Математические комментарии Университета Каролины . 62 (3): 347–360. arXiv : 1912.01994 . дои : 10.14712/1213-7243.2021.023 . ISSN 0010-2628 . S2CID 240183836 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Steen & Seebach, стр. 82-84, контрпример № 61.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Банах, Тарас; Стельмах, Ярина; Турек, Славомир (01 декабря 2021 г.). «Пространство Кирха топологически жестко». Топология и ее приложения . 304 : 107782. arXiv : 2006.12357 . дои : 10.1016/j.topol.2021.107782 . S2CID 219966624 .
^ Ловас, Р.; Мезё, И. (2015). «Некоторые наблюдения о топологическом пространстве Фюрстенберга» . Элементы математики . 70 (3): 103–116. дои : 10.4171/EM/283 . S2CID 126337479 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Броган, Кевин А. (август 2003 г.). «Адические топологии для рациональных целых чисел» . Канадский математический журнал . 55 (4): 711–723. дои : 10.4153/CJM-2003-030-3 . ISSN 0008-414X . S2CID 121286344 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Щука, Паулина (01 октября 2010 г.). «Связность арифметических прогрессий в топологиях Фюрстенберга, Голомба и Кирха» . Демонстрация математики . 43 (4): 899–910. дои : 10.1515/dema-2010-0416 . ISSN 2391-4661 . S2CID 122415499 .
^ Кирх 1969 , Теорема 1
^ Броган 2003 , Теорема 2.1.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кларк, Пит Л.; Лебовиц-Локард, Ной; Поллак, Пол (23 февраля 2018 г.). «Заметка о топологиях Голомба» . Математические вопросы . 42 (1): 73–86. дои : 10.2989/16073606.2018.1438533 . ISSN 1607-3606 . S2CID 126371036 .
^ Спирито, Дарио (24 июня 2019 г.). «Топология Голомба в области Дедекинда и группа единиц ее частных». arXiv : 1906.09922 [ math.GN ].
^ Спирито, Дарио (06 ноября 2019 г.). «Топология Голомба колец полиномов». arXiv : 1911.02328 [ мат.GN ].

Ссылки

Фюрстенберг, Гарри (1955), «О бесконечности простых чисел», American Mathematical Monthly , 62 (5), Математическая ассоциация Америки: 353, doi : 10.2307/2307043 , JSTOR 2307043 , MR 0068566 .
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . МР 0507446 .

[FOOTNOTEFurstenberg1955-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Фюрстенберг 1955 .

[GolombOrig-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Голомб, Соломон В. (1959). «Связная топология для целых чисел». Американский математический ежемесячник . 66 (8): 663–665. дои : 10.2307/2309340 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2309340 .

[KirchOrig-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Кирх, AM (февраль 1969 г.). «Счётное связное локально связное хаусдорфово пространство» . Американский математический ежемесячник . 76 (2): 169–171. дои : 10.1080/00029890.1969.12000163 . ISSN 0002-9890 .

[4] Стин и Сибах, с. 82, контрпример №60, п.1

[SS-ex58-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Steen & Seebach, стр. 80-81, контрпример № 58.

[SS-ex60-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Steen & Seebach, стр. 82-84, контрпример №60.

[base-equivalence-7] Перейти обратно: ^а ^б «Топология Кирха аналогична топологии простых целых чисел» .

[GolombRigid-8] Перейти обратно: ^а ^б Банах, Тарас; По духу, Дарий; Турек, Славомир (28 октября 2021 г.). «Пространство Голомба топологически жестко». Математические комментарии Университета Каролины . 62 (3): 347–360. arXiv : 1912.01994 . дои : 10.14712/1213-7243.2021.023 . ISSN 0010-2628 . S2CID 240183836 .

[SS-ex61-9] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Steen & Seebach, стр. 82-84, контрпример № 61.

[KirchRigid-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с Банах, Тарас; Стельмах, Ярина; Турек, Славомир (01 декабря 2021 г.). «Пространство Кирха топологически жестко». Топология и ее приложения . 304 : 107782. arXiv : 2006.12357 . дои : 10.1016/j.topol.2021.107782 . S2CID 219966624 .

[LovasMezo-11] Ловас, Р.; Мезё, И. (2015). «Некоторые наблюдения о топологическом пространстве Фюрстенберга» . Элементы математики . 70 (3): 103–116. дои : 10.4171/EM/283 . S2CID 126337479 .

[BroughanAdics-12] Перейти обратно: ^а ^б Броган, Кевин А. (август 2003 г.). «Адические топологии для рациональных целых чисел» . Канадский математический журнал . 55 (4): 711–723. дои : 10.4153/CJM-2003-030-3 . ISSN 0008-414X . S2CID 121286344 .

[SzczukaConnectedness-13] Перейти обратно: ^а ^б ^с Щука, Паулина (01 октября 2010 г.). «Связность арифметических прогрессий в топологиях Фюрстенберга, Голомба и Кирха» . Демонстрация математики . 43 (4): 899–910. дои : 10.1515/dema-2010-0416 . ISSN 2391-4661 . S2CID 122415499 .

[FOOTNOTEKirch1969-14] Кирх 1969 , Теорема 1

[FOOTNOTEBroughan2003-15] Броган 2003 , Теорема 2.1.

[CLLP-16] Перейти обратно: ^а ^б Кларк, Пит Л.; Лебовиц-Локард, Ной; Поллак, Пол (23 февраля 2018 г.). «Заметка о топологиях Голомба» . Математические вопросы . 42 (1): 73–86. дои : 10.2989/16073606.2018.1438533 . ISSN 1607-3606 . S2CID 126371036 .

[17] Спирито, Дарио (24 июня 2019 г.). «Топология Голомба в области Дедекинда и группа единиц ее частных». arXiv : 1906.09922 [ math.GN ].

[18] Спирито, Дарио (06 ноября 2019 г.). «Топология Голомба колец полиномов». arXiv : 1911.02328 [ мат.GN ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]