Доказательство Фюрстенберга бесконечности простых чисел

В математике , особенно в теории чисел , доказательство Гиллеля Фюрстенберга бесконечности простых чисел является топологическим доказательством того, что целые числа содержат бесконечно много простых чисел . При внимательном рассмотрении доказательство представляет собой не столько утверждение о топологии, сколько утверждение о некоторых свойствах арифметических последовательностей . В отличие от классического доказательства Евклида , доказательство Фюрстенберга является доказательством от противного . Доказательство было опубликовано в 1955 году в журнале American Mathematical Monthly, когда Фюрстенберг еще учился в университете Йешива .

Доказательство Фюрстенберга

Определить топологию целых чисел $\mathbb {Z}$, называемую равноотстоящей целочисленной топологией , путем объявления подмножества U ⊆ $\mathbb {Z}$ быть открытым множеством тогда и только тогда, когда оно представляет собой объединение арифметических последовательностей S ( a , b ) для a ≠ 0 или пусто (что можно рассматривать как нульарное объединение (пустое объединение) арифметических последовательностей), где

$S(a,b)=\{an+b\mid n\in \mathbb {Z} \}=a\mathbb {Z} +b.$

Эквивалентно, U открыт тогда и только тогда, когда для каждого x в U существует некоторое ненулевое целое число a такое, что S ( a , x ) ⊆ U . Аксиомы топологии легко проверяются:

• ∅ открыт по определению, и $\mathbb {Z}$ представляет собой просто последовательность S (1, 0), поэтому она также открыта.
• Любое объединение открытых множеств является открытым: для любого набора открытых множеств U _i и x в их объединении U любое из чисел a _i, для которых S ( a _i , x ) ⊆ U _i, также показывает, что S ( a _i , x ) ⊆ У .
• Пересечение двух (а значит, и конечного числа) открытых множеств открыто: пусть U ₁ и U ₂ — открытые множества и пусть x ∈ U ₁ ∩ U ₂ (с номерами a ₁ и a _2, устанавливающими принадлежность). Установите a как общее кратное 1 _​ и 2 _. наименьшее Тогда S ( а , Икс ) ⊆ S ( а _я , Икс ) ⊆ U _я .

Эта топология имеет два примечательных свойства:

1. Поскольку любое непустое открытое множество содержит бесконечную последовательность, конечное непустое множество не может быть открытым; иными словами, дополнение конечного непустого множества не может быть замкнутым множеством .
2. Базисные множества S ( a , b ) являются как открытыми, так и закрытыми : они открыты по определению, и мы можем записать S ( a , b ) как дополнение к открытому множеству следующим образом:

$S(a,b)=\mathbb {Z} \setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}S(a,b+j).$

Единственными целыми числами, которые не являются целыми кратными простым числам, являются -1 и +1, т.е.

$\mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\mathrm {\,prime} }S(p,0).$

Теперь по первому топологическому свойству множество в левой части не может быть замкнутым. С другой стороны, по второму топологическому свойству множества S ( p , 0) замкнуты. Итак, если бы было только конечное число простых чисел, то множество в правой части было бы конечным объединением замкнутых множеств и, следовательно, замкнутым. Это было бы противоречием , поэтому простых чисел должно быть бесконечно много.

Топологические свойства

Равномерно разнесенная целочисленная топология на $\mathbb {Z}$ – топология, индуцированная включением $\mathbb {Z} \subset {\hat {\mathbb {Z} }}$, где ${\hat {\mathbb {Z} }}$ — бесконечное целочисленное кольцо с его проконечной топологией.

Гомеоморфно ​ рациональным числам $\mathbb {Q}$ с топологией подпространства, унаследованной от вещественной линии , откуда ясно, что любое его конечное подмножество, такое как $\{-1,+1\}$, не может быть открыт.

Ссылки

• Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (1998). «Доказательства из книги» (Документ). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag .
• Фюрстенберг, Гарри (1955). «О бесконечности простых чисел». Американский математический ежемесячник . 62 (5): 353. дои : 10.2307/2307043 . JSTOR   2307043 . МР   0068566 .
• Мерсер, Идрис Д. (2009). «О доказательстве Фюрстенберга бесконечности простых чисел» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 116 (4): 355–356. CiteSeerX   10.1.1.559.9528 . дои : 10.4169/193009709X470218 .
• Кит Конрад https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/primestopology.pdf
• Ловас, Р.; Мезё, И. (2015). «Некоторые наблюдения о топологическом пространстве Фюрстенберга» . Элементы математики . 70 (3): 103–116. дои : 10.4171/EM/283 . S2CID   126337479 .

Внешние ссылки

• Доказательство Фюрстенберга того, что в Everything2 существует бесконечно много простых чисел.
• Доказательство Фюрстенберга бесконечности простых чисел в PlanetMath .