Топологии арифметической прогрессии

В общей топологии и теории чисел , разделах математики , можно определить различные топологии на множестве. $\mathbb {Z}$ целых чисел или множества $\mathbb {Z} _{>0}$ натуральных чисел, взяв за основу подходящий набор арифметических прогрессий , последовательностей вида $\{b,b+a,b+2a,...\}$ или $\{...,b-2a,b-a,b,b+a,b+2a,...\}.$ Тогда открытые множества будут представлять собой объединения арифметических прогрессий в коллекции. Три примера — топология Фюрстенберга на $\mathbb {Z}$, а также топология Голомба и топология Кирха на $\mathbb {Z} _{>0}$. Точные определения приведены ниже.

Гилель Фюрстенберг ввел первую топологию, чтобы обеспечить «топологическое» доказательство бесконечности множества простых чисел . Вторую топологию изучал Соломон Голомб. и дает пример счетного бесконечного Хаусдорфова пространства , которое связно . Третья топология, предложенная А. М. Кирхом, является примером счетно-бесконечного хаусдорфова пространства, которое одновременно связно и локально связно . Эти топологии также обладают интересными разделения и однородности свойствами .

Понятие топологии арифметической прогрессии можно обобщить на произвольные области Дедекинда .

Строительство

Двусторонние арифметические прогрессии в $\mathbb {Z}$ являются подмножествами формы

$a\mathbb {Z} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \},$

где $a,b\in \mathbb {Z}$ и $a>0.$ Пересечение двух таких арифметических прогрессий либо пусто, либо представляет собой другую арифметическую прогрессию того же вида:

$(a\mathbb {Z} +b)\cap (c\mathbb {Z} +b)=\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {Z} +b,$

где $\operatorname {lcm} (a,c)$ является наименьшим общим кратным $a$ и $c.$

Аналогично односторонние арифметические прогрессии в $\mathbb {Z} _{>0}=\{1,2,...\}$ являются подмножествами формы

$a\mathbb {N} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}=\{b,a+b,2a+b,...\},$

с $\mathbb {N} =\{0,1,2,...\}$ и $a,b>0$. Пересечение двух таких арифметических прогрессий либо пусто, либо представляет собой другую арифметическую прогрессию того же вида:

$(a\mathbb {N} +b)\cap (c\mathbb {N} +d)=\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {N} +q,$

с $q$ равен наименьшему элементу пересечения.

Это показывает, что каждое непустое пересечение конечного числа арифметических прогрессий снова является арифметической прогрессией. Затем можно определить топологию на $\mathbb {Z}$ или $\mathbb {Z} _{>0}$ выбрав коллекцию ${\mathcal {B}}$ арифметических прогрессий, объявляя все элементы ${\mathcal {B}}$ быть открытыми множествами и принять топологию, порожденную ими. Если любое непустое пересечение двух элементов ${\mathcal {B}}$ снова является элементом ${\mathcal {B}}$, коллекция ${\mathcal {B}}$ будет основой топологии. В общем, это будет подбаза топологии и набор всех арифметических прогрессий, которые являются непустыми конечными пересечениями элементов ${\mathcal {B}}$ будет основой топологии. Далее следуют три особых случая.

Фюрстенберга Топология , или равномерно распределенная целочисленная топология , на съемочной площадке $\mathbb {Z}$ целых чисел получается, если взять за основу совокупность всех $a\mathbb {Z} +b$ с $a,b\in \mathbb {Z}$ и $a>0.$

Голомба Топология , или относительно простая целочисленная топология , на съемочной площадке $\mathbb {Z} _{>0}$ положительных целых чисел получается, если взять за основу совокупность всех $a\mathbb {N} +b$ с $a,b>0$ и $a$ и $b$ относительно простой . Эквивалентно, подколлекция таких множеств с дополнительным условием $b<a$ также образует основу топологии. Соответствующее топологическое пространство называется пространством Голомба .

Топология Кирха , или топология простых чисел , на съемочной площадке $\mathbb {Z} _{>0}$ положительных целых чисел получается, если взять в качестве подбазы совокупность всех $p\mathbb {N} +b$ с $b>0$ и $p$ простое число, не делящее $b.$Эквивалентно, в качестве подбазы можно взять совокупность всех $p\mathbb {N} +b$ с $p$ премьер и $0<b<p$. База топологии состоит из всех $a\mathbb {N} +b$ с относительно простым $a,b>0$ и $a$ без квадратов (или то же самое с дополнительным условием $b<a$). Соответствующее топологическое пространство называется пространством Кирха .

Эти три топологии связаны в том смысле, что каждое открытое множество в топологии Кирха открыто в топологии Голомба, а каждое открытое множество в топологии Голомба открыто в топологии Фюрстенберга (ограничено подпространством $\mathbb {Z} _{>0}$). На съемочной площадке $\mathbb {Z} _{>0}$топология Кирха грубее топологии Голомба, которая сама по себе грубее топологии Фюрстенберга.

Свойства

Топология Голомба и топология Кирха хаусдорфовы , но не регулярны .

Топология Фюрстенберга хаусдорфова и регулярна. Оно метризуемо , но не вполне метризуемо . Действительно, оно гомеоморфно рациональным числам $\mathbb {Q}$ с топологией подпространства, унаследованной от реальной линии . Броган показал, что топология Фюрстенберга тесно связана с p -адическим пополнением рациональных чисел.

Что касается свойств связности, топология Фюрстенберга полностью несвязна . Топология Голомба связна , но не подключен локально . Топология Кирха одновременно связна и локально связна.

Целые числа с топологией Фюрстенберга образуют однородное пространство , поскольку это топологическое кольцо — в некотором смысле единственная топология на $\mathbb {Z}$ для чего это кольцо. Напротив, пространство Голомба и пространство Кирха топологически жёстки — единственный самогомеоморфизм является тривиальным.

Связь с бесконечностью простых чисел

Основная статья: Доказательство Гиллеля Фюрстенберга бесконечности простых чисел

Топологии Фюрстенберга и Голомба доказывают, что существует бесконечно много простых чисел . Схема доказательства выглядит следующим образом:

1. Зафиксируйте простое число p и обратите внимание, что (положительные в случае пространства Голомба) целые числа представляют собой объединение конечного числа классов вычетов по модулю p . Каждый класс остатков представляет собой арифметическую прогрессию и, следовательно, cloopen .
2. Рассмотрим кратные каждому простому числу. Эти кратные числа представляют собой класс вычетов (настолько закрытый), и объединение этих множеств представляет собой все (Голомб: положительные) целые числа, кроме единиц ±1 .
3. Если существует конечное число простых чисел, это объединение является замкнутым множеством, и поэтому его дополнение ( {±1 }) открыто.
4. Но каждое непустое открытое множество бесконечно, поэтому {±1 } не открыто.

Обобщения

Топология Фюрстенберга является частным случаем проконечной топологии группы. Подробно, это топология, индуцированная включением $\mathbb {Z} \subset {\hat {\mathbb {Z} }}$, где ${\hat {\mathbb {Z} }}$ —проконечное целочисленное кольцо с его проконечной топологией.

Понятие арифметической прогрессии имеет смысл в произвольных $\mathbb {Z}$— модули , но построение топологии на них опирается на замыкание при пересечении. Вместо этого правильное обобщение строит топологию из идеалов дедекиндовой области . Эта процедура создает большое количество счетных бесконечных хаусдорфовых связных множеств, но могут ли различные области Дедекинда создавать гомеоморфные топологические пространства, является темой текущих исследований.

Ссылки

• Фюрстенберг, Гарри (1955), «О бесконечности простых чисел», American Mathematical Monthly , 62 (5), Математическая ассоциация Америки: 353, doi : 10.2307/2307043 , JSTOR   2307043 , MR   0068566 .
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-486-68735-3 . МР   0507446 .