Проконечная группа
В математике проконечная группа — топологическая группа , в известном смысле собранная из системы конечных групп .
Идея использования проконечной группы состоит в том, чтобы обеспечить «единообразное» или «синоптическое» представление всей системы конечных групп. Свойства проконечной группы — это, вообще говоря, однородные свойства системы. Например, проконечная группа конечно порождена (как топологическая группа) тогда и только тогда, когда существует так, что каждая группа в системе может быть создана элементы. [1] Многие теоремы о конечных группах можно легко обобщить на проконечные группы; примерами являются теорема Лагранжа и теоремы Силова . [2]
Для построения проконечной группы необходима система конечных групп и групповые гомоморфизмы между ними. Без ограничения общности эти гомоморфизмы можно считать сюръективными , и в этом случае конечные группы появятся как факторгруппы полученной проконечной группы; в некотором смысле эти факторы аппроксимируют проконечную группу.
Важными примерами проконечных групп являются группы аддитивные -адические целые числа и группы Галуа бесконечной степени расширений полей .
Всякая проконечная группа компактна и вполне несвязна . Некомпактным обобщением этой концепции являются локально проконечные группы . Еще более общими являются полностью несвязные группы .
Определение
[ редактировать ]Проконечные группы могут быть определены любым из двух эквивалентных способов.
Первое определение (конструктивное)
[ редактировать ]Проконечная группа — это топологическая группа, изоморфная пределу обратной системы конечных дискретных групп обратному . [3] В этом контексте обратная система состоит из направленного множества индексированное семейство конечных групп каждый из которых имеет дискретную топологию и семейство гомоморфизмов такой, что это карта идентичности на и коллекция удовлетворяет свойству композиции в любое время Обратным пределом является набор: оснащен соответствующей топологией продукта .
Можно также определить обратный предел в терминах универсального свойства . В категориальных терминах это частный случай кофильтрованной предельной конструкции.
Второе определение (аксиоматическое)
[ редактировать ]Проконечная группа — это компактная и полностью несвязная топологическая группа: [4] то есть топологическая группа, которая также является пространством Стоуна .
Окончательное завершение
[ редактировать ]Дана произвольная группа существует связанная с ним проконечная группа тот окончательное завершение [4] Он определяется как обратный предел групп где проходит через обычные подгруппы в конечного индекса (эти нормальные подгруппы частично упорядочены по включению, что приводит к обратной системе естественных гомоморфизмов между факторами).
Существует естественный гомоморфизм и образ при этом гомоморфизме плотно в Гомоморфизм инъективна тогда и только тогда, когда группа аппроксимируемо конечно (т.е. где пересечение проходит через все нормальные подгруппы конечного индекса).
Гомоморфизм характеризуется следующим универсальным свойством : для любой проконечной группы и любой непрерывный групповой гомоморфизм где задана наименьшая топология, совместимая с групповыми операциями, в которой ее нормальные подгруппы конечного индекса открыты, существует единственный непрерывный групповой гомоморфизм с
Эквивалентность
[ редактировать ]Любая группа, построенная по первому определению, удовлетворяет аксиомам второго определения.
И наоборот, любая группа удовлетворяющий аксиомам второго определения, может быть построен как обратный предел согласно первому определению с использованием обратного предела где проходит через открытые нормальные подгруппы упорядочены по (обратному) включению. Если топологически конечно порождено, то оно, кроме того, равно своему собственному проконечному пополнению. [5]
Сюръективные системы
[ редактировать ]На практике обратная система конечных групп почти всегда сюръективен , что означает, что все его карты сюръективны. Без ограничения общности достаточно рассматривать только сюръективные системы, поскольку по любой обратной системе можно сначала построить ее проконечную группу. а затем реконструировать его как его собственное бесконечное завершение.
Примеры
[ редактировать ]- Конечные группы являются проконечными, если задана дискретная топология .
- Группа -адические целые числа при сложении является проконечным (фактически проциклическим ). Это обратный предел конечных групп где распространяется по всем натуральным числам и натуральным отображениям для Топология этой проконечной группы такая же, как и топология, возникающая из -адическая оценка
- Группа бесконечных целых чисел это бесконечное завершение Подробно, это обратный предел конечных групп. где с картами по модулю для Эта группа является произведением всех групп и это абсолютная группа Галуа любого конечного поля .
- Теория Галуа расширений полей бесконечной степени естественным образом порождает бесконечные группы Галуа. В частности, если является расширением Галуа , рассмотрим группу состоящий из всех полевых автоморфизмов которые сохраняют все элементы зафиксированный. Эта группа является обратным пределом конечных групп где распространяется по всем промежуточным полям так, что является конечным расширением Галуа. Для предельного процесса гомоморфизмы ограничения используются там, где Топология, полученная на известна как топология Крулля в честь Вольфганга Крулля . Уотерхаус (1974) показал, что каждая проконечная группа изоморфна группе, возникающей из теории Галуа некоторого поля. но нельзя (пока) контролировать, какое именно поле будет в этом случае. Фактически, для многих областей вообще говоря, неизвестно, какие именно конечные группы встречаются как группы Галуа над Это обратная задача Галуа для поля (Для некоторых полей решена обратная задача Галуа, такая как поле рациональных функций одной переменной над комплексными числами.) Не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа поля. [6]
- Этальные фундаментальные группы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, также являются проконечными группами, грубо говоря, потому что алгебра может «видеть» только конечные накрытия алгебраического многообразия . Однако фундаментальные группы , алгебраической топологии как правило, не бесконечны: для любой предписанной группы существует двумерный комплекс CW , фундаментальная группа которого равна ей.
- Группа автоморфизмов локально конечного корневого дерева бесконечна.
Свойства и факты
[ редактировать ]- Каждое произведение (произвольного числа) проконечных групп является проконечным; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с топологией произведения . Обратный предел обратной системы проконечных групп с непрерывными отображениями переходов проконечен, а функтор обратного предела точен на категории проконечных групп. Кроме того, быть бесконечным — это свойство расширения.
- Каждая замкнутая подгруппа проконечной группы сама по себе проконечна; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с топологией подпространства . Если является замкнутой нормальной подгруппой проконечной группы тогда факторная группа является бесконечным; топология, возникающая из-за бесконечности, согласуется с фактортопологией .
- Поскольку каждая проконечная группа компактен по Хаусдорфу, существует мера Хаара на что позволяет нам измерить «размер» подмножеств вычислять определенные вероятности и интегрировать функции на
- Подгруппа проконечной группы открыта тогда и только тогда, когда она замкнута и имеет конечный индекс .
- Согласно теореме Николая Николова и Дэна Сигала , в любой топологически конечно порожденной проконечной группе (т. е. в проконечной группе, имеющей плотную конечно порожденную подгруппу ) подгруппы конечного индекса открыты. Это обобщает более ранний аналогичный результат Жана-Пьера Серра для топологически конечно порожденных про- группы . Доказательство использует классификацию конечных простых групп .
- Как простое следствие приведенного выше результата Николова–Сигала, любой сюръективный гомоморфизм дискретной группы между многочисленными группами и является непрерывным до тех пор, пока топологически конечно порождена. Действительно, любая открытая подгруппа имеет конечный индекс, поэтому его прообраз в также имеет конечный индекс и, следовательно, должен быть открытым.
- Предполагать и являются топологически конечно порожденными проконечными группами, которые изоморфны как дискретные группы изоморфизмом Затем является биективным и непрерывным в силу приведенного выше результата. Более того, также является непрерывным, поэтому является гомеоморфизмом. Поэтому топология топологически конечно порожденной проконечной группы однозначно определяется ее алгебраической структурой.
Инди-конечные группы
[ редактировать ]Существует понятие инд-конечная группа , которая является концептуальной двойственной к проконечным группам; то есть группа инд-конечна, если она является прямым пределом индуктивной системы конечных групп. (В частности, это инд-группа .) Обычная терминология другая: группа называется локально конечной, если каждая конечно порожденная подгруппа конечна. Фактически это эквивалентно тому, чтобы быть «бесконечным».
Применяя двойственность Понтрягина , можно увидеть, что абелевы проконечные группы находятся в двойственности с локально конечными дискретными абелевыми группами. Последние представляют собой не что иное, как абелевы периодические группы .
Проективные проконечные группы
[ редактировать ]Проконечная группа – это проективным, если он обладает свойством подъема для каждого расширения. Это эквивалентно тому, что проективен, если для любого сюръективного морфизма из проконечного есть раздел [7] [8]
Проективность для проконечной группы эквивалентно любому из двух свойств: [7]
- когомологическое измерение
- для каждого простого числа Силов -подгруппы свободны -группы.
Любая проективная проконечная группа может быть реализована как абсолютная группа Галуа псевдоалгебраически замкнутого поля . Этот результат принадлежит Александру Любоцки и Лу ван ден Дрису . [9]
Проциклическая группа
[ редактировать ]Пространственная группа является проциклический, если он топологически порождается одним элементом то есть, если закрытие подгруппы [10]
Топологическая группа является проциклическим тогда и только тогда, когда где колеблется в пределах некоторого набора простых чисел и изоморфен либо или [11]
См. также
[ редактировать ]- завершение Хаусдорфа
- Локально циклическая группа
- Pro -p Группа – тип универсальной группы.
- Проконечное целое число
- Остаточная собственность (математика) - концепция теории групп.
- Остаточно конечная группа - тип математической группы.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Сигал, Дэн (29 марта 2007 г.). «Некоторые аспекты теории проконечных групп». arXiv : math/0703885 .
- ^ Уилсон, Джон Стюарт (1998). Проконечные группы . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 9780198500827 . OCLC 40658188 .
- ^ Ленстра, Хендрик. «Проконечные группы» (PDF) . Лейденский университет .
- ^ Jump up to: а б Оссерман, Брайан. «Обратные пределы и проконечные группы» (PDF) . Калифорнийский университет в Дэвисе . Архивировано из оригинала (PDF) 26 декабря 2018 г.
- ^ Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007). «О конечно порожденных проконечных группах. I: Сильная полнота и равномерные границы. II: Произведения в квазипростых группах». Энн. Математика. (2) . 165 (1): 171–238, 239–273. arXiv : math/0604399 . дои : 10.4007/анналы.2007.165.171 . S2CID 15670650 . Збл 1126.20018 .
- ^ Фрид и Джарден (2008), с. 497
- ^ Jump up to: а б Серр (1997), с. 58
- ^ Фрид и Джарден (2008), с. 207
- ^ Фрид и Джарден (2008), стр. 208,545.
- ^ Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук. Том 322. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-662-03983-0 . ISBN 978-3-642-08473-7 .
- ^ «МО. Распад проциклических групп» . MathOverflow .
- Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е исправленное изд.). Издательство Спрингер . ISBN 978-3-540-77269-9 . Збл 1145.12001 .
- Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007), «О конечно порожденных проконечных группах I: сильная полнота и равномерные границы», Annals of Mathematics , 2-я серия, 165 (1): 171–238, arXiv : math.GR/0604399 , doi : 10.4007 /анналы.2007.165.171 .
- Николов, Николай; Сигал, Дэн (2007), «О конечно порожденных проконечных группах, II: произведения в квазипростых группах», Annals of Mathematics , 2-я серия, 165 (1): 239–273, arXiv : math.GR/0604400 , doi : 10.4007/ анналы.2007.165.239 .
- Ленстра, Хендрик (2003), Profinite Groups (PDF) , доклад, прочитанный в Обервольфахе .
- Любоцкий, Александр (2001), «Рецензия на книгу», Бюллетень Американского математического общества , 38 (4): 475–479, номер документа : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4 . Рецензия на несколько книг о проконечных группах.
- Серр, Жан-Пьер (1994), Когомологии Галуа , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 5 (5-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58002-7 , МР 1324577 , Збл 0812.12002 . Серр, Жан-Пьер (1997), когомологии Галуа , перевод Патрика Иона, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61990-9 , Збл 0902.12004
- Уотерхаус, Уильям К. (1974), «Проконечные группы - это группы Галуа», Proceedings of the American Mathematical Society , 42 (2), American Mathematical Society: 639–640, doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0325587-3 , JSTOR 2039560 , Збл 0281.20031 .