Локальный гомеоморфизм

В математике , а точнее в топологии , локальный гомеоморфизм — это функция между топологическими пространствами , которая интуитивно сохраняет локальную (хотя и не обязательно глобальную) структуру. Если $f:X\to Y$ является локальным гомеоморфизмом, $X$ называется этальным пространством над $Y.$ Локальные гомеоморфизмы используются при изучении пучков . Типичными примерами локальных гомеоморфизмов являются накрывающие отображения .

Топологическое пространство $X$ гомеоморфен локально ​ $Y$ если каждая точка $X$ имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству $Y.$ Например, многообразие размерности $n$ локально гомеоморфен $\mathbb {R} ^{n}.$

Если существует локальный гомеоморфизм из $X$ к $Y,$ затем $X$ локально гомеоморфен $Y,$ но обратное не всегда верно. Например, двумерная сфера , будучи многообразием, локально гомеоморфна плоскости $\mathbb {R} ^{2},$ но локального гомеоморфизма нет $S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}.$

Формальное определение

Функция $f:X\to Y$ между двумя топологическими пространствами называется локальным гомеоморфизмом. если каждая точка $x\in X$ имеет открытое окружение $U$ чей образ $f(U)$ открыт в $Y$ и ограничение $f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)$ является гомеоморфизмом (где соответствующие топологии подпространства используются на $U$ и дальше $f(U)$).

Примеры и достаточные условия

Локальные гомеоморфизмы против гомеоморфизмов

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом. Но локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен . Локальный гомеоморфизм не обязательно должен быть гомеоморфизмом. Например, функция $\mathbb {R} \to S^{1}$ определяется $t\mapsto e^{it}$ (так что геометрически это отображение оборачивает действительную прямую вокруг круга ) является локальным гомеоморфизмом, но не гомеоморфизмом. Карта $f:S^{1}\to S^{1}$ определяется $f(z)=z^{n},$ который обертывает круг вокруг себя $n$ раз (т.е. имеет номер витка $n$), является локальным гомеоморфизмом для всех ненулевых $n,$ но он является гомеоморфизмом только тогда, когда он биективен (т. е. только тогда, когда $n=1$ или $n=-1$).

Обобщая два предыдущих примера, каждое накрывающее отображение является локальным гомеоморфизмом; в частности универсальный чехол $p:C\to Y$ пространства $Y$ является локальным гомеоморфизмом. В некоторых ситуациях верно обратное. Например: если $p:X\to Y$ является собственным локальным гомеоморфизмом между двумя хаусдорфовыми пространствами , и если $Y$ также локально компактна , то $p$ является покрывающей картой.

Локальные гомеоморфизмы и композиция функций

Композиция ; двух локальных гомеоморфизмов является локальным гомеоморфизмом явно, если $f:X\to Y$ и $g:Y\to Z$ являются локальными гомеоморфизмами, то композиция $g\circ f:X\to Z$ также является локальным гомеоморфизмом. Ограничение локального гомеоморфизма на любое открытое подмножество области снова будет локальным гомоморфизмом; явно, если $f:X\to Y$ является локальным гомеоморфизмом, то его ограничение $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ любому $U$ открытое подмножество $X$ также является локальным гомеоморфизмом.

Если $f:X\to Y$ является непрерывным, пока оба $g:Y\to Z$ и $g\circ f:X\to Z$ являются локальными гомеоморфизмами, то $f$ также является локальным гомеоморфизмом.

Карты включения

Если $U\subseteq X$ — любое подпространство (где, как обычно, $U$ оснащен топологией подпространства, индуцированной $X$) то отображение включения $i:U\to X$ всегда является топологическим вложением . Но это локальный гомеоморфизм тогда и только тогда, когда $U$ открыт в $X.$ Подмножество $U$ быть открытым в $X$ существенно, чтобы карта включения была локальным гомеоморфизмом, поскольку карта включения неоткрытого подмножества $X$ никогда не дает локального гомеоморфизма (поскольку это не будет открытое отображение).

Ограничение $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ функции $f:X\to Y$ к подмножеству $U\subseteq X$ равна его композиции с отображением включения $i:U\to X;$ явно, $f{\big \vert }_{U}=f\circ i.$Поскольку композиция двух локальных гомеоморфизмов является локальным гомеоморфизмом, если $f:X\to Y$ и $i:U\to X$ являются локальными гомоморфизмами, то также $f{\big \vert }_{U}=f\circ i.$ Таким образом, ограничения локальных гомеоморфизмов на открытые подмножества являются локальными гомеоморфизмами.

Инвариантность домена

Инвариантность домена гарантирует, что если $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ является непрерывным инъективным отображением открытого подмножества $U$ из $\mathbb {R} ^{n},$ затем $f(U)$ открыт в $\mathbb {R} ^{n}$ и $f:U\to f(U)$ является гомеоморфизмом . Следовательно, непрерывное отображение $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ из открытого подмножества $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ будет локальным гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно является локально инъективным отображением (это означает, что каждая точка в $U$ есть район $N$ такое, что ограничение $f$ к $N$ является инъективным).

Локальные гомеоморфизмы в анализе

показано В комплексном анализе , что комплексная аналитическая функция $f:U\to \mathbb {C}$ (где $U$ является открытым подмножеством комплексной плоскости $\mathbb {C}$) является локальным гомеоморфизмом именно тогда, когда производная $f^{\prime }(z)$ ненулевое значение для всех $z\in U.$ Функция $f(x)=z^{n}$ на открытом диске вокруг $0$ не является локальным гомеоморфизмом в $0$ когда $n\geq 2.$ В этом случае $0$ является точкой « разветвления » (интуитивно, $n$ там листы собираются вместе).

Используя теорему об обратной функции, можно показать, что непрерывно дифференцируемая функция $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ (где $U$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$) является локальным гомеоморфизмом, если производная $D_{x}f$ является обратимым линейным отображением (обратимой квадратной матрицей) для каждого $x\in U.$ (Обратное неверно, как показывает локальный гомеоморфизм $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ с $f(x)=x^{3}$). Аналогичное условие можно сформулировать для отображений между дифференцируемыми многообразиями .

Локальные гомеоморфизмы и слои

Предполагать $f:X\to Y$ представляет собой непрерывную открытую сюръекцию между двумя хаусдорфовыми со счетом второй секунды , где пространствами $X$ является пространством Бэра и $Y$ это обычное пространство . Если волокно каждое $f$ является дискретным подпространством $X$ (что является необходимым условием $f:X\to Y$ быть локальным гомеоморфизмом), то $f$ это $Y$-значный локальный гомеоморфизм на плотном открытом подмножестве $X.$ Чтобы прояснить вывод этого утверждения, позвольте $O=O_{f}$ быть (уникальным) крупнейшим открытым подмножеством $X$ такой, что $f{\big \vert }_{O}:O\to Y$ является локальным гомеоморфизмом. Если волокно каждое $f$ является дискретным подпространством $X$ тогда этот открытый набор $O$ обязательно плотным подмножеством является $X.$ В частности, если $X\neq \varnothing$ затем $O\neq \varnothing ;$ вывод, который может быть ложным без предположения, что $f$волокна дискретны (см. сноску для примера). Одним из следствий является то, что каждая непрерывная открытая сюръекция $f$ между вполне метризуемыми пространствами со счетом второй секунды, имеющими дискретные слои, является «почти всюду» локальным гомеоморфизмом (в топологическом смысле, что $O_{f}$ является плотным открытым подмножеством своей области определения). Например, карта $f:\mathbb {R} \to [0,\infty )$ определяется полиномом $f(x)=x^{2}$ является непрерывной открытой сюръекцией с дискретными слоями, поэтому этот результат гарантирует, что максимальное открытое подмножество $O_{f}$ плотный в $\mathbb {R} ;$ приложив дополнительные усилия (например, используя теорему об обратной функции ), можно показать, что $O_{f}=\mathbb {R} \setminus \{0\},$ что подтверждает, что это множество действительно плотно в $\mathbb {R} .$ Этот пример также показывает, что возможно $O_{f}$ быть собственным плотным подмножеством $f$домен. Поскольку каждый слой каждого непостоянного многочлена конечен (и, следовательно, является дискретным и даже компактным подпространством), этот пример обобщается на такие многочлены всякий раз, когда индуцированное им отображение является открытым.

Локальные гомеоморфизмы и хаусдорфовость

Существуют локальные гомеоморфизмы $f:X\to Y$ где $Y$ является хаусдорфовым пространством, но $X$ нет. Рассмотрим, например, факторпространство $X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,$ где отношение эквивалентности $\sim$ при непересекающемся союзе двух копий реалов отождествляется каждый негативный реал первой копии с соответствующим негативным реалом второй копии. Две копии $0$ не идентифицированы и не имеют непересекающихся окрестностей, поэтому $X$ это не Хаусдорф. Легко проверить, что естественное отображение $f:X\to \mathbb {R}$ является локальным гомеоморфизмом. Волокно $f^{-1}(\{y\})$ имеет два элемента, если $y\geq 0$ и один элемент, если $y<0.$ Аналогично можно построить локальные гомеоморфизмы $f:X\to Y$ где $X$ это Хаусдорф и $Y$ нет: выберите естественную карту из $X=\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R}$ к $Y=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim$ с тем же отношением эквивалентности $\sim$ как указано выше.

Свойства

Отображение является локальным гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно непрерывно , открыто и локально инъективно . В частности, всякий локальный гомеоморфизм является непрерывным и открытым отображением . локальный Следовательно , биективный гомеоморфизм является гомеоморфизмом.

Является ли функция или нет $f:X\to Y$ является локальным гомеоморфизмом, зависит от его кодомена. Изображение ​ $f(X)$ локального гомеоморфизма $f:X\to Y$ обязательно является открытым подмножеством своего кодомена $Y$ и $f:X\to f(X)$ также будет локальным гомеоморфизмом (т. е. $f$ будет продолжать оставаться локальным гомеоморфизмом, если его рассматривать как сюръективное отображение $f:X\to f(X)$ на его изображение, где $f(X)$ имеет топологию подпространства, унаследованную от $Y$). Однако в целом возможно $f:X\to f(X)$ быть локальным гомеоморфизмом, но $f:X\to Y$ не быть локальным гомеоморфизмом (как в случае отображения $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ определяется $f(x)=(x,0),$ например). Карта $f:X\to Y$ является локальным гомоморфизмом тогда и только тогда, когда $f:X\to f(X)$ является локальным гомеоморфизмом и $f(X)$ является открытым подмножеством $Y.$

Каждый слой локального гомеоморфизма $f:X\to Y$ является дискретным подпространством своей области определения $X.$

Локальный гомеоморфизм $f:X\to Y$ передает «локальные» топологические свойства в обе стороны:

• $X$ тогда локально подключен и только тогда, когда $f(X)$ является;
• $X$ локально связен по путям тогда и только тогда, когда $f(X)$ является;
• $X$ тогда локально компактен и только тогда, когда $f(X)$ является;
• $X$ является первым счетным тогда и только тогда, когда $f(X)$ является.

Как указывалось выше, свойство Хаусдорфа не является локальным в этом смысле и не обязано сохраняться локальными гомеоморфизмами.

Локальные гомеоморфизмы с кодоменом $Y$ находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с пучками множеств на $Y;$ это соответствие фактически является эквивалентностью категорий . Более того, каждое непрерывное отображение с кодоменом $Y$ порождает однозначно определенный локальный гомеоморфизм с кодобластью $Y$ естественным образом. Все это подробно описано в статье о шкивах .

Обобщения и аналогичные понятия

Идея локального гомеоморфизма может быть сформулирована в геометрических условиях, отличных от топологических пространств. Для дифференцируемых многообразий мы получаем локальные диффеоморфизмы ; для схем имеются формально этальные морфизмы и этальные морфизмы ; а для топосов мы получаем этальные геометрические морфизмы .

См. также

• Диффеоморфизм - изоморфизм дифференцируемых многообразий.
• Гомеоморфизм - отображение, сохраняющее все топологические свойства данного пространства.
• Изоморфизм . В математике обратимый гомоморфизм.
• Инвариантность области - теорема топологии о гомеоморфных подмножествах евклидова пространства.
• Локальный диффеоморфизм
• Локально Хаусдорфово пространство
• Нехаусдорфово многообразие - обобщение многообразий. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .