Полностью отключенное пространство

В топологии и смежных разделах математики — полностью несвязное пространство это топологическое пространство только одиночные элементы которого являются , связным подмножеством . В каждом топологическом пространстве синглтоны (и, если оно считается связным, пустое множество) связаны; в полностью несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Важным примером полностью несвязного пространства является множество Кантора , которое гомеоморфно множеству p -адических целых чисел . пример, играющий ключевую роль в теории алгебраических чисел , — это поле $Qp Другой$ p - адических чисел .

Определение

Топологическое пространство $X$ если полностью отключен, подключенные компоненты в $X$ являются одноточечными множествами. ^[1]^[2] Аналогично топологическое пространство $X$ полностью отключен от пути, если все компоненты пути в $X$ являются одноточечными множествами.

Другое тесно связанное понятие — это понятие полностью разделенного пространства , то есть пространства, в котором квазикомпоненты являются одиночными. То есть топологическое пространство $X$ если полностью разделен, для каждого $x\in X$ , пересечение всех -замкнутых окрестностей замкнуто $x$ это синглтон $\{x\}$ . Эквивалентно, для каждой пары различных точек $x,y\in X$ , существует пара непересекающихся открытых окрестностей $U,V$ из $x,y$ такой, что $X=U\sqcup V$ .

Всякое вполне отделенное пространство, очевидно, вполне несвязно, но обратное неверно даже для метрических пространств . Например, возьмите $X$ это типи Кантора , представляющий собой веер Кнастера-Куратовского со снятой вершиной. Затем $X$ полностью несвязен, но его квазикомпоненты не являются одноэлементными. Для локально компактных хаусдорфовых пространств эти два понятия (полностью несвязные и полностью разделенные) эквивалентны.

Как ни странно, в литературе (например, ^[3]) вполне несвязные пространства иногда называют наследственно несвязными , ^[4] тогда как термин « полностью несвязный» используется для полностью разделенных пространств. ^[4]

Примеры

Ниже приведены примеры полностью несвязных пространств:

Дискретные пространства
Рациональные числа
Иррациональные числа
-адические числа p ; в более общем смысле, все проконечные группы полностью несвязны.
Множество Кантора и пространство Кантора.
Пространство Бэра
Линия Соргенфри
Каждое хаусдорфово пространство малой индуктивной размерности 0 вполне несвязно.
Пространство Эрдеша ℓ ² $\,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }$ — вполне несвязное хаусдорфово пространство, не имеющее малой индуктивной размерности 0.
Экстремально несвязные пространства Хаусдорфа.
Каменные пространства
Веер Кнастера – Куратовского представляет собой пример связного пространства, когда удаление одной точки приводит к полностью несвязному пространству.

Характеристики

Подпространства , произведения и копроизведения полностью несвязных пространств полностью несвязны.
Полностью несвязные пространства — это T ₁ пространства , поскольку одиночные элементы замкнуты.
Непрерывные образы вполне несвязных пространств не обязательно являются полностью несвязными, более того, каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом канторова множества .
Локально компактное хаусдорфово пространство имеет малую индуктивную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно вполне несвязно.
Всякий вполне несвязный компакт метрическое пространство гомеоморфно подмножеству счетного произведения дискретных пространств .
В общем случае неверно, что всякое открытое множество в полностью несвязном пространстве также является замкнутым.
Вообще говоря, неверно, что замыкание всякого открытого множества в вполне несвязном пространстве является открытым, т. е. не всякое вполне несвязное хаусдорфово пространство является экстремально несвязным .

Построение полностью несвязного фактор-пространства любого данного пространства

Позволять $X$ — произвольное топологическое пространство. Позволять $x\sim y$ тогда и только тогда, когда $y\in \mathrm {conn} (x)$ (где $\mathrm {conn} (x)$ обозначает наибольшее связное подмножество, содержащее $x$ ). Очевидно, это отношение эквивалентности , классы эквивалентности которого являются связными компонентами $X$ . Даровать $X/{\sim }$ с фактортопологией , т.е. наилучшей топологией, создающей карту $m:x\mapsto \mathrm {conn} (x)$ непрерывный. Приложив немного усилий, мы сможем это увидеть. $X/{\sim }$ полностью отключен.

На самом деле это пространство является не только некоторым полностью несвязным фактором, но и в определенном смысле самым большим : имеет место следующее универсальное свойство : для любого полностью несвязного пространства $Y$ и любая непрерывная карта $f:X\rightarrow Y$ , существует единственное непрерывное отображение ${\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y$ с $f={\breve {f}}\circ m$ .

См. также

Цитаты

^ Рудин 1991 , с. 395 Приложение А7.
^ Мункрес 2000 , стр. 152.
^ Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хелдерманн Верлаг, Серия сигм в чистой математике. ISBN 3-88538-006-4 .
^ Jump up to: ^а ^б Куратовский 1968 , стр. 151.

Ссылки

Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Уиллард, Стивен (2004), Общая топология , Dover Publications , ISBN 978-0-486-43479-7 , MR 2048350 (перепечатка оригинала 1970 года, MR 0264581 )
Куратовский, Казимеж (1968), Топология II: Пер. с французского (пересмотренная ред.), Нью-Йорк: Academic Press [ua], ISBN 9780124292024

[FOOTNOTERudin1991395_Appendix_A7-1] Рудин 1991 , с. 395 Приложение А7.

[FOOTNOTEMunkres2000152-2] Мункрес 2000 , стр. 152.

[3] Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хелдерманн Верлаг, Серия сигм в чистой математике. ISBN 3-88538-006-4 .

[FOOTNOTEKuratowski1968151-4] Jump up to: ^а ^б Куратовский 1968 , стр. 151.

[1]

[2]

[3]

[4]