Точное завершение

В теории категорий , разделе математики , точное пополнение создает точную по Барру категорию из любой конечно полной категории . Он используется для формирования эффективных топосов и других топосов реализуемости .

Строительство [ править ]

Пусть C — категория с конечными пределами. Тогда точное пополнение C ( обозначаемое ) _Cex для своих объектов отношения псевдоэквивалентности в C. имеет ^[1] Отношение псевдоэквивалентности похоже на отношение эквивалентности, за исключением того, что оно не обязательно должно быть совместно моническим. Таким образом, объект в C _ex состоит из двух объектов X ₀ и X ₁ и двух параллельных морфизмов x ₀ и x ₁ из X ₁ в X ₀ таких, что существует морфизм рефлексивности r из X ₀ в X ₁ такой, что x ₀ r = Икс ₁ р знак равно 1 _{Икс ₀} ; морфизм симметрии s из X ₁ в себя такой, что x ₀ s = x ₁ и x ₁ s = x ₀ ; и морфизм транзитивности t из X ₁ × _{x ₁ , X ₀ , x ₀} X ₁ в X ₁ такой, что x ₀ t = x ₀ p и x ₁ t = x ₁ q , где p и q — две проекции вышеупомянутый откат . Морфизм из ( X ₀ , X ₁ , x ₀ , x ₁ ) в ( Y ₀ , Y ₁ , y ₀ , y ₁ ) в C _ex задается классом эквивалентности морфизмов f ₀ из X ₀ в Y _0, таких что существует морфизм f ₁ из X ₁ в Y ₁ такой, что y ₀ f ₁ = f ₀ x ₀ и y ₁ f ₁ = f ₀ x ₁ , причем два таких морфизма f ₀ и g ₀ эквивалентны, если существует морфизм e из X ₀ в Y ₁ такой, что y ₀ e = f ₀ и y ₁ e = g ₀ .

Примеры [ править ]

Если аксиома выбора верна, то Set _ex эквивалентен Set .
В более общем смысле, пусть C — небольшая категория с конечными пределами. Тогда категория предпучков Set ^{С ^на} эквивалентно точному завершению копроизведения C . пополнения ^[2]
Эффективный топос – это точное завершение категории сборок. ^[2]

Свойства [ править ]

Если C — аддитивная категория , то — _Cex абелева категория . ^[3]
Если C или декартово замкнуто локально декартово замкнуто, то и C _ex тоже . ^[4]

Ссылки [ править ]

^ Менни, Матиас (2000). «Точное пополнение и топосы» (PDF) . Проверено 18 сентября 2016 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Карбони, А. (15 сентября 1995 г.). «Некоторые свободные конструкции в теории реализуемости и доказательства». Журнал чистой и прикладной алгебры . 103 (2): 117–148. дои : 10.1016/0022-4049(94)00103-п .
^ Карбони, А.; Магно, Р. Селия (декабрь 1982 г.). "Свободная точная категория по левой точной" . Журнал Австралийского математического общества . 33 (3): 295–301. дои : 10.1017/s1446788700018735 .
^ Карбони, А.; Розолини, Г. (1 декабря 2000 г.). «Локально декартово замкнутое точное пополнение». Журнал чистой и прикладной алгебры . 154 (1–3): 103–116. дои : 10.1016/s0022-4049(99)00192-9 .

Внешние ссылки [ править ]

Точное завершение в n Lab

[1] Менни, Матиас (2000). «Точное пополнение и топосы» (PDF) . Проверено 18 сентября 2016 г.

[journal1-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Карбони, А. (15 сентября 1995 г.). «Некоторые свободные конструкции в теории реализуемости и доказательства». Журнал чистой и прикладной алгебры . 103 (2): 117–148. дои : 10.1016/0022-4049(94)00103-п .

[3] Карбони, А.; Магно, Р. Селия (декабрь 1982 г.). "Свободная точная категория по левой точной" . Журнал Австралийского математического общества . 33 (3): 295–301. дои : 10.1017/s1446788700018735 .

[4] Карбони, А.; Розолини, Г. (1 декабря 2000 г.). «Локально декартово замкнутое точное пополнение». Журнал чистой и прикладной алгебры . 154 (1–3): 103–116. дои : 10.1016/s0022-4049(99)00192-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]